제주북초등학교 영재학급 심화반 유연주 지도 교사 : 고영준 선생님 <2011 겨울학기 프로젝트 발표> 뫼비우스의 띠 속 숨겨진 수학 제주북초등학교 영재학급 심화반 유연주 지도 교사 : 고영준 선생님

목차 주제선정동기 탐구주제 및 탐구목적 탐구기간 및 탐구문제 이론적 배경 –뫼비우스 띠란? /뫼비우스 띠의 유래/뫼비우스 띠의 원 리/뫼비우스 띠를 자르면?/뫼비우스? 뫼비우스의 띠 만들기-성질 알아보기/2줄로 이루어진 뫼비우스 띠 만들어보기/뫼비우스의 성질을 이용해 실생활에 활용해보기/뫼비우스의 성질이 이용되는 ex) 탐구결과 결론 프로젝트를 마치며 더 알고 싶은 점 참고 자료 및 문헌

주제선정동기 책을 읽다가 뫼비우스의 띠에 대한 내용과 함께 뫼비우스 띠의 사진을 보게 되었는데, 띠가 한 면 으로 이루어 진 것을 보고 ‘어떻게 저런 띠를 만들 수 있을까’ 하고 흥미가 생겨 나도 이번 기회에 직접 만들고 탐구하여 보고 싶다는 생각이 들어서 주제를 정하게 되었다.

탐구주제 및 탐구목적 탐구주제 탐구목적 뫼비우스 띠 속 수학적 원리를 찾아 이해하기 뫼비우스 띠의 성질을 이해하여 원리를 찾아 실생 활에 이용되는 ex)의 특성을 이용하여 실생활에 적용하기 위해서이다.

탐구기간 및 탐구문제 탐구기간 탐구문제 2011년 12월 3일 ~ 2012년 1월 6일 뫼비우스 띠의 원리를 알아본다. 뫼비우스 띠의 원리가 실생활에 적용되는 예를 찾아본다.

이론적 배경 1. 뫼비우스 띠란? 직사각형 모양의 띠 양 끝을 그대로 붙이면 둥그런 띠가 된 다. 이 띠는 앞면과 뒷면이 있고 앞면에서 뒷면으로 가려면 모서리를 넘어 가야만 한다. 그런데 직사각형 모양의 띠 끝 을 한 번 꼬아서, 즉 180도 회전시켜서 다른 쪽 끝에 붙이 면 색다른 모양의 띠가 만들어진다. 이렇게 만들어진 띠는 면이 한 개밖에 없다. 이 띠를 1865 년 처음 발견한 독일의 수학자의 이름을 따서 '뫼비우스의 띠'라 한다.

이론적 배경 2. 뫼비우스 띠의 유래 모든 것에 안과 밖의 구별이 있고, 우주의 내부에서는 외부 로 가지 못한다고 생각해 왔다. 그러나 뫼비우스의 띠는 이 런 고정 관념을 깨고 예상을 빗나가게 한 사건이었다. 뫼비 우스 띠는 1865년 발견된 이후 전문가들 사이에서뿐만 아 니라, 일반인들 사이에서도 매력적인 관심사가 되어 왔다. 뫼비우스 띠는 한때 수학적 호기심을 자극하는 것으로 유 명했지만, 세월이 흐른 뒤에는 예술가들에게 영감을 주는 원천으로 더욱 유명해진다.

이론적 배경 3. 뫼비우스 띠의 원리

이론적 배경 4. 뫼비우스 띠를 자르면? 뫼비우스 띠를 만든 다음 그 띠의 가운데를 따라 자르면 둘로 나누어질 것 같지만 네 번 꼬인 하나의 띠가 된다. 이것은 뫼비우스 띠가 경계가 하나뿐인 띠이기 때문이고, 자르면 두 번째 경계가 생겨나는 것이다. 또, 뫼비우스의 띠의 폭을 3등분하여 평행한 두 줄로 자 르면 두 개의 띠로 분리되는데, 하나는 동일한 길이의 뫼 비우스의 띠가 되고, 다른 하나는 두 배로 긴, 두 번 꼬인 띠가 된다.

이론적 배경 4. 뫼비우스 띠를 자르면? 뫼비우스 띠의 가운데를 자를 때, 몇 번 꼬아 만든 띠인지에 따라 잘린 모양이 다르다. 일반적으로 n번 꼬는 경우를 생 각해 보자. n=1인 경우는 한 번 꼬는 것이므로 우리가 알고 있는 뫼비우스 띠로 가운데를 따라 자르면 4번 꼬인 하나의 띠가 된다. 일반적으로 n번 꼬아서 만든 띠의 경우 2n+2번 꼬인 하나의 띠가 된다. 그리고 짝수 번 꼬아 만든 띠를 자 른 경우에는 단순히 꼬이기만 한 폐곡선 모양이지만, 홀수 번 꼬아 만든 띠를 자른 경우에는 단순히 꼬인 폐곡선 모양 이든지 오른쪽 그림과 같이 돌돌 감긴 폐곡선 모양이 된다.

이론적 배경 5. 뫼비우스(뫼비우스 띠를 처음 발견한 인물) 프로이센 출생. 라이프치히 괴팅겐 할레 등지의 여러 대학에서 공부하고, K.F. 가우스의 문하생이 되었다. 1815년 라이프 치히대학 천문학 교수, 1844년 동 대학 천문대장이 되었다. 천문학 이외에도 기하학 역학 등을 연구하여 업적을 남겼다. 기하학 에서는 동차좌표의 일종인 중심좌표를 처음으로 도입한 업적으로 유명해졌다.

탐구 계획 뫼비우스 띠의 성질을 알아보기 위한 탐구하기 2줄로 된 뫼비우스 띠를 만들어 1줄로 된 뫼비우스와 차이점 비교하기 뫼비우스 띠의 성질을 바탕으로 2가지 색의 모자와 면이 3개 나오는 접시 만들어보기

뫼비우스의 띠 만들기 1.뫼비우스 띠의 성질 알아보기-실험‘가’ 1)준비물-30cm X 5cm 종이 2장, 풀 연필, 가위 ① 직사각형 종이 폭 가운데에 면을 따라 연필로 긋는다. ② 연필로 그은 직사각형 종이를 팔찌 만들 듯이 둥글게 말아 붙인다. ③ 연필 선을 따라 가위로 자른다. 실험‘가’의 결과 : 연필 선이 한쪽 면만 지나간다. 또 이 선을 따라 가위질을 하면 크기가 같지만 폭이 절반이 동그란 띠 2개가 만들어진다.

뫼비우스의 띠 만들기 1.뫼비우스 띠의 성질 알아보기-실험‘나’ 2)준비물-30cm X 5cm 종이 1장, 풀 연필, 가위(이전과 동일) ① 뫼비우스 띠 가운데에 면을 따라 연필로 긋는다. ② 직사각형 종이를 한 번 꼬아 붙여 뫼비우스 띠를 만든다. ③ 연필 선을 따라 가위로 자른다. 실험‘나’의 결과 : 연필로 선을 긋기 시작해 한 바퀴를 돌면 연필은 처음 시작한 곳의 반대편에 있고, 다시 한 바퀴를 돌면 처음에 있던 자리로 돌아온다. 또한 이 선을 따라 가위질을 하면 커다랗고 동그란 1개의 뫼비우스 띠가 만들어진다.

뫼비우스의 띠 만들기 2.2줄로 이루어진 뫼비우스 띠 만들기 1)준비물-직사각형 종이 1장, 볼펜, 자, 풀 ① 직사각형 종이를 3등분을 해서 앞, 뒤면 모두 그곳에 볼펜으로 긋는다. ② 직사각형 종이를 한 번 꼬아 붙여 뫼비우스 띠를 만든다. ③ 연필 선을 따라 가위로 자른다. 하나의 뫼비우스 띠가 만들어진 1줄로 이루어져 있던 뫼비우스 띠와 달리 서로 고리처럼 묶여 있었다.

뫼비우스의 띠 만들기 3.뫼비우스 띠의 성질을 이용하여 실생활에 활용해보기<작은 것> 1)준비물-앞, 뒤의 색이 다른 정삼각형 20장, 가위, 테이프, 풀 ① 정삼각형 20장을 서로 다른 색을 섞어 테이프로 붙인다. 이때 삼각형 사이의 간격을 1~2mm 정도 떼고 붙인다. ② 같은 색깔 면만 보이도록 사이를 접는다. ③ A와 B가 맞닿게 테이프로 붙인다. 구멍이 있는 방향을 중심으로 손을 넣어 뒤집으면 다른 색의 모자가 나온다.

뫼비우스의 띠 만들기 3.뫼비우스 띠의 성질을 이용하여 실생활에 활용해보기<큰 것-1> 2)준비물-4절 색지 2장, 가위, 테이프, 자, 연필 ① 4절 색지 한 장에 정삼각형 20개를 그리고 자른다. ② 나머지 4절 색지 한 장에 정삼각형 20개를 붙이고 자른다. 앞뒤가 색이 다른 정삼각형 20장 만들기.

뫼비우스의 띠 만들기 3.뫼비우스 띠의 성질을 이용하여 실생활에 활용해보기<큰 것-2> 2)준비물-앞, 뒤의 색이 다른 정삼각형 20장, 가위, 테이프, 풀(이전과 동일) ① 정삼각형 20장을 서로 다른 색을 섞어 테이프로 붙인다. 이때 삼각형 사이의 간격을 1~2mm 정도 떼고 붙인다. ② 같은 색깔 면만 보이도록 사이를 접는다. ③ A와 B가 맞닿게 테이프로 붙인다. 구멍이 있는 방향을 중심으로 손을 넣어 뒤집으면 다른 색의 모자가 나온다.

뫼비우스의 띠 만들기 3.뫼비우스 띠의 성질을 이용하여 실생활에 활용해보기 2)준비물-앞, 뒤의 색이 다른 정삼각형 6장씩 3묶음, 가위, 테이프, 풀 ① 앞면과 뒷면 사진 세가지 색 정삼각형을 만든다. ② 한 면이 빨간색 삼각형이 나오도록 세 번 꼬아 접고 마지막은 테이프로 연결한다. ③ 정육각형의 한가운데 부분이 위로 올라오도록 선을 따라 접고, 가운데 부분을 벌린다. 같은 방법으로 접어 펼치면 3개의 행성이 번갈아가며 나타난다.

탐구 결과 1. 뫼비우스 띠는 긴 직사각형 종이를 한 꼬아서 양 쪽 끝의 짧은 두 변을 이어 붙인 것이다. 2. 뫼비우스 띠는 1개의 면과 1개의 가장자리만을 가진 띠이다. 3. 자르는 방법과 횟수마다 모양과 원리가 다양해진 다. 4. 뫼비우스의 특성을 이용해 생활에서 다양하게 이 용할 수 있다.

뫼비우스의 띠 만들기 4. 뫼비우스 띠의 특성이 주로 이용되는 ex) 알아보기 1)뫼비우스 띠의 특성을 이용한 ex) ① 굿리치사-컨베이어 벨트(이 벨트는 오늘날에도 재래식 방앗간이나 원동기 등에서 자주 볼 수 있는데, 벨트가 꼬여있기 때문에 양면을 모두 사용할 수 있어서 그렇지 않은 벨트보다 오래 동안 사용할 수 있다. ) ② 포레스트-양면에 모두 녹음이 되는 뫼비우스 필름 ③ 하리-연마용 뫼비우스 벨트 ④ 제이콥-드라이 크리닝을 하는 세탁기계에서 사용되는 셀프 크리닝 뫼비우스 필터 벨트 ⑤ 데이비스-원자력에 이용되는 저항기용 뫼비우스 띠 컨베이어 벨트 뫼비우스 띠의 또 다른 ex) 롤러코스터

뫼비우스의 띠 만들기 4. 뫼비우스 띠의 특성이 주로 이용되는 ex) 알아보기 2)뫼비우스 띠의 특성이 이용된 ex) 뫼비우스 띠를 예술에 적용한 화가도 있었는데, 에셔(M. C. Escher, 1898~1972)는 뫼비우스 띠를 이용하여 작품을 남겼다. 우리나라의 문학 작품 중에도 뫼비우스 띠가 등장한다. 소설가 조세희의 작품 [난장이가 쏘아 올린 작은 공]은 12개의 이야기로 이루어진 연작 소설로, 그 첫 번째가 뫼비우스 띠이다. 이 이외에도 많은 이야기와 소설 그리고 영화에 뫼비우스 띠가 등장하며, 귀걸이나 목걸이 등 각종 장신구로도 사용되고 있다. 우리나라의 한 유명 통신회사에서는 뫼비우스 띠를 T 모양으로 만들어 자신들의 로고로 사용하고 있는데, 아마도 뫼비우스 띠의 의미를 활용한 것 같다.

탐구 결과 4. 뫼비우스 띠는 긴 직사각형 종이를 한 꼬아서 양쪽 끝의 짧은 두 변을 이어 붙인 것이다. 1. 뫼비우스 띠는 한 면으로 이루어져 있다. 2. 실생활에서 컨베이어 벨트, 롤러코스터 등 다양 하게 이용되고 있다. 3. 1개의 면과 1개의 가장자리만을 가진 띠이다. 그래서 어디가 안이고 밖인지 구분 지을 수 없다. 4. 뫼비우스 띠는 긴 직사각형 종이를 한 꼬아서 양쪽 끝의 짧은 두 변을 이어 붙인 것이다. 5. 현재 산업화 면으로도 다양하게 이용되고 있다.

결론 뫼비우스 띠는 긴 직사각형 종이를 한 꼬아서 양쪽 끝의 짧은 두 변을 이어 붙인 것이며, 자르는 방법 과 횟수마다 모양과 원리가 다양해지며, 그 동안 보지 못했던 독특한 성격을 갖게 되었다 뫼비우스 띠를 따라 긋기 시작해 한 바퀴를 돌면 처음 시작한 곳의 반대편에 있고, 다시 한 바퀴를 돌면 처음에 있던 자리로 돌아오는 성질을 가지고 있다.

프로젝트를 마치며 이번 프로젝트는 주제를 선정하면서부터 고민도 많이 하고 걱정도 많이 했지만 이 렇게 완성하게 되어서 뿌듯하기도 하지만 아쉬움이 많이 남는 것 같다. 그래도 마지 막으로 이번 수학탐구를 하면서 사물을 다 양한 면으로 볼 수 있었던 계기가 되었던 것 같고, 다음에 기회가 있을 때 나 혼자 할 수 있다는 자신감도 생긴 것 같다.

더 알고 싶은 점 1. 클라인 병과 뫼비우스 띠의 차이점 이다. 2. 뫼비우스 외 뫼비우스 띠를 발견한 인물과 그 원리 내용이다.

참고 자료 관련 도서 과학쟁이(지은이 : 과학쟁이 편집부, 출판사 : 웅진,출판 년도 : 2011) 네이버 통합검색 및 백과사전,이미지 검색, 구글 이미지 검색 네이버 캐스트 http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=3695 다음 블로그 http://blog.daum.net/mathcook/201 관련 도서 세상을 바꾼 수학자 50인의 특강(지은이 : 조국향, 김덕영, 그림 : 박종호, 출판사 : 아울북, 출판 년도 : 2011)