제품설계분석(II) 제2장
< Preview > ② 응용수학 : 해석적 해를 찾음 미분방정식 : (the Sturm – Liouville prob.) 경계조건 : 선형미분연산자 경계치 문제 BVP(boundary value prob.) ⇒ 일반적인 표현 + 경계조건(b.c.) * Modeling * 초기치문제 IVP(initial value prob.) * 고유치문제 EVP(eigenvalue prob.) ⇒ ① 수학적 풀이 : 해의 존재, 유일성 ② 응용수학 : 해석적 해를 찾음 ③ 공학적 풀이 : 한계 내에서 주어진 조건을 가장 잘 만족하는 해
① 오차? (error) 잔류치? (residual) x y a b (엄밀해) 유한요소법 : 미분방정식을 푸는 수치해법 수치해 을 사용하는 경우 ① 오차? (error) 잔류치? (residual) x 내부오차 다항식 삼각함수 경계오차 ② 잔류치의 억제 : 가중함수 를 사용 ⇒ ⇒ 를 미리 정함. 영역을 미리 나눔. 조직적인 수치 적분 이산화 (discretization)
사례 (pp.29~30) x = 1 x = 0 엄밀해 u 근사해 ⇒ N = 2인 경우 ⇒ 직접 대입하는 경우
⇒ < MWR; 가중잔류치법 > Residual : weight function : ⇒ N = 2인 경우
※ Ritz method
STEP 1 : 약형(weak form) 구성 ↔ 강형(strong form) STEP 2 : 근사함수 설정 < 유한요소해석의 절차 > STEP 1 : 약형(weak form) 구성 ↔ 강형(strong form) STEP 2 : 근사함수 설정 STEP 3 : 요소방정식 구성 STEP 4 : 수합(assembly) STEP 5 : 후처리(연립방정식 풀이, 기타 그래픽, ⋯) 유한요소 수식화 절점(node) ex : ① sparse matrix 처리 ② conjugate gradient ③ parallel processing ※ 연립방정식 푸는 프로그램을 하나씩 확보 요망 요소(element)
§ 2.2 Some mathematical concepts § 2.2.1 BVP, IVP, EVP 영역 경계 § 2.2 Some mathematical concepts § 2.2.1 BVP, IVP, EVP < 𝑐𝑚의 연속성 > 영역 Ω내에서 정의되는 함수 𝑓에 대하여, 𝑚차까지 도함수가 연속이면 “𝑓는 𝑐𝑚 연속성을 갖는다.”고 함. (단, m은 짝수) co 예) a b x1 f x a b x1 f ' x ⇒
< 미분방정식으로 모델링한 공학 문제들 > ① BVP √ * classical Sturm-Liouville prob. * 다양한 물리현상 모델링 ex) 1차원 봉에서의 온도분포, rotating string의 변위, ⋯ B.C. ’s • ! Dirichlet type b.c. (essential(필수), geometric) • ! Neumann type b.c. (suppressible(억제가능), natural)
場 문제 (field prob.) ② IVP √ I.C. ’s 𝑢 0 =0, 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑡=0 = 𝑣 0 ③ (BV+IV)P B.C. : 𝑢 0,𝑡 =𝑑0 𝑡 𝑎 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑥=𝐿 =𝑔0(𝑡) I.C. : 𝑢 𝑥,0 =𝑢0(𝑥) 場 문제 (field prob.)
④ EVP ( ⇒ BVP에서 인 경우) B.C. 𝑢 0 = 0 𝑎 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑥=𝐿 =0 ⇒ 계의 특성을 파악 ⇒ 𝜆 : 고유치(eigenvalue) 𝑢𝜆 : 고유함수(eigenfunction) ⇒ modal analysis
① the gradient operator ※ 는 orthonormal basis < 몇 가지 정리 > See p.38 ① the gradient operator ※ 는 orthonormal basis ② the Laplace operator ③ Divergence theorem 영역 경계 𝑛 일 때,
1 x -1 +1 Scalar 함수 F 에 대하여,