포트폴리오이론

포트폴리오이론의 기초 포트폴리오(portfolio) 포트폴리오이론 두 개 이상 여러 자산의 조합(combination of two or more assets) 일반적으로 분산투자를 위해서 주식, 채권, 부동산과 같은 금융자산이나 실물자산 가운데 다수를 선택·결합한 조합으로 통칭 재무(finance)에서는 주로 증권에 적용되어 투자위험을 줄이기 위한 분산투자 조합안의 의미로 사용 포트폴리오이론 Harry M. Markowitz : 포트폴리오이론의 기초 최초 제공 “Portfolio Selection”, Journal of Finance (1952) 오늘날 투자결정론의 한 축 확률과 분산을 이용해 포트폴리오 기대수익률과 위험을 측정하는 기법 제시 포트폴리오 구성을 통한 분산투자로 투자위험의 감소효과

포트폴리오이론의 기초 Harry Max Markowitz He was Born on August 24, 1927 in Chicago, to his Jewish parents Morris and Mildred Markowitz. In 1952 he published his seminal paper “Portfolio Selection” in the Journal of Finance. In 1955, he received a Ph.D. from the University of Chicago with a thesis on the portfolio theory. The topic was so novel that, while Markowitz was defending his dissertation, Milton Friedman argued his contribution was not economics. He won the Nobel Memorial Prize in Economic Sciences (Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel) in 1990 with Merton H. Miller and William F. Sharpe.

포트폴리오이론의 기초 Modern Portfolio Theory (MPT) Investing is a tradeoff between risk and expected return. In general, assets with higher expected returns are riskier. For a given amount of risk, MPT describes how to select a portfolio with the highest possible expected return. Or, for a given expected return, MPT explains how to select a portfolio with the lowest possible risk Fundamental Concept behind MPT The assets in an investment portfolio should not be selected individually, each on their own merits. Rather, it is important to consider how each asset changes in price relative to how every other asset in the portfolio changes in price.

포트폴리오이론의 기초 최적포트폴리오의 선택 투자자의 기대효용을 극대화시키는 포트폴리오 평균-분산 모형(M-V model) 적용 가능 포트폴리오의 기대수익률과 분산 계산 포트폴리오 수익률의 확률분포가 알려진 경우 포트폴리오 수익률의 확률분포로부터 포트폴리오의 기대수익률과 분산 계산 포트폴리오 수익률의 확률분포가 알려지지 않은 경우 포트폴리오를 구성하는 각 개별증권의 기대수익률, 분산 그리고 증권들 간의 공분산(covariance)을 통해 포트폴리오의 기대수익률과 분산 계산 지배원리(dominance principle) 적용 선택의 대상이 되는 포트폴리오 범위(투자기회집합)의 축소 무차별곡선(indifference curve)의 활용 최적 포트폴리오 결정 : 효율적 투자기회집합과 무차별곡선의 접점

포트폴리오 기대수익률과 위험 포트폴리오 기대수익률과 위험 측정의 기본원리 두 자산 포트폴리오의 경우 (주식1, 주식2) 평균(기대수익률)과 분산 기대수익률 포트폴리오를 구성하는 개별자산의 확률분포와 예상수익률로부터 구한 평균값 위험 포트폴리오를 구성하는 개별자산의 예상수익률로부터 측정한 분산 두 자산 포트폴리오의 경우 (주식1, 주식2) 날씨상태 확률 r1 r2 따뜻한 날씨 0.2 50% -20% 보통 날씨 0.7 10 20 추운 날씨 0.1 -40 60

포트폴리오 기대수익률과 위험 개별자산의 기대수익률과 위험의 계산

포트폴리오 기대수익률과 위험 포트폴리오 수익률 포트폴리오 구성비율 w1, w2 전체 투자금액에서 각 주식에 투자할 금액이 차지하는 비율 1,000만원을 주식1에 500만원, 주식2에 500만원씩 1년간 투자 w1 = 500/1,000 = 0.5, w2= 500/1,000 = 0.5 구성비율(weight)의 합은 항상 1 구성비율(w1, w2)은 양(+)의 값, 음(-)의 값 모두 가능 1,000만원을 갖고 있는 투자자가 주식1에 1,500만원을 1년간 투자 주식2를 500만원어치 빌려서 시장에 내다 판(공매 : short sale) 후, 그 돈과 1천만원을 합쳐서 주식1을 매입. 1년 후 주식1을 처분해서 빌린 주식2를 상환 w1 = 1,500/1,000 = 1.5, w2= -500/1,000 = -0.5, w1+w2=1

포트폴리오 기대수익률과 위험 투자자가 각 주식에 투자금액의 절반씩 균등 투자하는 경우 (w1=0.5, w2=0.5) 포트폴리오의 기대수익률은 얼마인가? 각 상태에서의 포트폴리오 수익률 계산 따뜻한 날씨 : 0.5(50) + 0.5(-20) = 15 보통 날씨 : 0.5(10) + 0.5(20) = 15 추운 날씨 : 0.5(-40) + 0.5(60) = 10 날씨상태 확률 r1 r2 rp 따뜻한 날씨 0.2 50% -20% 15% 보통 날씨 0.7 10 20 추운 날씨 0.1 -40 60 10%

포트폴리오 기대수익률과 위험 포트폴리오 기대수익률 : 2가지 방법 포트폴리오 수익률의 확률분포로부터 기대값(평균)을 구하는 방법 포트폴리오 구성하는 각 개별주식의 기대수익률을 가중평균하는 방법

포트폴리오 기대수익률과 위험 포트폴리오 분산 : 2가지 방법 포트폴리오 수익률의 확률분포로부터 직접 구하는 방법 투자비율에 따라 가중한 분산과 공분산의 합계로 산출하는 방법

포트폴리오 기대수익률과 위험 공분산(covariance) 공분산과 상관계수 두 주식의 수익률이 같은 방향 또는 다른 방향으로 움직이는 경향의 정도를 나타낸 값 두 주식의 상황별 수익률 편차(수익률 - 기대수익률)를 서로 곱한 값에 각 상황별 확률을 곱하여 합한 값 두 주식의 편차들의 곱에 대한 기대값 공분산의 해석 공분산>0 : 비례 관계, 공분산=0 : 무관계, 공분산<0 : 반비례 관계

포트폴리오 기대수익률과 위험 상관계수(correlation coefficient) 공분산을 표준화한 값 공분산을 각 주식의 표준편차의 곱으로 나누어 두 주식의 수익률의 상관관계를 보다 분명하게 측정할 수 있도록 나타낸 것 상관계수 값의 범위 ( -1 ≤ ρ ≤ 1 ) 상관계수 = +1 → 두 주식 수익률은 양(+)의 기울기를 갖는 완전한 직선관계 상관계수 = -1 → 음(-)의 기울기를 갖는 완전한 직선관계

구성 증권간의 상관관계 rj ri ① ρij=+1.0 ② 0＜ρij＜1 ③ ρij=-1.0 ④ -1＜ρij＜0 ⑤ ρij= 0

포트폴리오 기대수익률과 위험 주식1과 주식2 사이의 공분산과 상관계수 공분산 상관계수

포트폴리오 기대수익률과 위험 포트폴리오의 분산과 표준편차 투자자가 각 주식에 투자금액의 절반씩 투자하는 경우 (w1=0.5, w2=0.5) 포트폴리오 수익률의 확률분포로부터 직접 구하는 방법 투자비율에 따라 가중한 분산과 공분산의 합계로 산출하는 방법 표준편차 → 위험 대폭 감소

포트폴리오 기대수익률과 위험 두 자산 포트폴리오의 경우 주식1 w1 주식2 w2 포트폴리오의 분산 계산 : 분산-공분산 행렬 분산 : 대각선, 공분산 : 비대각선 주식1 w1 주식2 w2

포트폴리오 기대수익률과 위험 두 자산 포트폴리오의 경우 포트폴리오의 분산 계산 포트폴리오 위험은 개별자산이 포트폴리오의 위험에 기여하는 부분의 합으로 표시할 수 있음 포트폴리오 P의 전체 위험에서 주식1이 기여하는 부분 : 포트폴리오 P의 전체 위험에서 주식2가 기여하는 부분 :

포트폴리오 기대수익률과 위험 n 자산 포트폴리오의 경우 포트폴리오의 수익률 : 계 포트폴리오의 기대수익률 : E[rP]

포트폴리오 기대수익률과 위험 n 자산 포트폴리오의 경우 포트폴리오의 위험 n diagonal element n(n-1) off-diagonal element → 각 자산이 포트폴리오의 위험에 기여하는 부분의 합

포트폴리오의 위험분산효과 두 자산 포트폴리오의 경우 미래상태 확률 자산수익률 (%) rA rB rC 1 0.5 10 20 2 자산 A,B,C의 수익률의 확률분포 자산 A는 확실한 10%의 수익률을 보장하는 무위험자산 자산 B와 C는 미래상태에 따라 수익률이 달라지는 위험자산이며 B와 C는 반대 방향으로 움직이므로 수익률의 상관계수는 -1 기대수익률은 모두 10%이나 위험(표준편차)은 A가 0, B와 C는 10% 이므로 평균-분산모형에 의해 위험회피형 투자자라면 아무도 B와 C를 선호하지 않음 자산 B와 C에 절반씩 투자하여 구성한 포트폴리오의 수익률은 10%이고 표준편차는 0이 되어 자산 A에 지배되지 않음 미래상태 확률 자산수익률 (%) rA rB rC 1 0.5 10 20 2

포트폴리오의 위험분산효과 포트폴리오의 기대수익률과 분산 자산 B와 C를 절반씩 투자하여 구성 → 무위험자산

포트폴리오의 위험분산효과 포트폴리오효과 (portfolio effect) 자산을 결합하여 포트폴리오를 구성함으로써 위험이 줄어들어 기대효 용이 증가하는 현상 분산효과(diversification effect) 포트폴리오 효과는 자산간 상관계수가 -1에 가까울수록 크게 일어나고 상관계수가 +1인 경우를 제외하면 정도의 차이는 있지만 반드시 발생 포트폴리오를 구성하는 자산들의 움직임이 서로를 상쇄하는 작용 때문 상관계수가 -1인 경우 여름 소주 맥주 겨울

포트폴리오의 위험분산효과 포트폴리오 분산효과의 예 A, P B, C 기대효용 증가

포트폴리오의 위험분산효과 포트폴리오의 투자비율, 상관계수, 위험의 관계 포트폴리오 위험의 3가지 요인 개별증권의 위험 구성 증권간의 공분산 및 상관계수 각 증권에 대한 투자비율

포트폴리오의 위험분산효과 (예) 주식 A, B의 예상 기대수익률은 각각 10%, 40%이고, 표준편차가 각각 10%, 30%라고 가정한다. 두 주식에 대한 투자금액비율의 합은 1(100%)로 투자비율을 아래 표와 같이 달리할 때, 두 증권의 상관계수가 +1, -1, 0인 경우에 이들 포트폴리오의 기대수익률과 표준편차를 산출해 보면 아래 표와 같이 된다. 투자비율 ρAB＝＋1 ρAB＝－1 ρAB＝0 wA wB E(rp) σp σp    100%   0% 10 10.0 70  30 19 16.0  2.0 11.4 50  50 25 20.0 15.8 30  70 31 24.0 18.0 21.2  0 100 40 30.0 40 

투자비율과 상관계수에 따른 포트폴리오의 기대수익률과 위험 E(rp) σp 40 31 25 20 19 10 2 11 11.4 16 18 21.2 24 30 15.8 ρAB=-1 B ρAB=0 ρAB=+1 A

포트폴리오의 위험분산효과 포트폴리오의 투자비율, 상관계수, 위험의 관계 상관계수가 ＋1인 경우 상관계수가 －1인 경우 포트폴리오 기대수익률과 위험은 비례적으로 증가하는 선형관계 상관계수가 －1인 경우 투자비율의 조정에 따라 위험이 0인 포트폴리오 구성이 가능 기대수익률이 일정 수준으로 주어진 경우 개별증권 간의 상관계수가 적을수록 위험분산 효과가 커지고 완전 음(-)의 상관관계일 때 위험은 최소

포트폴리오의 위험분산효과 상관계수가 -1에서 +1 사이인 경우 상관관계가 0인 경우 현실적으로 주가는 음의 상관관계보다는 양(＋)의 상관관계로 움직이는 것이 일반적 따라서 -1의 상관관계는 존재하기 어렵고, 일반적으로 상관관계는 -1과 +1 사이의 값을 가지므로 포트폴리오의 기대수익률과 위험의 관계는 곡선형태 상관관계가 -1에 가까울수록 : ρAB＝-1의 두 직선에 근접하는 곡선 상관관계가 +1에 가까울수록 : 점차 ρAB＝+1 직선 쪽으로 근접 상관관계가 0인 경우 위험분산 효과가 있기 때문에 기대수익률과 위험의 관계는 곡선 형태 이는 수익률 증가에 비해 위험이 상대적으로 적게 증가하기 때문

포트폴리오의 위험분산효과 n 자산 포트폴리오의 경우 포트폴리오의 위험분산효과 : 균등비율 포트폴리오의 경우 분산효과로 인해 평균 공분산에 접근 포트폴리오의 위험은 분산(Var)으로 측정되는 개별증권의 위험보다는 증권들 간의 공분산 위험이 중요한 역할 수행

포트폴리오의 위험분산효과 비체계적 위험과 체계적 위험 비체계적 위험 (unsystematic risk) 포트폴리오 위험 중 분산투자로서 제거할 수 있는 위험으로 분산 가능한 위험 (diversifiable risk) 파업, 법적 문제, 판매부진 등 개별기업의 특수한 상황과 관련이 있는 기업 고유의 위험(firm-specific risk)으로 분산투자로 제거 체계적 위험 (systematic risk) 포트폴리오 위험 중 분산투자로서 감소시킬 수 없는 위험으로 분산 불가능한 위험 (non-diversifiable risk) 시장의 전반적인 상황과 관련이 있는 것으로 시장위험(market risk) 인플레이션, 이자율 변화 등 여러 기업에 공통적으로 영향을 주는 경기 관련 요인들

포트폴리오의 위험분산효과 비체계적 위험과 체계적 위험 포트폴리오의 위험 비체계적위험 총위험 체계적위험 구성주식수 How many?

포트폴리오의 위험분산효과 비체계적 위험과 체계적 위험 포트폴리오의 위험 비체계적위험 총위험 체계적위험 구성주식수 How many? → 10 ~ 20개 종목

포트폴리오의 위험분산효과 포트폴리오 분산투자 효과 포트폴리오에 포함된 주식수 포트폴리오 수익률의 표준편차 1 2 4 6 8 10 20 30 40 50 100 200 300 400 500 1000 49.2 37.4 29.7 26.6 25.0 23.9 21.7 20.9 20.5 20.2 19.7 19.4 19.3 19.2 포트폴리오 분산투자 효과 49.2 23.9 제거될 수 있는 위험 제거될 수 없는 위험 19.2 10 M. Statman, “How Many Stocks Make a Diversified Portfolio?”, JFQA (1987)

평균-분산 포트폴리오이론 평균-분산 포트폴리오이론의 가정 효율적 포트폴리오(efficient frontier) 모든 투자자의 투자기간은 1기간 투자자는 위험회피적이고 자신의 효용을 극대화 투자자의 투자결정은 투자대상의 기대수익률과 표준편차에 의존하며, 평균-분산 모형(지배원리)에 따라 투자대상을 선택 자본시장에 마찰요인이 없어 거래비용과 세금이 없으며 모든 투자자가 동일한 무위험이자율로 대출과 차입 가능 효율적 포트폴리오(efficient frontier) 지배원리를 만족시키는 포트폴리오 동일한 기대수익률 → 낮은 위험(표준편차) 동일한 위험(표준편차) → 높은 기대수익률

평균-분산 포트폴리오이론 투자기회집합 (investment opportunity set) 2 자산으로 구성된 포트폴리오의 집합 투자 가능한 포트폴리오의 기대수익률과 위험의 조합으로 구성된 집합 2 자산으로 구성된 포트폴리오의 집합 3 자산으로 구성된 포트폴리오의 집합 E(r) σ ABC’ ABC AB AB’ BC BC’ A B C AB’ : B를 공매, A에 투자 → wA(+), wB(-) A,B에 나누어 투자 → wA(+), wB(+) ABC : 공매 없는 경우 → wA(+), wB(+) , wC(+) E(r) ρ=0 ρ=+1 ρ=-1 D E G σ ※ 공매가 허용되는 경우(ABC’) 보다 효율적인 포트폴리오 구성 가능

평균-분산 포트폴리오이론 투자기회집합 투자기회집합의 경계선 E(r) σ E(rA) A1 A2 A3 B1 B2 X Y G σB 생성가능한 모든 포트폴리오의 집합 투자기회집합의 경계선 포트폴리오 결합선 : 호XGY 투자기회집합 중 동일한 기대수 익률 을 갖는 포트폴리오들 중 가장 위험이 작은 포트폴리오 A1이 A2, A3를 지배 그러나 호XGY는 ‘지배원리’를 완전히 만족시키는 효율적 포트 폴리오는 아님 즉, 호XGY 상에는 아직 비효율적 인 포트폴리오 포함 E(r) σ E(rA) A1 A2 A3 B1 B2 X Y G σB

평균-분산 포트폴리오이론 효율적 투자선 투자기회집합과 포트폴리오 프런티어 E(r) σ E(rA) A1 A2 A3 B1 B2 X efficient frontier 호 GA1B1X 마코위츠(Markowitz)의 효율적 투자선 투자기회집합 전체에서 지배원리를 충족시키는 포트폴리오의 집합 합리적 투자자는 효율적 투자선 위의 한 포트폴리오를 선택 투자기회집합과 포트폴리오 프런티어 E(r) σ E(rA) A1 A2 A3 B1 B2 X Y G σB 최소분산포트폴리오(MVP)

평균-분산 포트폴리오이론 효율적 투자선 : 무위험자산과 위험자산의 결합 무위험자산이란 무위험자산과 위험자산의 결합 확실한 투자수익을 얻을 수 있는 자산 (단기국채, T-bill) 기대수익률(무위험이자율), 분산(0), 다른 증권 수익률과의 공분산(0) 무위험자산과 위험자산의 결합 위험자산에 w, 무위험자산에 (1-w) 만큼 투자한 경우 포트폴리오 수익률 : 포트폴리오 기대수익률 : 포트폴리오 수익률의 표준편차 : 기대수익률과 위험의 관계식 : P의 위험프리미엄 = w×(위험자산i의 위험프리미엄)

평균-분산 포트폴리오이론 효율적 투자선 : 무위험자산과 위험자산의 결합 선형의 포트폴리오 결합선 C B(w=1.5) 0.25 위험자산과 무위험자산의 포트폴리오 결합선 위험자산 i : 기대수익률(20%), 표준편차(40%) 무위험이자율 : 10% 선형의 포트폴리오 결합선 A(w=0.5) B(w=1.5) 대출 포트폴리오 차입 포트폴리오 0.25 C

평균-분산 포트폴리오이론 효율적 투자선 : 무위험자산과 위험자산의 결합 접점 포트폴리오 (tangent portfolio) 무위험자산이 있는 경우의 효율적 투자선 접점 포트폴리오 (tangent portfolio) 지배원리 적용 rfP2가 rfP1을 지배 rfT가 rfP2을 지배 접점 포트폴리오 무위험자산과 결합될 수 있는 마코위츠의 효율적 투자선 GX 상의 모든 포트폴리오 중 가장 우월한 포트폴리오 투자자의 선택 합리적인 투자자들은 위험자산 들로만 구성된 포트폴리오 중 항상 T를 선택하고 이것을 무위 험자산과 결합하여 rfTC상의 포 트폴리오를 구성 rfTC = 자본배분선(capital allocation line : CAL)

평균-분산 포트폴리오이론 자본배분선 (capital allocation line : CAL) 자본배분선 무위험자산이 존재하는 경우의 효율적 투자선 자본배분선의 기울기는 위험 한 단위당 보상되는 수익률을 나타낸 것으로 위험보상비율이라고 함 위험보상비율 = 초과수익률 / 위험크기 자본배분선 식 : 포트폴리오 T : 모든 위험포트폴리오 중 위험보상비율이 가장 큰 포트폴리오

무위험자산이 없는 경우 기대효용 극대화를 위한 포트폴리오 선택 평균-분산 포트폴리오이론 최적포트폴리오의 선택 무위험자산이 없는 경우 포트폴리오 선택 위험회피성향이 강한 투자자 a는 포트폴리오 A*를 선택함으로써 기대효용 극대화 위험회피성향이 약한 투자자 b는 포트폴리오 B*를 선택함으로써 기대효용 극대화 투자자 a가 더 보수적 무위험자산이 없는 경우 기대효용 극대화를 위한 포트폴리오 선택 A* B* 효율적 투자선(호GX)

무위험자산이 있는 경우 기대효용 극대화를 위한 포트폴리오 선택 평균-분산 포트폴리오이론 최적포트폴리오의 선택 무위험자산이 있는 경우 포트폴리오 선택 위험회피성향이 강한 투자자 a는 대출포트폴리오(무위험자산과 T에 나누어 투자) A*를 선택함으로써 기대효용 극대화 위험회피성향이 약한 투자자 b는 차입포트폴리오(차입+자기자본을 T에 투자) B*를 선택함으로써 기대효용 극대화 무위험자산이 없는 경우보다 기대효용 증가 무위험자산이 있는 경우 기대효용 극대화를 위한 포트폴리오 선택 A* B* 효율적 투자선(직선 rfTC) → 자본배분선(CAL)

평균-분산 포트폴리오이론 최적포트폴리오의 선택 무위험자산이 있는 경우 최적포트폴리오는 투자자의 위험회피성향에 따라 자본배분선의 각기 다른 점 그러나 투자자의 성향과 관계없이 위험자산은 접점포트폴리오에만 투자 위험회피성향의 차이에 따라 접점포트폴리오(T)와 무위험자산의 구성비율만 다를 뿐, 최적포트폴리오에서 위험자산의 상대적 구성비율은 접점포트폴리오 (T)의 구성비율과 동일 포트폴리오 분리정리 (portfolio separation theorem) 효율적 프론티어(효율적 투자선)의 구성단계와 기대효용을 극대화시키는 선택단계가 분리되어 있음 단계 1 : 지배원리에 따른 효율적 프론티어 구성 단계 단계 2 : 자신의 기대효용을 극대화시키는(위험회피성향에 따른) 최적포트폴리오 선택 단계

평균-분산 포트폴리오이론 2자산 분리정리 (two-fund separation theorem) 포트폴리오 분리정리 무위험자산이 없는 경우 n개의 개별자산 대신 2개의 효율적 포트폴리오(위험포트폴리오) 로부터 최적 포트폴리오 선택 가능 효율적 프론티어 상에 있는 임의의 2개 포트폴리오 무위험자산이 있는 경우 n개의 개별자산 대신 접점포트폴리오(T)와 무위험자산으로부터 최적 포트폴리오 선택 가능