Wavelete Transform 김 형 우

Wavelet Transform 이란 무엇인가. Wavelet Transform 은 왜 나왔을까 Wavelet Transform 이란 무엇인가? Wavelet Transform 은 왜 나왔을까? Wavelet Transform 은 어디에 쓰나?

Fourier Transform Fourier 변환 시간 영역 주파수 영역 신호처리 분야의 비약적인 발전의 모태 시간 영역 주파수 영역 신호처리 분야의 비약적인 발전의 모태 기본함수(Basis function)로 sine, cosine 함수만 사용 (모든 신호 분석) 단점 신호 데이터에 불연속성, 날카롭게 돌출된 부분(고주파수 성분)이 포함될 경우, 신호의 특징 분석이 어려워짐 신호의 시간 정보와 주파수 정보를 동시에 파악할 수 없다.

Windowed Fourier Transform 창 함수를 이용한 Fourier 변환(STFT or WFT) 일정한 크기를 가진 창함수와 Fourier 변환을 결합 시간 변화에 따른 주파수 특성을 분석 ex. 가보 변환(Gabor’s transform) : 가우시안 함수를 창함수로 이용 단점 분석 영역이 시간-주파수에 대해 항상 일정 약정상 신호(non-stationary signals)를 효율적으로 분석할 수 없다.

Wavelet Transform Wavelet 변환 기본 함수로 sine, cosine 함수 이외에 웨이브렛 모함수(mother func.) 사용 각 주파수 영역에 따라 변화하는 다양한 기저함수 사용 (시간-주파수에 국부적인 성질) 가장 적절한 다중해상도 표현 방법 사용분야 : 음성인식, 정지영상/ 동영상 압축, 오디오 압축, 음악 해석 등 대표적인 wavelet 변환 기법 : Orthonormal Wavelet, Biorthonormal Wavelet, Packet Wavelet, Chirplet Wavelet 등의 변환

FT vs WFT vs WT FT 변환식 : Wavelet Transform : WFT 변환식 : Windows Function WFT 변환식 : 시간상의 이동 역할 ( : 압축 계수, : 전이 계수 ) Wavelet Transform : 크기를 변화시키는 역할

WFT vs WT WFT와 WT의 창 함수 비교 고주파 대역 – 폭이 좁은 윈도우 적용 저주파 대역 – 폭이 넓은 윈도우 적용 각기 다른 스케일에서도 적용이 가능하다

FT vs WT FT STFT WT

웨이브렛 변환의 예 사인 변조 신호 Wavelet Transform Fourier Transform Windowed Fourier Transform

Wavelets Wavelet (작은 파, 작은 물결[small wave]) 조건 신호의 크기가 양, 음 방향으로 빠르게 감소하여 0으로 수렴 [수렴 조건] 함수가 진동하여야 한다 [진동(Oscillatory) 조건] 진동 조건 수렴 조건 Morlet Wavelet

Wavelets Wavelet Transform의 개념 (X)로 정의되는 mother wavelet(모함수)을 변이 시키고, 확대/축소 시킴으로서 얻어지는 함수들의 집합을 Wavelet이라 함. a는 크기 인자로 Wavelet기저의 크기 조정함 b는 시간 축상에서의 변이를 나타냄. 이 값을 변화 시킴으로서 Wavelet기저를 원하는 곳에 위치 시킴. a가 작으면 시간축상에서 좁은 구역에 위치, 주파수 축은 넓은 영역 차지 다른 윈도우 함수를 생성하는 원형(prototype)

Wavelets Wavelet Transform의 특징 필터 선택에 따라 계수값이 달라짐 다해상도 분석은 변환계수들을 다른 스케일에서 분석할 수 있음 원 영상을 피라미드 형태로 감소하는 크기의 영상들로 저장하여 임의의 크기의 영상을 쉽게 얻을 수 있도록 표현 압축률이 높고 손실은 적은 압축을 할 수 있음 간단한 방법으로 윤곽을 얻을 수 있음 간단한 방법으로 영상의 선명도를 높일 수 있음 음성인식, 정영상/동영상 압축, 오디오 압축, 음악 해석 등에 널리 이용

Wavelets 모 웨이브렛(mother wavelet) [기저 함수] sin(x) (x) : mother wavelet Scale Translation (4x) (4x+3)

Wavelets 웨이브렛의 예 haar Cspline3 Daub4 Cspline4

Haar Wavelet (t) = 1 , (0  t  ½) -1 , ( 1/2  t  1) 0, (otherwise) 가장 일반적, 간결한 형태 시간적으로 에너지 집중을 가지며, 진동하는 특성 매끄러운 신호나 영상처리에 효과적이지 못함. 계산속도가 빠르고 쉽게 구현 가능 (t) = 1 , (0  t  ½) -1 , ( 1/2  t  1) 0, (otherwise)

Daubechies Wavelet 영상분야 Discrete wavelet 변환 방법 유한 길이를 갖는 비대칭형 wavelet N으로 대표되는 정수에 따라 그 종류가 나뉨 : Db1 은 다우비치 1 wavelet을 말하며,일반적으로 dbN으로 표현한다. 스케일링 함수는 $h0(n) = #2 을 만족하고 이에 따른 db4 wavelet의 계수값은 h0 = {0.483, 0.8365, 0.2241, -0.1294}이다. 또한 wavelet 함수는 $h1(n) = 0 을 만족하고, 이에 따른 db4 wavelet의 계수값은 h1 = {0.1294, 0.2241, -0.8365, 0.483}이다.

N 값에 따른 Daubechies Wavelet의 종류

Wavelet의 분해 Wavelet의 분해 Wavelet 분해 과정 : 근사값과 세부값을 만드는 과정. 근사값 (approximations) : 신호의 저주파 성분 세부값 (detail) : 고주파 성분 2차원 영상에 적용하면 4개의 세부 성분으로 나뉘어짐 가로: 저주파 세로: 고주파 가로: 고주파 세로: 고주파 가로: 저주파 세로: 저주파 가로: 고주파 세로: 저주파

Wavelet의 분해 Wavelet의 분해 x방향으로 필터링 -> 저주파성분 L과 고주파 성분 H로 나뉨 L , H를 y방향으로 필터링 -> LL, LH, HL, HH 4개의 부영상을 얻음 LL 대역의 영상 : 해상도가 반으로 줄어든 저주파 성분. : 에너지 집중도가 높고 중요한 정보를 갖음 LH, HL, HH 대역의 영상 : 수평, 수직, 대각 성분에 대한 edge성분을 가지고 있는 고주파 성분. : 에너지 집중도가 낮고 물체의 윤곽 부분에 해당하는 상세 정보를 갖음

LL1 LH1 < 수평 > HL1 수직 HH1 대각 LL2 LH2 HH2 HL2 ( a) 2 단계 Wavelet 분할 b) 2

Wavelet의 응용 다해상도 분석 1번 변환 디테일 : 2번 변환 디테일 : 3번 변환 디테일 : 최종 변환 트렌드 : 데이터 크기 : 에너지 = 97%

Wavelet의 응용 압축 : 손실압축 원 영상의 디지털 데이터의 일부가 손실되는 압축기법이다. 하지만 영상의 중요한 시각적인 특징, 품질은 어느 정도까지 유지된다. 영상의 표준 압축기법인 JPEG의 경우 변환코딩(Transform Coding)으로써 이산코사인 변환(DCT:Discrete Cosine Transform)을 이용한다 약 50:1로 압축 오차 : 약0.14 본래 영상 약 25:1로 압축 오차 : 약 0.12

Wavelet의 응용 가장자리 검출(Edge Detection) : 영상의 윤곽을 나타내줌 웨이브렛 변환을 본래 영상 로버츠필터 소벨필터 프레위트필터 라플라시안필터 본래 영상 웨이브렛 변환을 이용한 영상

Wavelet의 응용 선명도 높이기 : 색상과 윤곽이 더 뚜렷한 영상을 얻기 위함 선명도를 높인 영상 본래 영상

Wavelet의 응용 FBI 지문 압축 원본 이미지 26:1 압축

Wavelet의 응용 데이터의 잡음 제거

Wavelet의 응용 음의 합성 (ex. 음성, 음악의 합성) Edge, Line detection