Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University §2. 변분유한요소법 III Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분 ⊙ 수치적분 ○ ⊙ 2점 적분점 Gauss quadrature 법: ○ 가 3차 함수이면, 는 정해와 일치함 ⊙ 예제 ○ 수계산: ○ 피적분함수: ○ Gauss quadrature 법에 근거한 2점 수치적분:

2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분 예제 2.4 2점, 3점 수치적분공식 ○ ○ 좌변 ○ 우변 ○ 좌변=우변 ○ 3점 수치적분공식: 예제 2.4 의 2, 3점 수치적분, ☞ 오차 4.8% ○ 오차 0.0% ○ 정답:

2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분 1점 적분 2점 적분

2.7 요소방정식의 조합 ⊙ 요소방정식 ○ 불완전 방정식, 자체로서는 아무 의미없는 방정식임 ○ 전체 문제에 조합될 때 효력을 가짐 ○ 요소방정식의 일반형: ⊙ 요소방정식의 조합 ○ 가정: ○ 조합에 앞서 전체강성행렬 성분 와 전체하중벡터 성분 를 0으로 둠 ○ ○

2.7 요소방정식의 조합 ☞ ○ ○ ○ 밴드폭 = 2, 스카이라인 내의 행렬요소 수 = 7 개 요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 요소1 요소2 요소3 ○ ① ② 밴드폭 1 3 ○ 2 5 스카이라인 내의 요소 4 7 6 ○ 밴드폭 = 2, 스카이라인 내의 행렬요소 수 = 7 개 ○ 강성행렬: 대칭, 상삼각행렬(Upper triangular matrix)에서 0의 행렬 요소는 총 3개 예제 2.4 전체번호매김의 영향 ① ② ③ ④ 1 8 ☞ 2 4 7 3 6 5

2.8 경계조건의 부과 ⊙ 경계조건 대입이전의 방정식 ○ 경계조건 대입 이전의 유한요소방정식: ○ ○ : 불능 ∵경계조건 미대입 ⊙ 경계조건 의 대입 <방법 1: 소거법> ○ ○ 유한요소방정식:

2.8 경계조건의 부과 ☞ <방법 2: 벌칙기법> ○ 유한요소방정식: ○ β: 벌칙상수, 매우 큰 양의 상수 예제 2.7 경계조건 의 대입 ☞ ○ ○

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소방정식 ○ 자유도 수와 동일한 방정식(미지수)의 수 ○ 선형미분방정식 ⇒ 선형방정식, 비선형미분방정식 ⇒ 비선형방정식 ○ 유한요소방정식의 해 = 1차 결과치: 온도, 변위, 속도, 압력 ⊙ 파생결과치의 계산: ○ 열전달율, 변형률, 응력, 반력 등등 ○ 미지함수의 미분 ⇒ 보간함수의 미분 ⇒ 파생변수의 계산 ⊙ 요소치 ○ 선형요소의 경우, 미분값이 요소에서 일정하거나, 요소경계에서 불연속임 ○ 이 경우, 일반적으로 요소 내의 중심점에서 요소치가 계산됨 ○ 절점치를 구하고자 할 경우, 최소자승법으로 요소치를 순화시켜 계산함 ○ 응력, 변형률, 변형률속도, 열전달율

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 온도의 절점치 ○ ○ 유한요소방정식: ⊙ 절점에서 정해와 절점치의 비교 ○ ○ ← 초수렴(Superconvergence)

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소해와 정해의 비교 그림2.9 정해와 유한요소해의 비교 ○ 전체적으로 정해를 비교적 잘 반영하고 있음 ○ 기울기(열전도율과 비례함)는 비교적 큰 차이를 보이고 있음 ○ 탄성역학에서 변위구배(Displacement gradient, )는 변형률 및 응력과 직결 ○ 온도 및 변위 등의 1차 결과치가 비교적 정확하더라도 해석결과를 미분하여 구한 파생 결과치들에는 비교적 큰 오차가 개입될 수 있음

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ≒ 41% ⊙ 기울기 오차의 정량화 ○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의 ○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의 1차원 열전도방정식 ○ 총 열생성율: 그림 2.10 열생성율과 열전도율 ○ 유한요소해석결과 외부로 전달되는 열전달율 ○ 절점의 수를 증가시킨다면, ① ② ▷ ① ① ③ ③ ▷ ○ ≒ 41% 그림 2.11 요소밀도 증가와 정확도 개선

그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1] 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 경계에서 불균형 항(외부로 전달되는 열유동량)의 계산 ○ 요소방정식을 이용한 경계에서 열전달율의 계산 ○ 요소 ① ○ 요소 ③ ○ 요소 ② 그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1] ○ 불균형항의 계산: ○ 경계조건 부과 이전의 유한요소방정식으로부터 경계에서 열전달율의 계산 경계조건 부과 이전의 유한요소방정식

2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ⊙ 경계조건 부과 시점에 따른 유한요소방정식의 표현 차이 ○ 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 ○ 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 예제: 경계조건 <방법 1> 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 문제 2 ⊙ 시도함수: ○ 경계조건(B.C.)을 반영하지 않았음 ⊙ 유한요소방정식의 유도 ○ ○ ○ ○

2.10 유한요소방정식의 일반형유도 <방법 2> 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 절점의 분류 ○ { 는 모든 절점번호} ○ { 는 필수경계조건이 부과된 절점 번호} ○ { 는 자유도가 구속되지 않은 절점 번호} ○ ⊙ 예제: ○ ○ ○

2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ○ ○ 또는