위험과 수익률

수익과 수익률 수익 (return, payoff) 수익률 (rate of return) 투자자가 실물자산이나 금융자산에의 투자를 통해 얻는 성과 (이익, 배당, 자본이득 등) 수익은 이득(gain) 또는 손실(loss)로 나타남 투자성과의 절대적 지표 : 절대금액 개념 수익률 (rate of return) 투자액 1원에 대해 어느 정도의 성과를 얻었는지를 나타내는 지표 투자에 의한 수익과 투자금액의 비율 : 상대적 개념 (gross rate of return)

수익과 수익률 단일기간 투자수익률 : 자본이득 (capital gain : 주식가격 변동분) : 배당수익률 (예상 배당금과 현재주가의 비율) : 자본이득률 (자본이득의 현재주가에 대한 비율)

수익과 수익률 단일기간 투자수익률 <예 1> 주식 1주를 6,000원에 구입하여 1년 후에 500원의 배당을 받은 후 7,000원에 팔았다면, 이 경우 1년 동안의 수익률은 얼마인가?

수익과 수익률 여러 기간 투자의 보유기간수익률 1 2 n-1 n : (t-1) 시점에서 t시점 사이의 수익률 n-1 n : (t-1) 시점에서 t시점 사이의 수익률 투자금액 : 1원 보유수익률(HPR: Holding Period Return)

수익과 수익률 여러 기간 투자의 보유기간수익률 <예 2> 가격과 배당이 다음과 같이 주어진 주식의 각 기간수익률과 2년 동안의 보유수익률을 구하라. 1 2

수익과 수익률 여러 기간 투자의 보유기간수익률 첫 해 수익률 둘째 해 수익률

수익과 수익률 여러 기간 투자의 연평균 수익률 내부수익률 (internal rate of return: IRR) 미래 투자수익의 현재가치와 투자금액을 일치시키는 할인율 산술평균수익률 (AMR: arithmetic mean rate of return) 여러 기간에 걸쳐 투자하는 경우 각 기간의 수익률을 구하여 산술평균한 수익률 기하평균수익률 (GMR: geometric mean rate of return) 여러 기간에 걸쳐 투자하는 경우 각 기간의 수익률을 구하여 기하평균한 수익률

수익과 수익률 여러 기간 투자의 연평균 수익률 내부수익률 (internal rate of return: IRR) 산술평균수익률 (AMR: arithmetic mean rate of return) 기하평균수익률 (GMR: geometric mean rate of return) 복리계산 IRR로 재투자한다고 가정 복리계산 X 복리계산 해당시점의 단일기간 투자수익률로 재투자한다고 가정

수익과 수익률 여러 기간 투자의 연평균 수익률 <예 3> <예 2>의 내부수익률을 구하라. 1 2

수익과 수익률 여러 기간 투자의 연평균 수익률 <예 4> <예 2>의 산술평균수익률과 기하평균수익률을 구하라. AMR ≥ GMR 수익률이 넓게 분포할수록 (AMR-GMR)이 확대됨. 개념적으로 GMR이 우월하지만 통계처리에서는 AMR이 유용

위험(risk)의 개념 실현수익률(realized return) vs. 기대수익률(expected return) 실현수익률 : 자산으로부터의 투자수익이 이미 발생한 경우의 수익률 기대수익률 : 자산으로부터의 투자수익이 미래에 발생할 경우의 수익률 은행예금 vs. 주식투자 (투자기간 1년, 단위 : 만원) 100 90 130 105 호황(0.5) 불황(0.5) (1) 은행예금 연5% 이자율 (2) 주식투자 50-50 확률로 30%, -10% 수익률 기대수익률=10% (30%×0.5-10%×0.5)

위험(risk)의 개념 은행예금의 경우 주식투자의 경우 무위험자산 vs. 위험자산 투자수익에 위험이 없는 경우 사전적 기대수익률 = 5% = 사후적 실현수익률 주식투자의 경우 투자수익에 위험이 있는 경우 호황(50% 확률)일 때 120만원으로 상승하거나(수익률=130/100-1=0.3) 불황(50% 확률)일 때 90만원으로 하락(수익률=90/100-1=-0.1) 기대수익률 = 0.5(30%) + 0.5(-10%) = 5% 이 경우 실현수익률은 30%이거나 -10% 기대수익률 ≠ 실현수익률 무위험자산 vs. 위험자산 무위험자산의 경우 : 기대수익률(ex ante) = 실현수익률(ex post) 위험자산의 경우 : 기대수익률(ex ante) ≠ 실현수익률(ex post)

위험(risk)의 개념 불확실성(uncertainty) vs. 위험(risk) 위험의 정의 105 150 130 100 70 위험：미래에 발생 가능한 상황과 객관적 확률을 아는 상태 불확실성：미래에 어떤 상황이 발생할지 전혀 모르는 경우 위험의 정의 투자로부터 얻게 될 미래 실현수익률이 기대수익률과 서로 다를 가능성 미래 수익률의 변동성(variability, volatility) 불확실성(위험)이 커질수록 미래 현금흐름은 넓은 범위에 걸쳐 분포 90 70 150 100 130 호황(0.5) 불황(0.5) 주식 B 주식 A 105 예금

기대수익률의 개념 투자의 개념 time uncertainty → risk t = 0 (현재) t = 1 (미래) 주식매입 1년간 주식투자의 경우 time t = 0 (현재) t = 1 (미래) 주식매입 주식매도 + 배당금 수취 uncertainty → risk

기대수익률의 개념 투자의 개념 투자의 기대수익률 미래 불확실(위험)한 현금흐름을 얻기 위해 현재의 확실한 현금흐름을 포기하는 행위 투자자들은 투자 결정시 현재 소비의 포기(기다림)와 불확실성(위험)에 대한 보상을 기대 투자의 기대수익률 기대수익률 = 무위험수익률 + 위험프리미엄 (시간에 대한 보상) (위험부담에 대한 보상) 투자결정은 시간선호(time preference)와 위험선호(risk preference) 두 가지 선택의 문제 투자결정은 수익률과 위험에 대한 적절한 조화가 필요

투자의 가치 투자의 2가지 속성 : risk and return 투자대상의 가치 수익률(return) 위험(risk) 화폐의 시간가치(time value of money)와 투자대상이 갖는 위험프리미엄(risk premium)을 함께 고려한 개념 투자대상의 수익률은 미래에 기대되는 수익률이기 때문에 기대수익률로 측정 위험(risk) 미래 수익률의 변동성으로서 분산 또는 표준편차로 측정 가능 투자대상의 가치 투자의 2가지 속성인 수익률과 위험에 의해 결정 자산 j의 가치

기대수익률과 위험 주식A와 B에 대한 수익률의 확률분포 미래상태 확 률 Prob 주식수익률(%) 불황 0.25 6 -4 정상 확률변수 (random variable) : 위험 하에서 미래 상황에 따라 여러가지 다른 값을 갖는 변수 확률분포 (probability distribution) : 미래에 발생 가능한 상황, 각 상황이 발생할 확률, 각 상황이 발생할 때 확률변수가 취하는 값으로 나타낸 확률변수의 특성 확률변수의 요약 통계치 : 대표값 (중심위치, 산포) 미래상태 확 률 Prob 주식수익률(%) 불황 0.25 6 -4 정상 0.50 10 8 호황 14 28

기대수익률과 위험 기대수익률 (expected rate of return) : 각 미래상태가 발생할 확률에 각 미래상태가 발생할 경우에 실현되는 예상수익률을 곱한 결과를 모두 더한 값 확률분포가 고려된 평균수익률로서 사전적(ex ante) 수익률 확률변수의 중심위치 미래상황 2가 발생할 경우 주식 A의 수익률 미래상황 2가 발생할 확률(상대적 가능성)

기대수익률과 위험 주식 A, B의 기대수익률 계산 기대수익률의 해석 주식 A와 B는 투자하게 되면 미래상태에 따라 서로 다른 수익률이 실현되나, 평균적으로는 10%의 수익률을 얻을 것으로 사전적으로(ex ante) 기대됨

기대수익률과 위험 분산 (Variance) : 투자결정에서 위험의 정도를 나타내며 각 상황이 발생했을 때 실현되는 수익률과 기대수익률의 차이(편차)를 제곱하여 이를 각 상태가 발생할 확률로 곱하여 모두 더한 값 → 편차제곱의 평균(기대값)

기대수익률과 위험 주식 A, B의 분산 계산 주식 B가 A보다 높은 분산값을 갖는데 이는 주식 B 수익률의 변동성, 즉 위험이 더 크다는 것을 의미

기대수익률과 위험 표준편차 (standard deviation) : 주식 A, B의 표준편차 계산 분산의 양의 제곱근을 의미하며 확률변수의 단위와 같도록 표준화한 값 주식 A, B의 표준편차 계산

기대수익률과 위험

<대형주 포트폴리오 과거 수익률 분포> (기대수익률 13.2%, 표준편차 20.1%) 기대수익률과 위험 정규분포와 표준정규분포(기대수익률: 0 표준편차: 1) +1σ +2σ +3σ -3σ -2σ -1σ 13.2% 33.3% 53.4% 73.5% -47.1% -27.0% -6.9% 68% 95% 99% <대형주 포트폴리오 과거 수익률 분포> (기대수익률 13.2%, 표준편차 20.1%) 68% 95% 99% +1σ +2σ +3σ -3σ -2σ -1σ <표준정규분포와 확률>

기대수익률과 위험 과거 주식수익률에 대한 위험의 측정 기대수익률이 대용치 : 평균수익률( ) 미래 자료의 특성이 과거자료와 같다는 가정하에서 기대수익률이 대용치 : 평균수익률( ) 분산 : 과거 주식수익률의 분산( ) : t시점의 주식수익률

기대수익률과 위험 기아자동차 주식에 대한 과거의 월별 주식수익률 시점 실제수익률 (1) 평균수익률 (2) 편차 (1)-(2) 편차 제곱 91.07 0.2238 0.00276 0.22104 0.048859 91.08 -0.0456 -0.04836 0.002339 91.09 0.0956 0.09284 0.008619 91.10 -0.0131 -0.01586 0.000252 91.11 -0.0442 -0.04696 0.002205 91.12 -0.0509 -0.05366 0.002879 92.01 0.0487 0.04594 0.00211 92.02 -0.1534 -0.15616 0.024386 92.03 -0.1208 -0.12356 0.015267 92.04 0.0875 0.08474 0.007181 합계 0.0276 0.114097

기대수익률과 위험 기아자동차 주식에 대한 과거의 월별 주식수익률 평균수익률 분산 표준편차

위험에 대한 태도 동전 던지기 게임 (1) 동전 던지기 게임 (2) 10원짜리 동전을 던져서 탑이 있는 면이 나왔을 때에는 1만원, 뒷면이 나왔을 때에는 3만원을 지불하는 게임 기대수입 : 2만원 (게임을 되풀이 했을 때 평균수입) 이 게임의 참가비가 얼마면 참가하겠는가? 21,000원에 참가 → 위험선호자(risk seeker) 20,000원에 참가 → 위험중립자(risk neutral investor) 19,000원에 참가 → 위험회피자(risk averter) 동전 던지기 게임 (2) 10원짜리 동전을 던져서 탑이 있는 면이 나왔을 때에는 0만원, 뒷면이 나왔을 때에는 4만원을 지불하는 게임 기대수입 : 2만원 (게임 (1)과 동일) 위험회피자의 경우 이 게임의 참가비가 얼마면 참가하겠는가? 19,000원보다 작아야 함

위험회피와 위험프리미엄 위험회피형 투자자의 선택 : 투자 A 또는 투자 B? 120 B는 무위험(변동성=0)인 반면 A는 위험(변동성>0) A의 기대수익률은 B의 기대수익률(무위험수익률)과 동일 무위험수익률(무위험이자율) = 5% A의 기대수익률에는 위험에 대한 보상이 없음 105 90 120 100 호황(0.5) 불황(0.5) 투자 A 투자 B 투자 A의 기대수익률 =0.5(20%)+0.5(-10%) =5% 투자 B의 기대수익률 =0.5(5%)+0.5(5%)

위험회피와 위험프리미엄 위험회피형 투자자의 선택 : 투자 C 또는 투자 B? 130 무위험수익률 : 확실하게 받을 수 있는 이자율 (시간에 대한 보상) 위험프리미엄 = 기대수익률 - 무위험이자율 (위험에 대한 추가보상) 위험자산 vs. 무위험자산 → 위험프리미엄의 필요성 105 90 130 100 호황(0.5) 불황(0.5) 투자 C 투자 B 투자 C의 기대수익률 =0.5(30%)+0.5(-10%) =10%

위험회피와 위험프리미엄 위험회피형 투자자의 선택 : 투자 C 또는 투자 D? 130 150 주식 D의 가격 하락 (주식 D 가격 < 주식 C 가격) 주식 D 변동성 > 주식 C 변동성→ 주식 D의 RP > 주식 C의 RP 70 90 130 100 150 호황(0.5) 불황(0.5) 투자 C 투자 D 투자 D의 기대수익률 =0.5(50%)+0.5(-30%) =10%

위험회피와 위험프리미엄 2개 투자안 A와 B의 비교 현 시점의 투자비용은 모두 98억이고 무위험이자율은 10%로 가정 미래상태 확률 1년 후 현금흐름 (억원) 투자안 A 투자안 B 불경기 호경기 0.5 110 80 140

위험회피와 위험프리미엄 가치(현재가치)의 계산 단계 적정 할인율 투자안 A와 B의 가치판단을 위한 적정 할인율 미래 현금흐름(CF: cash flows)을 측정 측정된 미래 현금흐름을 적정할인율로 할인 적정 할인율 미래 현금흐름이 확실한 경우 적정 할인율로서 무위험이자율 사용 미래 현금흐름이 불확실한 경우 무위험이자율이 적정 할인율의 역할을 할 수 없음 투자안 A와 B의 가치판단을 위한 적정 할인율 투자안 A의 경우 미래 현금흐름이 확실하므로 가치를 구하기 위해 10%의 할인율을 사용하는데 문제가 없음 투자안 B의 경우 10%의 할인율을 적용한다면, 투자안 B의 현금흐름이 A의 현금흐름과 평균적으로 같으므로 투자안 A와 B의 가치가 같지만 대부분의 투자자들은 투자안 A 선택

위험회피와 위험프리미엄 미래현금흐름이 불확실한 경우의 가치 계산 투자안 A를 선택하는 원인은 투자자들이 불확실한 현금흐름보다는 확실한 또는 안전한 현금흐름을 선호하기 때문 A safe dollar is worth more than a risky dollar. 투자자들이 투자안 B와 같은 위험성이 있는 투자안에 투자하도록 하기 위해서는 무위험이자율보다 높은 수익률을 제시해야 함 투자안 B의 가치를 공정하게 평가하기 위해서는 무위험이자율보다 높은 할인율을 사용해야 함 위험한 투자안의 할인율 k = 무위험이자율(rf) + 위험프리미엄 : 투자안 i의 할인율 : 무위험이자율 : 투자안 i의 위험프리미엄

위험회피와 위험프리미엄 투자안 A의 가치 투자안 B의 가치 현금흐름 110억, 할인율 10%(무위험이자율) (기대)현금흐름 110억, 할인율 16%(=10%+6%)

기대효용이론 효용(utility) 효용함수(utility function) 확실한 상황에서의 선택의 문제 인간의 주관적 즐거움(만족도)을 숫자로 나타낸 것 효용함수(utility function) 효용을 나타내는 함수 ⇒ 효용이 큰 것을 선택 확실한 상황에서의 선택의 문제 사과 1개의 만족도(효용) 10, 배 1개의 만족도 14 효용함수 : 사과와 배 중에서 효용이 큰 배 선택 효용이론(utility theory)의 핵심

기대효용이론 불확실한 상황에서의 선택의 문제 기대효용의 개념이 도입 필요 기대효용(expected utility) : 불확실한 경우 각 상황이 발생하게 되면 얻게 되는 효용의 기대값 사후적 만족도(효용)의 사전적 평균효용 동전을 던져서 앞면이 나오면 사과 1개, 그리고 뒷면이 나오면 배 1개를 지급하는 복권을 받았다면 이 경우 당신의 효용은? 결과 확 률 효용 기대효용 앞면(사과) 0.5 10 12 뒷면(배) 14

기대효용이론 기대효용이론(expected utility theory) 일반적인 경우의 기대효용(expected utility) 효용의 극대화 확실성 하에서 투자자가 투자대상을 선택할 때 적용하는 기준 기대효용의 극대화 불확실성 하에서 투자자의 목적함수는 단순히 효용의 극대화가 아닌 기대효용의 극대화 (기대수익과 이에 따르는 위험까지 고려) 일반적인 경우의 기대효용(expected utility)

기대효용이론 기대효용극대화의 예 홍길동씨의 효용함수는 다음과 같다. 동일한 투자비용이 소요되는 투자안 A, B 수익의 확률분포는 다음과 같다. 기대효용극대화의 기준으로 판단할 때 홍길동씨는 어느 투자안을 선택해야 하는가? 수익(현금흐름) 100 200 300 400 500 효용 20 39 57 75 86 미래상태 확 률 투자안 A 투자안 B 호황 0.3 500 400 보통 0.4 300 불황 100 200

기대효용이론 투자안 A, B의 기대효용 투자안 B의 기대효용이 더 크기 때문에 투자안 B 선택

기대효용이론 효용함수 에 대한 가정 (위험회피형 투자자의 경우) 수익이 증가할 수록 효용도 증가 효용함수 에 대한 가정 (위험회피형 투자자의 경우) 수익이 증가할 수록 효용도 증가 불포화성(nonsatiation)의 가정 투자자들은 적은 것보다는 더 많은 것을 선호 : The more, the better. 수익이 증가함에 따라 효용의 증가율(한계효용)은 체감 한계효용 체감(diminishing marginal utility) 한계효용 : 수익이 1원 증가할 때 추가적으로 얻어지는 효용

기대효용이론 효용함수의 예 : 효용과 한계효용 원점에 대한 오목함수(concave function) 2가지 가정의 충족 : 수익( ) 효용( ) 한계효용( ) 1 1.0000 2 1.4142 0.4142 3 1.7321 0.3179 4 2.0000 0.2679

기대효용이론 효용함수의 예 : 1 2 3 4

기대효용이론 의 효용함수를 갖는 투자자 위험회피형 투자자 주식 A와 B에 각각 1원씩 투자한 경우 미래상태 확 률 미래수익(원) 불 황 0.5 2 호 황 4

기대효용이론 주식 A와 B에 대한 기대효용 주식 A와 B의 표준편차 결과의 해석 주식 A의 수익으로부터 얻는 기대효용이 주식 B로부터 얻는 것보다 크므로 투자자는 주식 B보다 주식 A를 선호 이는 투자자가 다른 조건이 동일하다면 위험을 싫어한다는 것을 의미

기대효용이론 효용함수의 형태와 위험에 대한 태도 위험회피형(risk aversion) 위험중립형(risk neutrality) 한계효용 체감 (u’’(R)<0) 원점에 대해 오목 (concave) 위험중립형(risk neutrality) 한계효용 불변 (u’’(R)=0) 선형 효용함수 위험선호형(risk loving) 한계효용 체증 (u’’(R)>0) 원점에 대해 볼록 (convex) 위험추구형 위험중립형 위험회피형

평균-분산 모형 평균-분산 모형(mean-variance model) 효용함수의 형태나 수익의 확률분포를 이용하지 않고 미래 수익의 평균과 분산(또는 표준편차)의 두 통계치만으로 투자자의 기대효용을 나타내는 모형 평균-분산 무차별곡선 (m-v indifference curve) 위험 측정치로 표준편차를 사용할 때 기대효용이 같은 평균-표준편차의 조합을 연결한 선 투자자에게 동일한 기대효용을 가져다 주는 기대수익과 위험의 조합

평균-분산 모형 평균-분산 무차별곡선 효용의 증가 위험회피형 투자자의 평균-분산 무차 별곡선 양(+)의 기울기를 가지며 원 점에 대해 볼록 기대수익률과 위험의 한계대체율 증가 화살표 방향으로 갈수록 더 큰 효용 J와 K는 기대수익률이 같지만 위험은 J 가 낮으므로 J의 기대효용이 높음 L과 K는 위험이 같지만 기대수익률은 L 이 높으므로 L의 기대효용이 높음 특정 개인의 무차별곡선은 서로 교차 하지 않음 즉 하나의 투자안은 반드시 하나의 효 용값을 가짐 효용의 증가

평균-분산 모형 위험회피 정도에 따른 무차별곡선 (a) (b) 위험회피성향 : (a) > (b) 투자자의 위험회피 성향이 클수록 모든 위험수준에서 무차별곡선 기울기는 더 커짐 (a) (b) 위험회피성향 : (a) > (b)

평균-분산 모형 투자자의 평균과 분산(위험)에 대한 태도 Non-satisfaction Risk Aversion For a given level of risk, the preferred alternative is one with the highest expected return (A > C) Risk Aversion For a given level of return, the preferred alternative is one with the lowest level of risk (A > B) 기대수익률 A B C 위험

평균-분산 모형 지배원리(dominance principle)와 증권선택의 예 개별주식의 기대수익률과 분산 개별주식의 기대수익률과 표준편차 (단위 : %) E(r) 주식 기대수익률 표준편차 D E F G 10 12 16 13 15 16 G 12 F E 10 D 10 13 15 주식 D에 의해 지배되는 영역 → 투자선택에서 배제

평균-분산 모형 지배원리와 증권선택의 예 지배원리의 개념 최적 투자안의 선택 주식 D와 E를 비교하면 기대수익률이 모두 10%이나 표준편차는 D가 10%이고 E가 13%이므로 위험을 싫어하는 투자자는 주식 D를 선호 (주식 D가 주식 E를 지배) 주식 F와 G를 비교하면 표준편차는 15%로 동일하지만 기대수익률은 G가 크므로 주식 G는 주식 F를 지배 지배원리의 개념 기대수익률이 같다면 위험이 낮은 투자안을 선택 위험이 같다면 기대수익률이 높은 투자안을 선택 최적 투자안의 선택 지배원리에 의해 선택된 효율적 투자집합 {D,G}중 투자자의 위험회피 정도에 따라 최적 투자안 선택