필터 설계 Gold. D. 건

목차 서론 – 필터를 설계함에 있어 삽입손실법을 기초한 구성 방법론으로 접근한다. 본론 – 삽입손실법을 토대로 Butterworth 필터의 기본형을 만들어 상활별 결과가 어떻게 나오는지 증명한다. 결론 – Butterworth와 Chebyshev필터를 설계한다.

서론 : Insertion Loss Method - 삽입 손실법 회로망 합성법을 이용, 특정한 형태의 주파수 응답특성. 정규화된 LPF 기본형(Prototype) 임피던스 및 주파수 스케일링과 변환을 통해 설계하고자 하는 주파수응답, 차단 주파수, 임피던스 크기를 가지는 필터로 변환 시킨다. 설계하려는 필터 응답을 체계적 방법으로 합성하기 때문에, Passband & Stopband의 진폭 및 위상특성을 정확히 조절할 수 있다.

Insertion Loss Method 필터 응답 : 삽입손실 or 전력손실비 = 필터를 들여다보는 반사계수. 필터 응답특성= dB로 표시될 경우 삽입손실은

Insertion Loss Method 이 수식에서 N=차수, =차단 주파수, 통과대역은 =0 ~ 이고, 대역폭 양끝 에서의 전력손실비는 이며, -3dB로 택하면, k=1이되며, 일 때, 감쇠는 주파수에 따라 일관성있게 증가한다. 이 공식을 이용하여 L과 C값 구하기.

본론 : Butterworth LPF Proto-type Insertion Loss: = 3.01dB이다. =1 일 때, 이며, 20NdB/decade의 비율로 증가하여 나타내며, 1차 도함수에서부터 시작하여 (2N-1)계의 도함수가 ω=0에서 모두 0이라는 사실로 maximal flat이라는 말이 붙여졌다. 삽입손실이 주파수 증가에 따라 20NdB/decade비율로 증가함.

Butterworth LPF Proto-type 전원 임피던스 1Ω, 차단 주파수 =1 N=2 일 때, ∴

Butterworth LPF Proto-type

Butterworth LPF Proto-type

Butterworth LPF Proto-type

Butterworth LPF Proto-type

Butterworth LPF Proto-type clear all; close all; order = [1 2 4 8 10 30 50] w=0:0.01:4 H1 = sqrt((1+w.^(2*order(1))).\1); H2 = sqrt((1+w.^(2*order(2))).\1); H4 = sqrt((1+w.^(2*order(3))).\1); H8 = sqrt((1+w.^(2*order(4))).\1); H10 = sqrt((1+w.^(2*order(5))).\1); H30 = sqrt((1+w.^(2*order(6))).\1); H50 = sqrt((1+w.^(2*order(7))).\1); plot(w,H1, w, H2, w, H4, w, H8, w, H10, w, H30, w, H50); grid on; legend('N=1', 'N=2', 'N=4', 'N=8', 'N=10' ,'N=30', 'N=50') xlabel('omega') ylabel('|H(omega)|') title('Magnitude Characteristics of the Normalized Butterworth Filter')

Example 예제 5.1(Microwave and RF Wireless Systems – David M. Pozar) 차단 주파수가 8GHz이고 11GHz에서 최소 감쇠량이 20dB인 Butterworth 필터를 설계하려한다. 이 여파기에 필요한 소자수는? = 7.214737026 ∴ 8개 = 0.375

Example 차수를 구한다.(5) = = 7.214737026 차단 주파수 값을 구한다. (8) 최소 감쇠량이 되는 주파수를 구한다.(11) 감쇠량 dB량을 구한다.(20) 차수를 구한다.(5) - 차단 주파수가 8GHz이고, - 11GHz에서 - 최소 감쇠량이 20dB인 필터 구하라 = = 7.214737026

Chebyshev LPF Equal-ripple이라고도 하며, 같은 방식으로 이 유도된다.

Chebyshev LPF 가 통과대역 리플크기를 결정한다. 그림처럼 리플의 크기가 이지만 보다 가파른 필터의 차단 특성을 얻는다. x가 크면 인 경우 삽입손실은 으로 근사화되어 20NdB/decade로 증가한다. 주파수 대역에서는 Butterworth보다 배로 커진다.

Chebyshev LPF Proto-type 전력손실비는 , 통과대역 리플크기는 Chebyshev 다항식은 , 이므로, ω=0에서 전력손실비는 1이고, N이 짝수일 때 ω=0에서 전력손실비는 이다. 리플크기를 알게 되면, R,L,C를 구하는데 ω=0에서

Chebyshev LPF Proto-type 수식에

Chebyshev LPF Proto-type, order dB표현시

Chebyshev LPF 1dB

Chebyshev LPF 3dB

Chebyshev LPF 3dB

Linear phase - 선형위상 통신 시스템의 일부 응용분야에서 신호왜곡을 피하기 위해 필터 통과대역 내에서 선형위상 응답을 가지는 것이 좋아지는데, 이는 가파른 필터 차단특성을 얻으려면 위상응답이 나빠짐을 극복하기 위함이다. 응답 차단특성을 나빠지는 것을 감안하여 위상응답을 합성한다.

Filter Scaling 정규화된 LPF 기본형을 정해진 임피던스 크기, 차단주파수, 주파수 응답을 가지는 Filter회로로 변환하는 과정을 설명한다.

Filter Scaling 임피던스 스케일링 주파수 스케일링 주파수 변환된 필터 소자값은 주파수 차단은 일 때 이다.

Low-Pass-Filter( T & π Type ) 형태 높은 주파수가 차단 됨을 직관적으로 알 수 있다.

결론 : Example2 예제 5.2(Microwave and RF Wireless Systems – David M. Pozar) 차단 주파수 2GHz, 임피던스 50Ω, 3GHz에서 최소한 15dB의 감쇠(삽입손실)를 가지는 butterworth 저역통과 필터를 설계하라. f=0에서 4GHz까지 여파기 진폭응답과 군지연을 계산하여 도시하고, 이들 결과를 동일 차수의 chebyshev필터(3.0dB 리플)와 선형위상 여파기의 결과를 비교해 보라.

Example2 차수 = 4.219529618 ∴ 차수=5

Example2 5차 이므로, 다음 값이 나온다. 차단 주파수 2GHz, 임피던스 50Ω, 3GHz에서 최소한 15dB의 감쇠(삽입손실)를 가지는 butterworth 저역 통과 필터를 설계하라.

Example2 스케일링 값(T형) 스케일링 값(π형).

Example2

Example2