Space Shuttle Cargo Door - 미국의 space shuttle은 러시아의 Mir 우주 스테이션과 자주 docking한다. NASA space shuttle의 cargo door를 열기 위해서 전자석을 동작시키는 데 0.1 A의 전류가 필요하다. - 그림에서 인덕터에 0.1 A를 흘려야 하는데 3초 이내에 그 값에 도달해야 한다. L 값을 정하라. - 이 회로에는 캐패시터가 1개, 인덕터가 2개이어서 에너지 저장 소자가 3개 있다. 따라서, 미분방정식은 3계 미분방정식이 된다. - Laplace 변환을 이용해서 미분방정식을 대수식으로 고쳐서 과도현상을 해석할 수 있다. The control circuit for a cargo door on the NASA space shuttle

Laplace Transformation 미분방정식으로 시간 영역에서 표현된 회로. 시간 영역에서 표현된 해. Time domain 대수식으로 주파수 영역에서 표현된 회로. 주파수 영역에서 표현된 해. Frequency domain 미분방정식의 해 주파수 영역으로 변환 대수식의 해 시간 영역으로 변환 Time domain의 문제를 frequency domain으로 바꿈. Comment (1) t =  에서 f(t)의 적분이 수렴할 것인가? 공학적인 문제에서는 대부분 수렴. (2) 하한은 0 - 로 한다. t < 0 - 의 정보는 초기조건으로 처리한다.

Step and Impulse Function Step function K u(t) = 0 t < 0 K u(t) = K 0 < t K u(t-a) = 0 t <a K u(t-a) = K a < t Impulse function K t K t a   0, 면적 = 1 연속이므로 f(t)  f(a)    K (t) t K (t-a) a 연속이므로 f(0) = 1

Functional Transforms

Operational Transforms (I) Differentiation Integration 여기서 = 0

Operational Transforms (II) Translation in the time domain Translation in the frequency domain Scale changing

Example + – t = 0 Laplace 변환을 하면 초기 전압이 영이라면 원하는 R L C v(t) Idc

Inverse Transformation (1) (2) (3) (4)

Initial-and Final-Value Theorems t = 0 또는 t =  일 때의 f(t) 값은 최종 값을 구하지 않고도 알 수 있다. Initial value Final value 1 s 이면 영. 는 상쇄되어서 는 상쇄되어서

Circuit Elements in the s Domain (I) + v – V(s) R i I(s) + V(s) – I(s) I(s) + V(s) – i sL + v – sL 초기전류 : I0 L LI0 - + I0 직렬회로 병렬회로 I(s) I(s)

Circuit Elements in the s Domain (II) I(s) + V(s) – I(s) + – i V(s) + v – CV0 초기전압 : V0 + – 직렬회로 병렬회로

Natural Response of an RC Circuit + V0 – node a , KCL a R CV0 + V – u(t) : step function R + – I(s)

Step Response of a Parallel RLC Circuit 초기조건 : t=0 C R L R sL R, L, C 값을 대입해서 부분분수 분해하고 Laplace 역변환으로 v (t) 와 iL (t) 를 구한다.

Transient Response of a Parallel RLC Circuit 초기조건 : t=0 C R L R sL 정상상태 해 과도상태 해

pole은 plane의 왼쪽에 있어야 응답이 수렴한다. Transfer Function - 입력과 출력의 s-domain ratio 이때 초기조건은 영이고 전원은 하나이다. 둘 이상일 경우 전달함수를 중첩한다. + – Vg(s) R sL I(s) V(s) pole은 plane의 왼쪽에 있어야 응답이 수렴한다.

: convolution integral Impulse Response x(t) h(t) y(t) - 미지의 선형 회로가 있을 때, 이 회로의 임의의 입력 x(t)를 가했을 때의 회로의 응답 y(t)를 알 수 있는가?  회로망에 대한 정보가 필요 - 회로의 Transfer function을 H(s)라 하면 H(s) = Y(s) / X(s) 입력이 x(t) =  (t)일 때 X(s) = 1이므로 H(s) = Y(s)  h(t) = y(t) Impulse response h(t) : 회로에 impulse function을 가했을 때의 회로의 응답 회로에 임의의 입력 x(t)가 가해질 경우 출력 y(t)는 : convolution integral

Convolution Integral x(t) h(t) y(t) (1) x(t)와 h(t)가 오직 실험 data에 의해서만 알 수 있을 때. (2) memory와 weighting function 개념을 도입할 때. (3) Laplace 변환 함수 곱의 역 변환을 구할 때. x(t) h(t) y(t) 회로는 선형이고 time-invariant 이다. 즉, 선형이므로 superposition이 가능하고, time-invariant 이므로 input time-delay가 output에 보존되어 나타남. Input가 impulse이면 h(t) : impulse response, h(t) = y(t).

Convolution and Laplace Transform

Graphic Interpretation of Convolution Integral   (a) x() x() M M (b) T1 T2  (b) T1 T2  x(-) A h(-) M -T2 -T1  (c)  (c) M M x(t-) h(t-)  (d) t  (d) t-T2 t-T1 t x()h(t-) h()x(t-) MA y(t)=area MA y(t)=area (e)  (e) T1 t-T1 t  t

Memory and Weighting Function 미래=0 현재: 매우 지배적  h() 과거: 덜 지배적 Future Present Past  Perfect memory : impulse response or weighting function perfect memory No memory: 1.0 과거  현재 h()  h() Scaled replica of the input.

Memory and Weighting Function - Example 5 10 t h() vi(t-)  1.0 20 현재 값이 중시 되었음. Vo’ Vi (V) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Excitation Response 과거 값이 영향을 미침.

Space Shuttle Cargo Door (I) - NASA space shuttle의 cargo door를 열기 위해서 전자석을 동작시키는 데 0.1 A의 전류가 필요하다. - 그림에서 인덕터에 0.1 A를 흘려야 하는데 3초 이내에 그 값에 도달해야 한다. L 값을 정하라. - t = 0 에서 스위치가 동작하므로 t = 0 – 에서의 회로는 그림과 같다. The control circuit for a cargo door on the NASA space shuttle t = 0- 에서의 회로

Space Shuttle Cargo Door (II) - 캐패시터 전압은 아래의 식과 같다. - 이 식을 Laplace 변환을 하면 t = 0+ 에서의 회로 여기서 이므로 여기서 이다. - Mesh 1의 KVL - Mesh 2의 KVL - I1(s) 을 구하려면 인덕터 값 L 을 알아야 한다.

Space Shuttle Cargo Door (III) - 인덕터 값 L 을 1 H 로 설계한다. - i1(t) 는 4 초에는 0.125 A 가 된다. - 0.1 A 가 되는 시간을 식으로부터 구하면 1.8 초가 되므로 L = 1 H 로 하면 설계 사양을 만족한다. i1(t) 의 응답