유체역학(기말고사)Ch.4 환경공학과 20071441 김애희

IV. Problems of Third Chapter (Fluid Dynamics) 4.1 Search the database from the Internet for the information of the governing equation for the fluid flow analysis such as follows 1) Derivation of General Conservation Rule 범용적 보전 법칙에 대한 지배방정식 : 질량, 힘, 에너지, 열 ★Mass : 연속방정식(Continuity Equation),  물질이동방정식(Mass Transport Equation) ★Force-Motion : 운동방정식(Equation of Motion), 운동량방정식(Momentum Equation), 오일러방정식(Euler Equation, 마찰이 없는 경우),Navier-Stokes Equation ★Energy : 에너지방정식(Energy Equation)          베르누이방정식(Bernoulli Equation)

4.1 Search the database from the Internet for the information of the governing equation for the fluid flow analysis such as follows 질량보존의 법칙에 의하여 계안에서의 질량은 시간에 관계없이 일정하게 보존된다(상대성 효과는 무시함). 이것을 방정식의 형태로 표시하면 다음과 같다. 계에 Newton의 제 2 운동법칙을 적용하면 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, m은 계의 일정질량임을 명심해야 한다. 또 ΣF는 중력과 같은 력을 포함하여 계에 작용하는 모든 외력의 합력이고 v는 속도이다.

4.1 Search the database from the Internet for the information of the governing equation for the fluid flow analysis such as follows 2) Continuity Equation for the Mass Balance Rule

4.1 Search the database from the Internet for the information of the governing equation for the fluid flow analysis such as follows 3) Equation of Motion for the Force Balance Rule 물체의 운동을 기술(記述)하는 변수들 사이의 시간에 따른 관계를 나타내는 방정식이다. 일반적으로 미분(微分)방정식으로 나타난다. 뉴턴역학에서는 뉴턴의 운동의 제2법칙에 의해서 표현되는 2계 미분방정식으로 주어진다. 해석역학(解析力學: Analytic Mechanics)을 포함하면 라그랑지 운동방정식, 해밀톤 운동방정식 등도 있다. 4) Energy Equation for the Energy Balance Rule 열역학 제 1법칙을 계에 적용한 것을 말로 표현하면, 계에 공급된 열량 에서 계가 외부에 대하여 행한 일 W를 뺀 값은 오직 계의 초기상태와 최종상태에만 의존한다는 것이다. 계가 초기상태로부터 최종상태로 변하는 과정에서 변화경로에 무관하므로, 계 상태의 차이는 계의 특성값이 되어야 한다. 이 특성값을 내부에너지(internal energy) E라고 한다. 계에 적용한 열역학 제 1법칙을 방정식으로 표현하면

q + w = du + d(p * v) + d( ) + d(h) 4.1 Search the database from the Internet for the information of the governing equation for the fluid flow analysis such as follows 유동의 일반 에너지 방정식은 다음과 같다. q + w = du + d(p * v) + d( ) + d(h) q : 단위 질량당 가해진 열량 (Heat added per mass of flowing fluid) w : 단위 질량당 가해진 일 (Work added per mass of flowing fluid) u : 내부 에너지 (Internal Energy) p : 정압 (Static Pressure) v : 비체적 (Specific Volume) V : 유속 (Fluid Velocity) h: 위치 수두 (Elevation Head)

4.2 Classify the fluid flow and describe the characteristics of the classified flows such as the equation of shear stress in the case of turbulent flow, etc. 유체유동을 크게 두가지로 분류하면 압축성 유동과 비압축성 유동으로 분류할 수 있다. ★압축성 유동 대 비압축성 유동 실제로 모든 유체는 어느 정도는 압축성(compressible)이다. 압축성이라 함은, 압력이나 온도가 변하면 밀도가 변한다는 것을 의미한다. 그러나 많은 경우 압력이나 온도가 변할 때 밀도의 변화가 너무 작아 무시할 수 있는 경우가 있다. 이런 경우 유동은 비압축성(incompressible) 유동 방정식으로 묘사할 수 있다. 그렇지 않다면 더 일반적인 압축성 유동 방정식을 사용하여야 한다. 비압축성은 수학적으로 유체 다발이 유동장 내에서 움직일 때 그 밀도 ρ가 변하지 않음을 의미하는 다음과 같은 식으로 표현된다.

이 식을 사용하면 지배 방정식을 단순화할 수 있다. 4.2 Classify the fluid flow and describe the characteristics of the classified flows such as the equation of shear stress in the case of turbulent flow, etc. 이 식을 사용하면 지배 방정식을 단순화할 수 있다. 기체 유동에서 압축성 식을 쓸 지 비압축성 식을 쓸 지는 유동의 마하 수로 결정한다. 엄밀한 기준은 아니지만, 마하 수가 약 0.3 미만일 때에는 압축성 효과를 무시할 수 있다. 액체에 대해서는 비압축성 가정이 유효한지는 유체의 성질(특히 유체의 임계 압력 및 임계 온도) 및 유동 조건(실제 유동 압력이 얼마나 임계 압력에 가까운가)에 따라 좌우된다. 음향학적인 문제에는 항상 압축성이 고려되어야 한다. 왜냐하면 음파란 매질 내에서 전파할 때 압력과 밀도가 변화하는 압축파이기 때문이다.

레이놀드수=(특성속도*특성길이*질량)/점성계수 4.2 Classify the fluid flow and describe the characteristics of the classified flows such as the equation of shear stress in the case of turbulent flow, etc. o Turbulent(난류) : 난류로 전향하려는 경향은 인접층간의 상대운동을 저지하려는 점성전단력에 의하여 억제된다고 할 수 있다. 그러나 난류유동은 격렬한 횡단운동량 수송을 가지면서 유체입자가 매우 산만한 운동을 하는 유동이다. 유동의 성질, 다시 말해서 층류냐 난류냐, 그리고 층류화 경향에 미치는 난류의 상대적 중요성을 나타내는 척도는 Reynold 수 에 의하여 정량적으로 표시된다. 그럼 Reynold 수를 차원적으로 정리하면 R=ulρ/μ 레이놀드수=(특성속도*특성길이*질량)/점성계수 로 나타낼 수 있다. o Real (실제) and ideal(이상) flow o Reversible(가역) and irreversible(비가역) flow o Steady(정류, 정상상태) and unsteady(부정류) flow o Uniform(균일, 등류) and nonuniform(비균일, 부등류) o Rotational(회전류), irrotational(비회전)

4.3 Explain the stream equation. ⋅유속: 단위시간 동안에 물이 흐른 거리를 말한다. (단위:m/sec) ⋅유선: 한 순간의 입자속도 벡터에 접하는 가상의 곡선을 말하며 흐름의 방향은 순간의 접선 방향과 일치한다. ⋅유관: 유선으로 이루어진 가상적인 관 ⋅유적선: 유체입자의 운동경로를 말하며 유선과 일치할 수도있다. (정류) ⋅유선방정식 여기서

4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook.   범용적 보전 법칙의 지배방정식의 유도 질량보존의 법칙에 의하여 계안에서의 질량은 시간에 관계없이 일정하게 보존된다(상대성 효과는 무시함). 이것을 방정식의 형태로 표시하면 다음과 같다. 계에 Newton의 제 2 운동법칙을 적용하면 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, m은 계의 일정질량임을 명심해야 한다. 또 ΣF는 중력과 같은 력을 포함하여 계에 작용하는 모든 외력의 합력이고 v는 속도이다. 검사체적이란 공간상의 한 영역을 말하는 바 유동이 그 공간으로 흘러 들어오거나 공간에서 흘러나갈 경우를 해석하는 데 유용하다. 검사체적의 경계를 검사표면이라 한다. 검사체적의 크기와 형태는 임의로 설정할 수 있지만, 통상 고체경계면을 일부분으로 하고 다른 부분은 유동방향에 직각되게 설정함으로써 문제를 단순화할 수 있다.

4.4 Derive the governing equation of the general conservation rule from the integral approach as shown in the textbook. 검사체적의 개념은 여러 형태의 문제풀이에 이용될 뿐만 아니라 연속방정식, 운동량방정식 및 에너지방정식의 유도에 이용된다. 검사체적을 개방계라고도 말한다. 유동의 성질에 관계없이 모든 유동현상은 다음 관계를 따라서 흐른다. 이들 관계를 해석적 형태로 표현하면 다음과 같다. 1. 연속방정식, 즉 질량보존의 법칙 2. Newton의 운동법칙 3. 열역학 제 1, 제 2 법칙 4. 경계조건 ; 실제 유체 유동의 경우, 경계에서 경계면에 대한 상대속도가 0이라는 조건 또는 마찰이 없는 유체유동의 경우, 경계에서 경계면에 수직한 속도성분이 0이라는 조건(마찰이 없는 유체는  경계면을 침투할 수 없다).

4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method. 1) 적분방법에 의한 연속방정식의 유도 연속방정식은 일반적 물질보전의 법칙으로부터 유도된다. 즉, 시스템내의 질량은 시간에 대해서 변하지 않으므로 다음과 같다. 적분방식에 의해서 유도된 범용적 보전식의 주변수 N는 질량 m이 되고, η는 단위질량당 특성이므로 1이 된다. 따라서 다음과 같이 질량보전식이 유도된다. 위의 식은 검사체적내에서의 질량 증가 속도는 검사체적으로 유입되는 질량의 유입속도와 같다는 것을 의미한다.

대상부피로 들어오는 질량의 순 유출속도 + 대상부피 내 질량의 축적속도 = 0 4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method. 2) 미분 방법을 사용한 연속방정식의 유도 연속방정식이라는 의미는 유체의 흐름을 설명하는 과정에서 연속체를 가정하기 위하여 도입된 하나의 개념이다. 흐름 자체를 하나의 연속적인 과정에서 해석할 수 있기에 미세영역의 특성을 해석함으로 전체시스템을 설명할 수 있게 된다.  이러한 연속방정식은 근본적으로 질량보존의 관계에서 유도할 수 있다.  유체흐름의 질량보존관계식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 관계를 개략적으로 표현하면 다음과 같다. 대상부피로 들어오는 질량의 순 유출속도 + 대상부피 내 질량의 축적속도 = 0

4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method.

4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method.

4.5 Derive the continuity equation by using the integral method and the differential method.

4.6 Derive the equation of Q=AV from the continuity equation of the integral method.

4.7 Derive the Navier Stokes' Equation.

4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. 3성분을 모두 더하면 직육면체에 작용하는 단위 질량당의 x방향의 힘은 ∴ 3성분을 모두 더하면 직육면체에 작용하는 단위 질량당의 y방향의 힘은 ∴

4.7 Derive the Navier Stokes' Equation. 3성분을 모두 더하면 직육면체에 작용하는 단위 질량당의 z방향의 힘은 ∴ 각방향의 힘에 응력성분의 대입하고 응력성분과 변형 속도의 관계식을 대입하여 정리하면,

4.7 Derive the Navier Stokes' Equation.

4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. 1) 유선 방향에 대한 힘평형 관계를 고려한 오일러 방정식의 유도식을 유도하기 위하여 단면적이 A  길이 s인 매우 작은 원통형 검사체적을 택하여 다음 그림에 표시하였다. <그림 2.1> 유선 방향에 대한 힘 평형

4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. 유체속도는 유선 s를 따르고 있다. 점성계수가 0, 다시 말해서 유동을 마찰이 없는 유동이라고 가정하면, s방향으로 검사체적에 작용한 힘은 원통 양단에 작용하는 힘과 자중뿐이다. s방향에 대하여 다음과 같은 운동방정식을 검사체적에 적용한다. s가 증가할 때 연직 좌표값도 cosθ=∂z/∂s의 비율로 증가하므로 검사체적에 작용하는 힘의 s성분은 다음과 같다.

4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this.

4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this.

4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. 2) 3차원 오일러 방정식으로부터 유선방향의 오일러 방정식의 유도     유체내의 한점에 대하여 유선을 따르는 오일러 방정식의 다른 유도과정은 유선의 한 요소 δs와 상부 수직 방향의 δz를 취하여 성립될 수 있다. 3차원 오일러 방정식중 s 방향의 성분은 다음과 같다. 입자의 가속도 성분 는 유선을 따르는 거리 s와 시간의 함수이므로 다음과 같다.

4.8 Derive the Euler equation for the stream line, and derive the Bernoulli equation from this. 여기서, ds/dt는 입자의 시간에 대한 이동율이다, 즉 유속 v를 의미한다. 를 s 방향의 오일러방정식에 대입하고 정리하면 식(2.1)을 얻게 된다. 나머지 유동과정은 동일하다.

<그림 3.1> 단면에서의 유속분포와 평균 유속 4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor.  1) 운동에너지 보정계수 (Kinetic-Energy Correction Factor) <그림 3.1> 단면에서의 유속분포와 평균 유속

4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor.

위의 식을 x 방향에 대하여 정리하면 다음과 같다. 4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 2) 운동량 보정계수 (Momentum Correction factor) 운동량는 힘*시간, 즉, 질량*유속으로 정의된다. 범용적 보전식의 단위질량당 운동량은 유속이다. 따라서, 적분방식의 선형운동량방정식은 다음과 같다. 위의 식을 x 방향에 대하여 정리하면 다음과 같다.

4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor. 임의의 검사체적을 고려하여, 단면이 유속에 수직이고, 단면에 대하여 유속이 일정한 평균유속을 가정한다. 다음 그림의 유속 및 단면의 정류에 대해서는 위의 식은 다음과 같이 단순화된다. 즉, 위의 운동량 방정식중 경계면에서의 단면을 통과하는 운동량만 남는다. <그림 3.2> 가변 단면에서의 힘, 유속, 및 단면 벸터>

4.9 Derive the momentum equation from the general conservation rule in integral approach and explain the energy correction factor and the momentum correction factor.

4.10 The velocity profile in the turbulent flow is given by the equation of from the law of Prandt. Derive the the kinetic energy correction factor for this.

4.10 The velocity profile in the turbulent flow is given by the equation of from the law of Prandt. Derive the the kinetic energy correction factor for this.

4. 11 What is the flow rate the of the venturi meter as shown below 4.11 What is the flow rate the of the venturi meter as shown below? (S=0.90, p1-p2=20kPa)

4.12 Find the force exerted on a fixed vane when a jet discharging 60 L/s water at 50 m/s is deflected through 135o. 그림 3.34 고정날개에 접해서 유입되는 自由噴流(자유분류)

4.13 Apply the continuity, momentum, and energy equation to the hydraulic jump and derive the relative equation to solve the problem of depth after jump by using the figures as shown below. 직사각형 단면을 갖는 水平開水路(수평개수로)에서 수력도약에 관련하는 변수들 사이의 관계는 연속방정식, 운동량방정식 및 에너지방정식들을 사용하여 쉽게 얻을 수 있다. 편의상 水路幅(수로폭)을 단위폭으로 한다. 연속방정식(그림3.41) 는 운동량방정식은

4.13 Apply the continuity, momentum, and energy equation to the hydraulic jump and derive the relative equation to solve the problem of depth after jump by using the figures as shown below. 에너지방정식(액체표면상의 점들에 대해 적용)은