필터 구조 - 다양한 필터 구조를 개발하는 이유 - IIR 필터 구조 - FIR 필터 구조 - 격자필터(lattice filter) 구조 - 상태방정식을 이용한 필터의 표현 - 필터 구조의 유한 정세도 특성 분석

필터 구조 필터 설계 : 원하는 필터의 사양이 정해진 경우에, 그 사양을 만족하는 차분방정식의 계수를 구하는 것. 필터 구조 : 설계된 차분방정식을 덧셈기, 곱셈기, 지연소자를 사용하여 구현한 것. 하나의 차분방정식 또는 전달함수에 대하여 여러 개의 필터 구조를 만들 수가 있다. 다양한 필터 구조를 개발하는 이유 : 필터 구조마다 유한 정세도 특성(finite precision characteristics)특성이 다르고 구현비용이 다르기 때문. 설계된 차분방정식이 반도체 등으로 구현될 때, 대부분의 경우 필터 하드웨어에서 사용되는 비트 크기는 제한. 어떤 반도체 칩에서는 16비트를 사용하고 어떤 반도체 칩에서는 8비트를 사용. 유한 정세도 특성 : 계수양자화 영향 : 설계된 차분방정식의 계수는 정해진 시스템의 비트 크기로 양자화되므로 필터의 주파수 응답도 변형이 생기게 된다. 이렇게 변형이 생기는 정도가 필터 구조마다 조금씩 다름. 라운딩 영향 : 신호와 필터계수가 곱해진 결과는 비트의 크기가 증가하므로 LSB들을 버리게 된다. 이러한 라운딩이 필터에 미치는 영향. 구현비용 : 사용되는 덧셈기, 곱셈기, 지연소자의 수가 필터 구조마다 차이가 있다. 어느 특별한 필터 구조가 유한 정세도 특성은 상대적으로 우수한데, 구현비용이 상대적으로 크면 구조를 선택할 때에 주의가 필요하다. 유한 정세도 특성이 좋으면서 구현비용도 낮으면 가장 좋은 필터 구조이다.

필터 구조 다음 IIR 필터의 차분방정식을 세 가지 필터 구조로 구현하여 그 특성을 비교해보기로 하자. <구조 I> 차분방정식을 무한 정세도(infinite precision)의 계수로 구현한 구조. 이 구조의 전달함수는 다음과 같다. 그림 6-1. 예제의 필터 구조 I

그림 6-2. 예제의 주파수 응답 (a) 실선 : 필터구조 I, (b) 점선 : 구조 II, (c) 1점쇄선 : 구조 III 필터 구조 이 구조의 주파수 응답을 MATLAB으로 그리면 다음 그림 6-2 a)와 같다. 그림 6-2. 예제의 주파수 응답 (a) 실선 : 필터구조 I, (b) 점선 : 구조 II, (c) 1점쇄선 : 구조 III

필터 구조 <구조 II> 이 필터를 양자화 계단크기 가 0.125인 시스템으로 구현하려면 차분방정식 계수가 다음과 같이 양자화된다. 이 차분방정식의 전달함수는 다음과 같다. 이 차분방정식을 구현하면 다음 그림 6-3의 구조와 같다. 이 구조의 주파수 응답은 그림 6-2 b)와 같다. 그림 6-3. 예제의 필터 구조 II

필터 구조 <구조 III> 다른 세 번째 구조를 만들기 위해서 다음과 같이 두 개의 직렬 필터로 분해할 수 있다. 이 전달함수를 양자화 계단크기 가 0.125인 시스템으로 구현하면 전달함수의 계수가 다음과 같이 양자화. 실제 이 필터구조의 전체 전달함수는 두 전달함수를 곱해서 다시 구할 수 있다. 이 구조의 주파수 응답은 그림 6-2 c)와 같다. 그림 6-4. 예제의 필터 구조 III

필터 구조 각각의 필터구조들을 유한정세도로 구현했을 때 : <여러 가지 필터 구조를 유도하는 방법> 주파수응답이 구조마다 달라짐을 볼 수 있다. 전달함수를 유한정세도로 바로 구현한 구조 II와 인수분해를 사용해서 직렬로 구현한 구조 III의 유한 정세도 특성이 다름을 알 수 있다. 이같이 구조마다 유한 정세도 특성과 구현 비용이 다름. <여러 가지 필터 구조를 유도하는 방법> IIR 필터 구조 제I 직접형(direct form I) 구조 제II 직접형(direct form II) 구조 전치 제II 직접형(transposed direct form II) 구조 직렬형 구조 병렬형 구조 FIR 필터 구조 직접형(direct form) 구조 전치 직접형(transposed direct form) 구조 격자필터 구조(lattice filter structure) FIR 격자형 구조 IIR 격자형 구조

IIR 필터 구조 IIR 필터의 전달함수는 분자와 분모의 다항식으로 표현되는데 다음과 같이 두 가지 종류로 구분. 분자 다항식이 1이고 분모 다항식의 차수가 N인 IIR 필터 분자, 분모 다항식의 차수가 각각 M, N차인 IIR 필터.( ) 분자, 분모다항식이 각각 모두 N차인 다음의 IIR 필터의 구조를 유도하기로 한다.

IIR 필터 구조 : 제I직접형(Direct form I) 구조 이 식에서 바로 다음 그림과 같은 필터 구조를 제작할 수 있다. 제I 직접형에 사용되는 소자의 수는 다음과 같다.(분모 : N차, 분자 : M차) 곱셈기   : N+M+1 덧셈기   : N+M 지연소자 : N+M 그림 6-5. 예제의 제 I 직접형 구조

그림 6-6. 예제의 제 II 직접형 구조를 얻기 위한 시스템의 교환 IIR 필터 구조 : 제II직접형(Direct form II) 구조 전달함수로부터 쉽게 만들어질 수 있는 구조 직렬구조는 교환법칙이 성립하므로 다음과 같이 를 먼저 구현하고 그 뒤에 직렬로 를 구현. 그림 6-6. 예제의 제 II 직접형 구조를 얻기 위한 시스템의 교환

IIR 필터 구조 : 제II직접형(Direct form II) 구조 위의 그림에서 v[n]으로부터 아래 방향 지연소자들의 모든 노드는 같은 신호들이 만들어지므로 지연소자를 공유. 분모의 차수가 분자의 차수와 같거나 크므로 분모의 차수가 필터의 차수가 된다. 제II 직접형에 사용되는 소자의 수는 다음과 같다. (분모 : N차, 분자 : M차) 곱셈기    : N+M+1 덧셈기    : N+M 지연소자 : N 10차 IIR 필터의 경우(N=10, M=10) 제I 직접형은 20개의 지연소자를 필요로 하는데, 제II 직접형은 10개의 지연소자가 필요함. 그림 6-7. 예제의 제 II 직접형 구조

IIR 필터 구조 : 전치 제II직접형(Transposed direct form II) 구조 전치 제II 직접형 구조를 만들기 위해서 전치 정리(transposition theorem)를 이용. 시스템의 입력과 출력을 반대로 정의하고 모든 처리 순서를 반대로 하면 등가의 시스템이 되는 정리. 2차의 FIR 필터에 이 정리를 적용하면 다음 그림과 같다. 그림 (b)와 같이 신호의 처리 순서와 입출력을 반대로 정의하면 등가의 필터가 된다. (c)와 같이 입력을 왼쪽에서 들어가도록 다시 그리는 것이 편리하다. 전치 정리 적용 후에 등가의 시스템인지는 전달함수를 구해보면 쉽게 알 수 있다. 그림 6-8. 2차 FIR 필터에 전치 정리 적용

그림 6-9. 분자다항식이 1인 2차 IIR 필터에 전치 정리 적용 IIR 필터 구조 : 전치 제II직접형(Transposed direct form II) 구조 이번에는 분자 다항식이 1인 2차의 IIR 필터에 전치 정리를 적용하면 다음 그림과 같다. 2차 IIR 필터인 그림 (a)에 전치 정리를 적용시켜서 그림 (c)의 등가 시스템을 얻을 수 있다. 등가인지를 전달함수를 비교하여 확인해 보도록 하자. (a)의 전달함수는 다음과 같다. (c)의 구조에 의 입력을 사용하면 다음과 같이 전달함수를 얻을 수 있다. 위와 같이 전달함수가 같으므로 (a)와 등가임을 알 수 있다. 그림 6-9. 분자다항식이 1인 2차 IIR 필터에 전치 정리 적용

IIR 필터 구조 : 전치 제II직접형(Transposed direct form II) 구조 지금까지의 FIR과 IIR필터의 전치 정리 적용 결과를 이용하여 제I 직접형 구조를 다시 그리면 다음과 같다. 위의 그림을 보면 밑에서 위로 향하는 신호들을 먼저 합해서 지연시켜도 됨을 알 수 있다. 이는 지연소자의 출력들이 오직 출력 y[n]을 만드는 데에만 사용되기 때문이다. 그림 6-10. 2차 IIR 필터에 전치 정리 적용

IIR 필터 구조 : 전치 제II직접형(Transposed direct form II) 구조 따라서 지연소자로 입력되기 전에 신호를 더하면 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다. 분자와 분모 다항식의 차수가 각각 M과 N인 경우에 전치 제II 직접형에 사용되는 소자의 수. 곱셈기   : N+M+1 덧셈기   : N+M 지연소자 : N 위와 같이 전치 제II 직접형 구조에 사용되는 지연소자의 수는 제II 직접형의 사용 수와 같다. 필터의 차수와 사용된 지연소자 수가 같은 구조들을 캐노닉형(canonic form) 제II직접형과 전치 제II직접형은 캐노닉형. 제I 직접형은 캐노닉형이 아님. 그림 6-11. 예제의 전치 제 II 직접형 구조

IIR 필터 구조 : 직렬형(Cascade form) 구조 직렬형 구조 : 전달함수의 분모다항식을 인수분해하여 직렬로 연결함으로써 얻을 수 있는 구조. 전달함수의 분자와 분모다항식은 각각 2차 다항식으로 인수분해될 수 있으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기에서 M은 (N+1)/2를 만족하는 수에서 버림을 한 정수를 의미한다. 예를 들어 N=6이면 M은 3이 된다. 는 곱을 나타낸다. 예를 들어 N=6의 6차 분모다항식은 2차 다항식 3개로 인수분해. N=7의 7차 분모다항식의 경우에는 2차 다항식 3개와 1차 다항식 1개로 인수분해. 직렬형 구조는 2차 IIR 필터의 직렬연결로 다음 그림과 같이 나타낸다. 그림 6-12. 직렬형 구조의 블록도

IIR 필터 구조 : 직렬형(Cascade form) 구조 직렬형 구조 블록도에서 2차 IIR 필터를 제II 직접형으로 구현할 경우 전체 필터 구조는 다음 그림과 같다. 그림 6-12의 블록도에서 2차 IIR 필터는 제I 직접형이나 전치 제II 직접형으로도 구현할 수 있다. 고차의 분모다항식을 2차 다항식으로 인수분해하는 이유 1차까지 인수분해하면 일반적으로 허수의 계수가 생기기 때문. 허수 계수의 전달함수는 구현하기 매우 어렵게 된다. 그림 6-13. 제II 직접형을 사용한 직렬형 구조

IIR 필터 구조 : 직렬형(Cascade form) 구조 직렬형을 만들기 위해 인수분해하는 과정 : 분자와 분모를 다음과 같이 z의 다항식으로 변환한 후에 인수분해하면 편리. 일반적으로 직렬형 구조는 직접형 구조에 비하여 유한 정세도 특성이 우수하다. 위의 전달함수 식에서 3차의 다항식이 인수분해될 때에, 인수분해된 분모다항식의 계수인 0.9와 0.64는 원래 분모 다항식의 계수인 0.576보다 큼을 관찰할 수 있다. 일반적으로 이와 같은 현상이 관찰된다. 즉 구현될 때, 직렬형의 각각의 전달함수가 계수양자화 에러가 작아진다는 것을 직관적으로 이해. 다음의 전달함수를 비교해보자. 위의 식에서 3차의 다항식이 인수분해될 때에, 인수분해된 분모다항식의 계수인 0.5는 원래 분모 다항식에서의 계수인 1.5보다는 작고 0.25보다는 큼을 관찰할 수 있다. 따라서 구현될 때, 계수양자화 에러가 작아진다.

IIR 필터 구조 : 직렬형(Cascade form) 구조 [예제 6.1] 다음의 전달함수를 직렬형 구조로 구현하시오. (풀이) 그림 6-14. [예제 6.1]의 직렬형 구조

IIR 필터 구조 : 병렬형(Parallel form) 구조 전달함수의 분모다항식을 인수분해한 후에 부분분수로 전개하면 전달함수를 여러개의 전달함수들의 합으로 표현. 전달함수의 분모다항식은 2차 다항식으로 인수분해되어 다음과 같은 부분분수의 합으로 나타낼 수 있다. 예 : N=6의 6차 분모다항식 2차 다항식 3개로 인수분해된 후에 부분분수의 합으로 표현될 수 있다. 병렬형 구조는 2차 IIR 필터의 병렬연결로서 다음 그림과 같이 나타낸다. 그림 6-15. 병렬형 구조의 블록도

IIR 필터 구조 : 병렬형(Parallel form) 구조 위의 병렬형 구조 블록도에서 2차 IIR 필터를 제II 직접형으로 구현할 경우 전체 필터 구조는 다음과 같다. 2차 IIR 필터는 제I직접형이나 전치 제II직접형으로도 구현할 수 있다. 그림 6-16. 제II 직접형을 사용한 병렬형 구조

IIR 필터 구조 : 병렬형(Parallel form) 구조 병렬형을 만들기 위해 인수분해하여 부분분수로 만드는 과정 : 다음과 같이 상수항을 구분시켜서 분자다항식의 차수를 낮춘다. 분자다항식의 차수가 낮으므로 다음과 같이 인수분해되어 부분분수로 나타낼 수 있다. 계수비교를 통하여 부분분수의 계수들을 다음과 같이 구할 수 있다. 따라서 최종의 병렬형 구조를 위한 전달함수는 다음과 같다.

IIR 필터 구조 : 병렬형(Parallel form) 구조 이 병렬형 구조는 다음 그림과 같다. 그림 6-17. 예제의 병렬형 구조

IIR 필터 구조 : 병렬형(Parallel form) 구조 [예제 6.2] 다음의 전달함수를 병렬형 구조로 구현하시오. (풀이) 계수비교를 통하여 부분분수의 계수들을 다음과 같이 구할 수 있다. 따라서 최종의 병렬형 구조를 위한 전달함수는 다음과 같다.

IIR 필터 구조 : 병렬형(Parallel form) 구조 이 병렬형 구조는 다음 그림과 같다. 그림 6-18. 예제의 병렬형 구조

FIR 필터 구조 : 직접형(Direct form) 구조 위의 필터를 N차 FIR 필터 또는 N+1 탭(tap) FIR 필터라고 한다. FIR 필터의 가장 기본적인 구조는 직접형(direct form) 구조이다. 직접형은 차분방정식에서 직접 만들어진다. 그림 6-19. 직접형 구조

FIR 필터 구조 : 전치직접형(Transposed direct form) 구조 전치 정리를 적용 : 그림 6-19의 직접형 구조에 이 정리를 적용하면 다음과 같으며 이를 전치 직접형 구조. FIR 필터는 선형위상(linear phase) 특성을 만족하기 위하여 필터계수를 대칭으로 사용하는 경우가 많다. 필터계수가 대칭이면 위상특성이 왜 선형이 되는지는 7장에서 다루기로 한다. 그림 6-20. 전치 직접형 구조

그림 6-21. (a) 5탭 전치 직접형 구조, (b) 단순화된 5탭 전치 직접형 구조 FIR 필터 구조 : 전치직접형(Transposed direct form) 구조 선형위상 필터의 경우에 전치 직접형은 다음과 같은 큰 장점 : 5탭의 선형위상 필터의 경우 차분방정식은 다음과 같이 계수가 대칭이다. 따라서 그림 6-21 (a)의 전치 직접형은 (b)와 같이 곱셈기의 수를 줄일 수 있다. 단순화된 5탭 전치 직접형 구조를 사용하면 N 탭 필터인 경우에 곱셈기의 수가 N에서 N/2으로 감소. 그림 6-21. (a) 5탭 전치 직접형 구조, (b) 단순화된 5탭 전치 직접형 구조

FIR 필터 구조 : 직렬형(Cascade form) 구조 전달함수의 다항식은 2차 다항식으로 인수분해될 수 있으므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.  N=7의 7차 분모다항식의 경우에는 2차 다항식 3개와 1차 다항식 1개로 인수분해된다. 2차 직접형을 직렬연결한 직렬형 구조는 다음 그림과 같다. 그림 6-22. 직접형을 사용한 직렬형 구조

FIR 격자필터 구조 유한 정세도 특성이 우수한 격자필터 구조를 알아보기로 한다. 격자필터는 음성 압축 알고리듬인 LPC(linear predictive coding)나 CELP(code excited linear predictive coding)에서 성도(vocal tract)를 모델링하는 데에도 사용. 격자필터 구조는 사용되는 모든 계수가 1 미만이므로 양자화에 장점이 있다. 격자 구조는 FIR과 IIR 필터에 대하여 모두 구성할 수 있다. FIR 격자필터 구조 FIR 격자 구조를 제작하는 방법을 알아보기 위하여 다음 그림과 같은 완성된 격자필터 구조를 먼저 소개. 일반적으로 전달함수를 알지 못하는 필터 구조에서 전달함수를 구하기 위해서는 을 입력시키는 방법을 사용. 필터에 을 입력시키면 출력이 이 되는 것을 이용한다. 이를 좀더 간략화하면 필터에 1을 입력시키면 출력이 전달함수 가 됨을 의미한다. 그림 6-23. FIR 격자필터 구조

FIR 격자필터 구조 위의 격자 구조에서도 1을 입력시켜서 출력이 전달함수가 되도록 계수들을 구하는 방법으로 구조를 완성. 구현해야할 전달함수는 이미 주어져 있으므로 위의 격자 구조에서는 한 개의 격자마다 전달함수 다항식의 차수를 감소시키는 방법으로 계수를 구하게 된다. 구현해야 할 전달함수 :  구현해야 할 개의 격자 중 번째 격자부터 시작해야 하므로 다음 그림과 같이 그려보자. 위의 N번째 격자에서 우측의 다항식들은 다음과 같이 표현된다. 그림 6-24. FIR 격자필터의 N번째 격자 구조

FIR 격자필터 구조 은 주어진 전달함수 다항식을 사용하고, 는 의 계수를 거꾸로 사용하여 만든 다항식이 된다. 좌측의 다항식들은 차수가 1차 감소된 다항식들로서 다음과 같이 나타낸다. 그림 6-24의 격자 구조에서 좌우 다항식들은 다음의 행렬로 나타낼 수 있다. 위의 식에서 을 반사계수라고 부르며, 다항식으로 나타내면 다음과 같다. 계수비교에 의해 과 좌측 다항식들의 계수를 구하기 위해서 위의 식을 정리하면 다음과 같다. 계수비교를 통하여 위의 식으로부터 먼저 반사계수 을 다음과 같이 구할 구 있다.

FIR 격자필터 구조 즉 FIR 격자의 마지막 계수 은 원래의 전달함수의 마지막 계수와 같음을 알 수 있다. 이제 격자의 좌측 다항식들의 계수들을 구해보자. 을 구한 후에 계수비교에 의해서 다음의 식을 얻는다. 위의 (N-1)원1차 연립방정식을 풀면 부터 까지의 (N-1)개의 계수들을 구할 수 있다. 지금까지의 방법으로 N번째 격자의 계수 과 차수가 1차 감소된 다항식들을 얻었다. 이와 같은 방법을 (N-1)번째 Lattice에 적용하면 다시 과 차수가 다시 1차 감소된 다항식인 과 를 구할 수 있다. 이런 방법으로 차수가 계속 감소되어 마지막 격자에서는 1이 남게 되어 격자 구조의 구현이 끝나게 된다.

FIR 격자필터 구조 [예제 6.3] 다음의 전달함수를 FIR 격자필터 구조로 구현하시오. (풀이) 주어진 전달함수는 3차이므로 3개의 격자로 구성되는데, 3번째 격자부터 구성해 보도록 하자. (세 번째 격자 구조) 그림 6-25의 세 번째 격자에서 좌우측의 다항식들은 다음과 같이 표현된다. 그림 6-25의 격자에서 위의 다항식들의 관계식은 다음과 같다. 그림 6-25. 예제의 세 번째 격자

FIR 격자필터 구조 위의 식에 계수를 구하기 위해서 다항식을 직접 대입하면 다음과 같다. 계수비교에 의해서 다음의 반사계수와 2원1차 연립방정식을 얻을 수 있다. 위의 연립방정식을 풀면 다음의 다항식 계수가 구해진다. 이와 같이 격자의 좌측 다항식의 계수를 얻음으로서 3번째 격자의 구조가 완성되며 구한 다항식은 다음과 같다.

FIR 격자필터 구조 (두 번째 격자구조) 위의 다항식들의 관계식은 다음과 같다. 위의 식에 다항식들을 직접 대입하면 다음과 같다. 계수비교에 의해서 다음과 같이 격자의 반사계수와 다항식을 얻을 수 있다. 그림 6-26. 예제의 두 번째 격자

FIR 격자필터 구조 (첫 번째 격자 구조) 위의 다항식들의 관계식은 다음과 같다. 이와 같이 3단의 격자 구조가 완성되었다. 완성된 전체의 격자필터 구조는 다음 그림과 같다. 그림 6-27. 예제의 첫 번째 격자 그림 6-28. 예제의 완성된 격자필터 구조

IIR 격자필터 구조 <전극 IIR 격자필터 구조> 전달함수의 분자와 분모다항식 중에서 분자다항식이 1인 경우를 전극 IIR 필터(all pole IIR filter)라고 한다. 위와 같은 전극 IIR 필터는 다음과 같은 격자의 구조로 구현된다. 주어진 전달함수를 위와 같은 격자필터로 구현하는 방법(필터계수를 구하는 방법) : 계수를 구하는 방법은 FIR 격자필터와 같이 차수감소 방법을 사용. 전달함수의 분모다항식을 입력시켰을 때에 최종 출력 단에서 1이 나오도록 다항식의 차수를 감소시켜서 구한다. 그림 6-29. 전극 IIR 격자필터 구조

IIR 격자필터 구조 다음 그림과 같은 첫 번째 격자를 보자. 위의 격자에서 좌측의 다항식들은 다음과 같이 표현된다. 은 주어진 전달함수의 분모다항식을 사용하고, 는 의 계수를 거꾸로 사용하여 만든 다항식이다. 우측의 다항식들은 차수가 1차 감소된 것으로서 다음과 같이 나타낸다. 위의 격자에서 반사계수는 FIR 격자와 마찬가지로 다음과 같다. 그림 6-30. 첫 번째 IIR 격자 구조

IIR 격자필터 구조 그림 6-30의 격자가 그림 6-29의 첫 번째 격자와 다른 점은 격자의 위쪽 신호의 방향이 반대인 점이다. 따라서 신호의 방향을 바꾸기 위해서 다음과 같이 변형한다. 즉, 이항시키면 다음과 같다. 이와 같이 신호의 방향이 바뀐 격자를 다시 그리면 다음 그림과 같다. 위의 격자에서 보듯이 FIR 전달함수와 IIR 전달함수의 분모다항식이 같다면 격자들의 모든 반사계수가 정확히 같게 된다. 다만 하나의 부호만이 바뀔 뿐이다. 이와 같은 방법을 계속 반복해서 다항식의 차수를 감소시켜 나가면 전극 격자필터의 구조가 완성된다. 그림 6-31. 완성된 첫 번째 IIR 격자 구조

IIR 격자필터 구조 [예제 6.4] 다음의 전달함수를 전극 IIR 격자필터 구조로 구현하시오. (풀이) 위의 전달함수는 3개의 격자로 구성되며 이전 절의 예제에서의 전달함수와 이 예제의 분모다항식이 같으므로 모든 격자들의 반사계수는 다음과 같이 같아지게 된다. 이와 같은 계수로 구현된 완성된 전극 IIR 격자필터 구조는 다음과 같다. 위의 구조에서 을 출력으로 사용하면 재미있는 결과를 얻는다. 즉, 먼저 입력과 출력의 다항식은 다음과 같다. 따라서 이 경우의 전달함수는 다음과 같다 전달함수의 분자와 분모다항식이 역다항식의 관계이면 전역통과 필터(all-pass filter)가 된다. 전역통과 필터란 진폭응답 전체의 주파수대역에 대하여 1(상수)인 필터이다. 그림 6-32. 완성된 전극 IIR 격자필터 구조

IIR 격자필터 구조 <일반 IIR 격자필터 구조> 위의 전달함수는 와 의 직렬연결로 간주될 수 있으므로 먼저 의 전달함수를 격자 구조로 구현하고, 의 전달함수를 구현하는 방법은 다음의 예제를 통하여 알아보기로 한다. [예제 6.5] 다음의 전달함수를 격자필터의 구조로 구현하시오. (풀이) 위의 전달함수에서 우선 를 격자 구조로 구현하면 이전 절과 똑같이 되어 다음과 같다. 위의 구조에서 각 노드의 다항식들은 이전 절에서 이미 구했으며 다음과 같다. 그림 6-33. 1/D(z)의 격자 구조

IIR 격자필터 구조 분자다항식의 구현은 위의 다항식들을 사용한 조합으로 다음의 그림과 같이 합성해 낸다. 위의 구조에서 분자다항식을 구현하는 탭의 계수들을 구해보기로 하자. 즉 는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 위의 식으로부터 계수비교법을 통해 탭 계수들을 다음과 같이 구할 수 있다. 그림 6-34. 예제의 완성된 격자필터 구조

상태방정식을 이용한 필터의 표현 디지털 필터의 구조들은 상태방정식(state space equation)을 사용해서 나타낼 수 있다. 차분방정식은 디지털 필터의 구조에 대한 정보를 포함하지 않는다. 상태방정식은 임의의 디지털 필터의 구조를 나타낼 수 있는 방법이다. 제II 직접형 구조의 예제 지연소자의 출력 노드들을 의 상태로 정의. 그러면 다음과 같이 상태방정식을 만들 수 있다. 그림 6-35. 예제의 제II 직접형 필터 구조

상태방정식을 이용한 필터의 표현 상태방정식은 다음과 같이 행렬방정식으로도 표현될 수 있다. 모든 구조의 필터들도 다음과 같이 일반적인 상태방정식의 표현을 갖는다. 다른 필터 구조들도 모두 위의 상태방정식으로 나타낼 수 있으며 일반적인 구조는 다음 그림 6-36과 같다. 상태방정식의 일반적인 필터 구조는 모두 위의 그림과 같음. 구조마다 고유의 행렬 A, 벡터 와 , 그리고 스칼라 d의 값을 갖는다. 따라서 A, , , d의 값을 알면 그 구조가 무엇인지 알 수 있다. 그림 6-36. 일반적인 상태방정식 필터 구조

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 차분방정식이나 또는 전달함수를 어떤 구조로 구현할 때에 생기는 유한정세도 영향 계수양자화 영향 라운딩 영향 <계수양자화 영향> 다음 IIR 필터의 차분방정식을 살펴보자. 위의 차분방정식을 다음과 같이 직접형과 직렬형의 전달함수로 나누어 비교한다. 위의 전달함수 식에서 3차의 다항식이 인수분해될 때에, 인수분해된 분모다항식의 계수 인 0.9와 0.64는 원래 분모 다항식의 계수인 0.576보다 크다는 것을 관찰할 수 있다. 일반적으로 이와 같은 현상이 관찰된다. 즉, 직접형 구조에서 사용되는 필터계수가 더 작으므로 계수양자화 에러가 커지게 된다. 따라서 구현될 때, 직렬형의 전달함수가 계수양자화 에러가 작아진다는 것을 이해할 수 있다.

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 양자화 계단크기 가 0.125인 시스템으로 구현하여 계수양자화 에러를 비교해 보자. 양자화 계단크기 가 0.125인 시스템으로 구현하여 계수양자화 에러를 비교해 보자. 직접형 구조의 계수양자화 : 위의 필터를 양자화 계단크기 가 0.125인 시스템으로 구현한 전달함수. 직렬형 구조의 계수양자화 : 양자화 계단크기 가 0.125인 전달함수. 무한정세도의 주파수응답과 직접형 구조와 직렬형 구조의 주파수응답은 그림 6-2와 같다. 직렬형 구조의 주파수 응답이 직접형 구조의 주파수응답보다 원 주파수응답에 가깝다. 즉, IIR 필터의 경우에 직접형 구조보다는 직렬형이나 병렬형 구조가 계수양자화 영향이 작음.

그림 6-37. 잡음원을 사용한 예제의 제 I 직접형 구조의 모델 필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 <라운딩 영향> 라운딩 영향도 IIR 필터에서 해석하면 FIR 필터의 경우는 쉽게 이해할 수 있음. 다음의 2차 차분방정식과 전달함수에서 라운딩 영향을 분석해 보자. (1) 라운딩 모델 신호의 값과 필터계수를 (B+1)비트의 고정점 2진수(fixed-point binary number)를 사용. (B+1)비트의 필터계수와 (B+1)비트의 신호가 곱해지면 (2B+1)비트가 되므로 덧셈기에서 (B+1)비트로 만들기 위해서 LSB(least significant bits)들을 버려야 한다. 이와 같은 동작을 제I 직접형 구조에 포함시키면 다음 그림과 같은 잡음원(noise sources)의 모델로 해석. 그림 6-37. 잡음원을 사용한 예제의 제 I 직접형 구조의 모델

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 잡음원은 다음 식과 같이 라운딩된 신호와 계수의 곱에서 원래의 이상적인 신호와 계수의 곱을 뺀 값으로 정의. 유용한 모델이 되기 위해서 다음과 같은 성질을 갖고 있다고 가정한다. 각각의 잡음원 e[n]은 WSS(wide sense stationary) 백색잡음의 확률과정(Random process) 각각의 잡음원은 uniform distribution을 갖는다. 각각의 잡음원은 양자화기, 다른 잡음원, 필터의 입력에 대하여 uncorrelated 되어있다. (2) 입력 잡음원의 분산 (B+1)비트의 덧셈기로 양자화하는 경우에 양자화 계단크기는 이다. 라운딩은 반올림과 버림의 방식이 있는데 여기서는 반올림의 경우를 살펴본다.(버림의 라운딩을 사용하여도 해석은 달라지지 않는다.) 반올림의 라운딩을 사용하면 각각의 잡음원의 범위는 다음과 같다. 이 잡음원은 확률변수로 해석되며 확률밀도함수는 uniform distribution이다. 이 잡음원의 평균과 분산은 다음 식과 같다.

그림 6-38. 한 개의 잡음원을 사용한 예제의 제 I 직접형 구조의 모델 필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 5개의 잡음원은 선형 시스템이므로 다음 그림과 같이 한 개의 잡음원으로 다시 그릴 수 있다. 위의 그림에서 한 개의 잡음원은 다음과 같이 다섯 개 잡음원의 합이다. 전체 잡음원은 각각의 잡음원의 합이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 위의 결과로부터 분자다항식이 M이고 분모다항식이 N인 제I 직접형 구조에서 입력 잡음원의 분산. 그림 6-38. 한 개의 잡음원을 사용한 예제의 제 I 직접형 구조의 모델

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 (3) 잡음원에 대한 출력의 분산 입력 잡음원에 대한 출력의 분산을 분석함으로서 구조의 라운딩 영향의 정도를 알아볼 수 있다. 입력 잡음원에 대한 출력의 분산이 작은 구조가 라운딩의 영향이 작은 좋은 구조이다. 잡음원 모델에서 라운딩 영향이 포함된 출력 은 무한 정세도로 구현된 이상적인 출력 y[n]과 잡음원에 의한 출력 f[n]을 더한 것으로 나타난다. 그림 6-38에서 보듯이 입력 잡음원에 대한 출력 f[n]은 원래 전달함수의 분자다항식과는 관계가 없음을 알 수 있다. 이 입력 잡음원과 그 출력에 대한 차분방정식은 다음과 같다. 입력 잡음원 e[n]에 대한 출력 f[n]의 전달함수를 라고 하고 임펄스응답을 라고 하자. 출력 f[n]의 평균은 다음과 같이 구할 수 있다. e[n]은 WSS이므로 다음과 같다. 따라서 평균은 다음과 같다. 위의 식에서 이므로 다음과 같이 나타내기도 한다. 제I 직접형에서는 가 0이므로 도 위의 식에 의해서 0이 된다.

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 출력의 분산은 다음과 같이 출력 자기상관함수의 DTFT인 파워 밀도 스펙트럼으로 나타낼 수 있다. 잡음원 e[n]의 자기상관함수와 자기상관함수의 DTFT인 파워 밀도 스펙트럼을 다음과 같이 정의. 먼저 자기상관함수를 구해보기로 한다. 자기상관함수는 잡음원의 분산을 이용하여 다음과 같이 구한다. 따라서 다음의 자기상관함수를 얻는다. 이 자기상관함수의 DTFT인 파워 밀도 스펙트럼은 다음과 같다. 따라서 출력 자기상관함수의 DTFT인 파워 밀도 스펙트럼을 구해보자.

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 출력의 분산을 구하면 다음과 같다. 분자와 분모다항식이 각각 M과 N인 제I 직접형 구조는 (M+N+1)의 잡음원을 하나로 합칠 수 있다. 이 경우에 잡음원에 대한 출력의 평균과 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 일반적인 필터 구조에서 합칠 수 없는 독립된 잡음원이 L개가 있으면 출력의 분산은 다음과 같이 나타낸다.

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 [예제 6.6] 다음의 전달함수를 제I 직접형의 구조로 구현하였다. (a) 계수와 신호의 곱셈이 발생한 후에 (B+1)비트로 라운딩 하였다. 제I 직접형 구조의 잡음원을 구조에 그리시오. (b) 입력 잡음원의 분산과 잡음원에 대한 출력의 분산을 구하시오. (풀이)(a) 입력 잡음원 e[n]에 대한 출력을 f[n] : 잡음원에 대한 구조는 다음 그림과 같다. (b) M=0이고 N=1이므로 입력 잡음원의 분산은 다음과 같다. 입력 잡음원 e[n]에 대한 임펄스 응답 과 그 에너지는 다음과 같다. 그림 6-39. 예제의 제 I 직접형 구조와 잡음원

그림 6-40. (a) 제I직접형 구조와 잡음원, (b) 등가의 잡음원 모델 필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 [예제 6.7] 다음의 전달함수를 제I직접형의 구조로 구현하였다. (a) 계수와 신호의 곱셈이 발생한 후에 (B+1)비트로 라운딩 하였다. 제I 직접형 구조의 잡음원을 구조에 그리시오. (b) 입력 잡음원의 분산과 잡음원에 대한 출력의 분산을 구하시오. (풀이)(a) 입력 잡음원 e[n]에 대한 출력을 f[n] : 잡음원에 대한 구조는 다음 그림과 같다. (b) 입력 잡음원 e[n]의 분산은 다음과 같다. 입력 잡음원 e[n]에 대한 출력을 f[n]이라고 하면 차분방정식은 다음과 같다. 그림 6-40. (a) 제I직접형 구조와 잡음원, (b) 등가의 잡음원 모델

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 임펄스응답 은 전달함수를 역변환하면 다음과 같다. 각 임펄스응답의 제곱은 다음과 같다. 임펄스응답 은 전달함수를 역변환하면 다음과 같다. 각 임펄스응답의 제곱은 다음과 같다. 따라서 임펄스응답의 에너지는 다음과 같다. 따라서 잡음원에 대한 출력의 분산은 다음과 같다.

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 [예제 6.8] 다음의 전달함수를 직렬형구조로 구현하였다. (a) 계수와 신호의 곱셈이 발생한 후에 (B+1)비트로 라운딩 하였다. 직렬형구조의 잡음원을 구조에 그리시오. (b) 입력 잡음원의 분산과 잡음원에 대한 출력의 분산을 구하시오. (풀이)(a) 입력 잡음원에 대한 구조는 다음 그림과 같다. (b) 두 개의 입력 잡음원의 분산은 다음과 같다. 입력 잡음원 에 대한 출력을 이라고 하면 차분방정식은 다음과 같다. 임펄스응답 의 에너지는 다음과 같다. 그림 6-41. 직렬형 구조와 잡음원 모델

필터 구조의 유한 정세도 특성 분석 따라서 잡음원 에 대한 출력의 분산은 다음과 같다. 따라서 잡음원 에 대한 출력의 분산은 다음과 같다. 입력 잡음원 에 대한 출력을 이라고 하면 차분방정식은 다음과 같다. 임펄스 응답 과 그 에너지는 다음과 같다. 따라서 잡음원 에 대한 출력의 분산은 다음과 같다. 따라서 과 잡음원에 대한 출력의 분산은 다음과 같다. 이와 같이 각각의 구조에 대한 분산을 구하기 위해서는 확률변수(random variable)와 확률과정 (random process)에 대한 지식이 많이 필요하다.