환경시스템분석 과제 환경공학과 20051513 한윤수

1. Derive the 3-dimensional mass transport equation using the mass balance rule for case of advective and dispersive transport with biochemical reaction and source terms.

2. 분자 확산 및 수리학적 분산 현상에 대하여 설 명하라. 2. 분자 확산 및 수리학적 분산 현상에 대하여 설 명하라.

Fick의 확산 법칙은 기체분자나 원자, 고체/액체 상태를 구성하는 원자가 화학 포텐셜차이에 의해 화학포텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 구성입자가 이동하는 현상을 규명한 법칙이다. 확산 이동 속도를 정의한 법칙이 Fick의 확산 법칙이다. 1차원인 경우, 제 1법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

J는 단위시간당 단위 면적을 지나는 원자의 수를 나타내는 이동 속도이고, D는 원자의 확산계수, dC/dx는 x방향으로의 농도 변화율을 나타낸다. 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산이 일어난다는 것을 알 수 있다. 제 2법칙은 비정상상태 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙으로 다음과 같이 나타낸다.

복합다상이론에 의하면 어떤 물질이 가지는 고유의 속도에 의한 이동은 다음의 식으로 표현된다. 여기서, 상내 물질의 농도 혹은 단위질량, 는 물질이 가지는 고유의 속도를 의미한다. 물질 입자의 고유 속도를 측정하기가 어렵기 때문에 다음과 같이 상의 유속을 가지고 물질의 이동 속도를 나타나게 된다.

위의 식의 우변의 첫째 항은 복합다상시스템에 있어서 상의 유속에 의한 이류유송을 나타내고, 두 번째 항은 상의 유속과 입자의 유속의 차이를 나타내며, 유속이 강해질 수록 상의 유속과 입자의 유속차이가 커지게 된다. 전체 이동식은 다음과 같이 표현된다.

물질이동에서는 위에서 살펴본 난류확산 등의 수리학적 분산이외에 농도차이에 의해서 발생하는 분자 확산이 있다 물질이동에서는 위에서 살펴본 난류확산 등의 수리학적 분산이외에 농도차이에 의해서 발생하는 분자 확산이 있다. 따라서 전체 분산계수는 이러한 수리학적 분산과 분자 확산을 포함하는 다음의 식으로 표현된다.

4. 일차원물질이동식에 대한 일반적 유한 차분법 을 적용한 알고리즘을 설명하라. 4. 일차원물질이동식에 대한 일반적 유한 차분법 을 적용한 알고리즘을 설명하라.

본 모형의 물질이동식은 반응식을 일차원 반응항과 내부발생원으로 분류하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, 반응항은 로 두가지로 분리되어 표현된다. 첫 번째 항은 농도에 비례하는 1차반응을 나타내며, 두 번째 항은 내부 발생 또는 제거로서, 저니층 부하, 조류성장에 따른 영양염류 손실 등이 해당한다.

본 모형의 일차원 격자망은 다음과 같다. 시간영역에 대해서는 n를 공간영역에 대해서는 I라는 표기를 사용 하여 다음과 같이 유한차분 알고리즘을 유도할 수 있다. Flow ➜ ● 요소 i-1 요소 i 요소 i+1

6. Describe the water balance of the system d epicted as below and express the proper w ater balance equation. (Water Balance, 물 수지)

다음의 호수에 대하여 물 평형 관계로부터 물수지식을 유도하라.

호수는 여러 종류의 물이 유입과 유출을 반복하는 보존 물질로 간주할 수 있다. 호수내 물의 증가는 ‘저장의 변화’를 의미한다. 호수내 물의 증가에 의해 늘어난 저장량은 다음의 물평형식으로 나타낼 수 있다.

유입량은 지류와 육상 지류와 육상 흐름의 지표수 유입 유량과 지하수 유입 유량을 포함한다. 유출량은 수체로부터의 방출되는 모든 지표수 및 지하수 유량을 뜻한다. 직접적인 강우량은 표면으로 바로 떨어지는 물을 말하고 증발은 수체의 표면에서 대기로 나는 물의 부피를 말한다.

이 식을 수식으로 표현하면

7. 질량, 운동량, 열 전달 식의 유사성을 설명하 고 확산방정식과 지하수 유동에 대한 Darcy의 식의 유사성을 비교 설명하라.

<열전달방정식> QUAL2E는 에너지 보전의 원리를 이용하며 열전달을 고려한 에너지 방정식을 이용하여 수온을 계산한다. 지배식은 식(1.2)와 같으며 물질 이동 방정식과 흡사한 형태를 가진다. 여기서, T는 수온이고, 는 물의 밀도, c는 비열이다.

<Darcy> 가스 유동에서는 점성력에 의한 유동이 지배적이라고 가정하여, Darcy의 법칙에 의해 설명된다. 복합다상시스템의 일반적인 유체의 거동에 관련된 지배식은 다음과 같다. 위의 지배식으로부터 다음과 같이 가스상에 관련된 연속 및 운동방정식을 유도할 수 있다. 이러한 연속 및 운동방정식을 결합하여 지중가스유동에 있어서 압력 및 유속을 구할 수 있다. 가스유동의 질량평형방정식(연속방정식)은 다음과 같다.

8. 단순이동모형에 대한 다음의 문제를 풀어라.

1) Derive the mass transport equation using cont rol volume.

2) Derive the solution of the governing equation. (State state) 하구의 예를 이용하여 이상적인 확산과 이류 유송이 있는 시스템을 다음 그림에 나타내었다.

3) Explain the important parameters.

9. In the case of the CSTR, derive the solution for the problems such as follows

여기서,ǿ는 공극율, 는 가스상의 포화도, 는 가스의 밀도, 는 가스상의 유속, 는 가스상의 공급이나 소멸원을 나타낸다.

0에서 t까지 위의 식을 적분하면 다음과 같다. 위의 식의 우변의 첫째 항은 초기농도의 감소를 나타내고, 둘째 항은 연속적인 유입에 기인한 농도의 증가를 나타낸다. t가 무한대로 접근할 때, 위의 해는 정상상태의 해로 접근한다.

2) Steady and Unsteady state solution for the CSTR in series 연속적인 CSTR에 대하여 물질수지식을 기술하고 해를 유도하라. 1) 정상 상태의 해 다수의 반응가 연속적으로 존재한다면, 다음 그림과 같이 n개의 같은 부피의 완전혼합 반응조들로 구성된 일련의 반응조를 나타낸다. 단일 반응조에 대해서 고찰했던 것처럼, 해석 방법은 반응조에 대한 물질수지에 기초한다. 정상상태 해를 먼저 유도한다. 첫 번째 반응조에 대한 물질수지시은 다음과 같다. 정상상태의 해는 다음과 같다. 두 번째 반응조의 경우, 물질수지는 다음과 같다.

SBR 혹은 격자화된 호수에 있어서 반응조수 혹은 격자수에 따른 유출 농도의 변화

10. 2계 선형 상미분방정식의 해석 기법을 공업수 학책이나 미적분학 혹은 인터넷에서 검색하여 제출하라.

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 상미분방정식 : 독립변수가 한 개 편미분방정식 : 독립변수가 두 개 이상 상미분방정식은 크게 1계 상미분방정식과 2계 상미분방정식으로 나눌 수 있고 1계 미분방정식의 그 형태에 따라 크게 변수분리법, 선형 미분방정식, 완전미분성질, 적분인자에 의한 풀이 방법이 있음.

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 선형 미분방정식 다음과 같은 형태의 1계 미분방정식은 선형. p와 q를 어떤 구간에서 연속이라 하고 이 구간에서 해를 구 해보면 선형방정식은 특수한 형태를 가지므로 적절한 관찰 을 통하여 실제적으로 이해를 구하는 공식을 얻을 수 있음. 즉 미분방정식에 를 곱함.

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 y(x)에 대하여 풀면

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 함수 는 선형 미분방정식에 대한 적분인수. 함수 는 선형 미분방정식에 대한 적분인수. 이것을 선형방정식에 곱하게 되면 적분이 가능하게 되고 또한 이 방정식으로부터 일반해 y(x)를 구할 수 있기 때문.

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 완전 미분방정식 평면상의 어떤 영역 R에서 미분방정식을 영역 R에서 완전 미분방정식이라고 부른다. 1계 미분방정식 이 방정식은 편의상 M(x, y)=-f(x, y)와 N(x, y)=1로 선택할 수 있다. 어떤 함수 A가 있고 이 함수가 다음의 관계를 가지 면

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 이 방정식의 좌변은 함수 A(x, y(x))를 x에 대하여 연쇄법 칙으로 미분한 것. M + Ny' =0 의 일반해이다.

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 변수분리법 변수들을 분리 이다. 이 방정식을 적분하면 일반해 y를 x의 음함수로 정의 변수들을 분리 이다. 이 방정식을 적분하면 일반해 y를 x의 음함수로 정의 할 수 있는 방정식. 는 변수분리형이고 로 쓸 수 있음. 미분형태.

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 y가 0이 아니면 방정식은 음함수로 일반해를 정의. 이 일반해를 양함수로 풀이.

2계 상미분방정식 수학적 해석 방법 설명 Laplace 변환 선형미분방정식 모델의 해석해를 쉽게 구할 수 있도록 하는 수학적인 도구. 아래의 적분 변환 관계가 성립할 때, F(t)와 f(s)는 Laplace 변환 관계. 두 계 이상의 상미분방정식을 풀 때 간단히 1계의 형식으 로 바꾸어주어야 할 필요가 있음. 두 계의 형식에 맞게 Euler, Runge-Kutta 기법을 계속 변형 시키는 방법이 있지만 고차 미분방정식을 1계의 기본형으 로 바꾸어주어 Euler, Runge-Kutta 방식의 변형 없이도 미 분방정식의 해석이 가능.

III.1 실험자료로부터 반응속도상수를 구하는 방법 을 1차반응속도식을 사용하여 설명하고, 여러 온도에 대하여 구한 반응속도상수로부터 활성 화에너지를 구하는 방법을 설명하라.

일차 반응(First-Order Reactions)

반응 속도는 온도가 증가함에 따라서 증가한다. Svante Arrhenius가 설정한 반응 속도 상수와 온도사이의 관계는 다음과 같다. 여기서, A는 반응의 특성을 나타내는 상수이며, 는 활성화 에너지(J mol-1 or cal mol-1), T는 K로 표시되는 절대온도, R은 절대 기체 상수 (8.314 J mol-1 K-1 or 1.987 cal J mol-1 K-1)이다. 두 온도에 대해 위의 식을 정리하면 다음과 같이 상수 A가 없어진다.

모델링시에, 일반적으로 0 에서 35 ℃사이의 온도 범위에 관심이 있으며, 가 대략적인 상수이기 때문에, 이러한 조건에서 위의 식은 단순화시킬 수 있다. 여기서 는 1.0보다 큰 온도 계수에 대한 상수이며, 보통 1.0-1.10 사이의 값을 갖는다. 그리고 은 온도 20 ℃에서의 속도 상수이다. 생물학적 반응은 효소 역학을 기초로 하여 일어나며, 자연계에서 아주 작은 범위의 활성 에너지를 가지고 있으며, 통상 30-60 kJ mol-1 또는 7-14 kcal mol-1 (1 cal = 4.184 J)2의 범위에 있다. 다음 표에 환경질 모델링시 자주 사용되는 를 나타내었다.

III.2 QUAL2E 모형에 관계된 반응속도상수를 설명 하고, 미국 EPA 매뉴얼에서 추천하고 있는 반 응속도상수의 값들을 서술하라. 국내의 경우 모델링 사업에 있어서 이러한 반응속도상수를 어떻게 평가하고 있는 지 인터넷 등의 자료를 검색하여 제출하라.

반응속도 상수 값

국내의 반응 속도 상수

III.3 반응속도식에 대한 다음의 질문에 답하라

반응속도식과 반응차수를 정의하라. 1)반응속도식 -일반적인 화학 반응식에서의 속도식은 다음과 같이 나타낼 수 있다. : -정반응 속도 = (1) -역반응 속도 = (2)

반응의 전체 속도 = (3) 여기서, 괄호 [ ]는 용액의 화학적인 농도(활성도)를 나타낸다.

2)반응차수 A, B, C 종의 임의 반응에서, 전체 반응 차수는 속도식에서 지수의 합(a + b + c)으로 정의된다. → Products 반응 속도(Rxn rate) = 반응 차수(Rxn order) = a + b + c + …

0차, 1차, 2차 반응속도식을 설명하고 상미분방정식의 해를 구한다음, 그래프에 표시하라. 0차 반응(Zero-Order Reactions) -0차 반응의 예는 용액속 반응물 농도와 무관한 자연수에서 역으로 반응물을 분해할 수 없는 것이다.

일차 반응(First-Order Reactions) 일차 반응은 환경 화학 모델링시 가장 일반적으로 적용된다. 많은 지식이나 환경적인 증거가 없을 때, 모델링 수행자는 반응이 1차 반응이라고 가정한다. 그것이 논리적인 가정이긴 하지만, 그 결과, 그것은 쉽게 풀려지는 선형 모델을 도출하나, 기계적으로 항상 정확하지는 않으며, 잘못된 결과를 도출 할 수도 있다. 실제 현상은 매우 비선형적이다. 1차 반응은 반응 속도가 반응물 농도의 1승에 비례하는 것이다.

-1차 반응은 반응 속도가 반응물 농도의 1승에 비례하는 것이다.

2차반응(Second-Order Reactions) -2차반응에는 다음과 같이 1개 또는 2개의 반응물과 반응하는 2차반응 및 자체촉매의 2차반응 등 수질 화학에서 일어나는 일반적인 2차반응이 있다. -단일 반응물 -2개의 반응물 -자체촉매

- 앞의 세가지 경우 모두 2차 반응이며, 단일 반응물의 반응속도식은 다음과 같다. -위의 방정식은 비선형 상미분방정식이며 다음과 같이 변수분리법으로 푼다.

-A의 반응이 실제 2차라면 시간에 따른 A 농도의 역수(1/A 대 시간) 도표는 K₂의 기울기를 갖는 직선을 그릴 것이다. -2개의 반응물의 경우는 다음과 같다.

앞의 식을 풀기 위해서 종 A를 종 B에 관련시키는 물질수지 화학양론을 이용해야만 한다 앞의 식을 풀기 위해서 종 A를 종 B에 관련시키는 물질수지 화학양론을 이용해야만 한다. 반응물 A 1몰은 반응물 B 1몰과 반응한다. 그러므로

앞의 식은 미지수(A)가 1개뿐이고, 그것은 A와 B의 초기농도 , , 에 의존한다 시간에 대한 ln(A/B)의 도표는 의 기울기를 가진 직선을 나타낸다.

-자체 촉매식도 유사하게 시간에 대한 의 도표는 직선을 그릴 것이다 -자체 촉매식도 유사하게 시간에 대한 의 도표는 직선을 그릴 것이다. 여기서 는 초기 반응물 농도(예를 들면 기질) , 는초기 자체촉매농도(예를 들면 미생물량)이다.

반응속도상수 k를 평가하는 방법을 그래프 및 식을 이용하여 설명하라. <회분식 반응조에 있어서 반응 차수 및 반응 속도 상수 평가>

효소반응역학의 반응식으로부터 Monod 식을 유도하고 설명하라. -효소 반응은 보다 복잡한 반응속도식을 필요로한다. Michaelis-Menton 효소 동역학반응의 전형적인 경우는 다음과 같이 2단계 반응기작을 수행한다.

여기서 E는 효소, S는 기질, ES는 효소-기질 화합물, P 는 반응의 생성물을 말한다. 효소는 반응속도를 촉진시키 는 촉매제이지만 반응에 소모되지는 않는다. ES 화합물 의 형성 속도는 속도상수 , , 의 세 가지 반응 모두를 의미 한다. 위 반응기작을 속도상수를 이용하여 식으로 나타내 면 다음과 같다.

-생산물의 형성 속도는 ES화합물의 1차식이고 다음과 같 이 표현된다 -생산물의 형성 속도는 ES화합물의 1차식이고 다음과 같 이 표현된다. -ES 화합물의 형성에 대해 정상상태를 가정하고 = 0, 가 반응 속도를 결정하는 와 비교해서 작다는 것을 인정하면 다음과 같다.

시스템내의 총 효소를 (E+ES)라고 간주하면,

- 여기서, 총 효소 는 반응속도를 촉진시키지만, 반응에서 소모되지는 않는다. 생성물의 형성 속도는 를 증가시키면서 증가한다 - 여기서, 총 효소 는 반응속도를 촉진시키지만, 반응에서 소모되지는 않는다. 생성물의 형성 속도는 를 증가시키면서 증가한다. 생성물 P가 세포합성(세포 생물량)이라면, 는 생성물의 최대증가속도를 나타내며, Michaelis-Menton 동역학의 최종식은 다음과 같다.

-위의 반응속도식은 전체적으로는 2차반응도 아니고, 1차 반응도 아니다. 그것은 2가지 경우의 중간단계이다 -위의 반응속도식은 전체적으로는 2차반응도 아니고, 1차 반응도 아니다. 그것은 2가지 경우의 중간단계이다. 기질 농도가 낮을 때 , 전체적으로 2차 반응이다.

-기질농도가 높을 때( , 전체적으로 1차 반응이며 대수성장단계를 나타낸다 -기질농도가 높을 때( , 전체적으로 1차 반응이며 대수성장단계를 나타낸다. -기질농도가 아주 높은 경우일 경우 성장속도는 최대이고, 기질농도가 낮은 경우 기질농도에 관하여 1차이다. 다음 그림은 기질농도의 함수로서 성장속도 의 곡선이다.

- 실험자료로부터 파라미터 과 를 구하기 위해 다음과 같이 성장률의 역수를 취한다.

VI. 1 하천에서의 오염물질의 물질이동식을 플러그유동시스템을 가정하여 유도하고, 정상상태의 경우의 해를 구하여라 VI.1 하천에서의 오염물질의 물질이동식을 플러그유동시스템을 가정하여 유도하고, 정상상태의 경우의 해를 구하여라. BOD 분해능 계수를 실험실과 현장의 자료를 해석하여 산정하는 방법을 설명하라.

1. 하천에서의 오염물질의 물질이동식을 플러그유동시스템을 가정하여유도하고, 정상상태의 경우의 해를 구하여라.

2. BOD 분해능 계수를 실험실과 현장의 자료를 해석하여 산정하는 방법을 설명하라. 1) 물질이동식 및 해 물질이동식은 유속에 의한 이류유송과 생화학적 분해 반응을 고려하면 다음의 편미분방정식으로 표현된다. 여기서, 평균 하천 유속( )은 유량을 단면적으로 나눈 값( )이다. 위의 식을 정상 상태의 상미분 방정식으로 표현하면 다음과 같다. 변수분리법으로 위의 상미분 방정식을 다음과 같이 풀 수 있다. 위의 적분은 일 때의 에서부터 하류 거리 x일 때 농도 C까지 설정되었다. 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 양변에 지수를 취하면, 다음과 같다. 여기서, 는 원점 에서의 초기 농도이다.

(1) 식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다. 2) 반응계수 추정을 위한 선형회귀분석방법의 적용 (1) 식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다. 이동 거리에 따라 측정된 BOD 농도/초기농도에 ln를 취하여 y축으로 이동거리/유속을 x 축으로 설정하여 측정된 자료를 도시한다. 이 도시된 그래프의 기울기는 이다. 따라서, 기울기가 BOD 분해능 계수이다. 실험오차나 기타 오차에 의하여 측정된 값이 그래프에 정확히 일치하지 않는 경우에는 선형회귀분석 기법을 이용하여 그래프에 가장 일치하는 경우의 기울기를 구하면 된다. Excel의 메뉴에 있는 Regression(상관분석)을 사용하여 이러한 분석을 수행한 후 그래프를 도시하여 실측값과 계산치와의 비교 분석을 수행한다.

VI.2 계산기와 Excel을 이용하여 다음과 같은 경우 에 대하여 선형회귀분석을 적용하여 BOD 분 해능 계수를 평가하라.

4. 다음의 경우에 대해서 물질수지식을 전개하고, 시간의 함수로서 농도에 대하여 풀어라(적분하 라).

1) 정상 상태, 거리에 따라 유동과 횡단면적이 증가, 1차 소멸 반응. 1) 물질수지식 호수 내에서의 간단한 물질평형은 제한적인 영양염류인 총인을 이용하여 살펴볼 수 있다. 총인의 경우 호수에서 비유기물, 유기물, 용해성 그리고 입자성 인의 형태로 존재한다. 안정된 흐름(유입=유출)이고 일정한 부피인 조건에서, 호수가 완전혼합되는 것을 가정할 수 있다. 호수의 평균 농도는 유출되는 총 인의 농도와 같다.

여기에서, ks 는 1차 침강 계수이고, 평균 침강 속도, 평균 깊이의 역수, 총인 중 입자상 인의 비율인 인자에 따라 다음과 같이 정의된다.

2) 정상 상태, 하천에서 거리의 함수에 따라 지수적으로 감소하는 속도 상수 2) 정상 상태, 하천에서 거리의 함수에 따라 지수적으로 감소하는 속도 상수. (가장 분해되기 쉬운 물질은 배출 지점 근처에서 가장 빠르게 분해된다.) 2) Vollenweider 모형 정상상태(또는 년간 평균 인 농도의 추정값과 같은)의 조건에서는 다음과 같다. 증발을 무시한다면, 유입율은 대략적으로 유출율과 같다(Qin=Q). 또한, 수리학적 체류시간의 항이 있는 식의 우변은 호수의 부피로써 나눠질 수 있다. 호수에서 총인의 농도는 다음과 같다.

총인의 농도는 유입되는 총인의 농도와 비례 관계에 있고, 수리학적 체류시간과 침강율과는 반비례 관계에 있다 총인의 농도는 유입되는 총인의 농도와 비례 관계에 있고, 수리학적 체류시간과 침강율과는 반비례 관계에 있다. 호수에서 총인의 존재는 중요한 무차원 수에 의해 결정되고 있다. 제거되는 총인의 비는 다음과 같다.

VI.4 Develope the governing equations of Streeter-Phelps model and derive the solution. What is the critical D.O. deficit and distance? (Streeter-Phelps 모형의 지배방정식을 서 술하고 해를 유도하라. 임계거리 및 임계 용존 산소 부족 농도에 대한 식을 유도하라.) Integration factor method can be described as follows : where

1) 지배방정식 및 해 1925년에, Streeter and Phelps는 오하이오강의 용존산소 “sag curve”에 관한 독창적인 연구를 발표하였다. 그들은 용존성 유기물의 생화학적 산소 요구량(BOD)의 분해 때문에 하류방향의 거리에 따라 용존 산소가 감소한다는 것을 설명할 수 있었으며, 그 현상을 설명하기 위하여 이후에 Streeter-Phelps 식으로 잘 알려진, 수학적인 식을 제안하였다. 탄소성 산소요구량의 산화는 비록 BOD 농도뿐만 아니라 산소 농도에 의존한다는 연구가 있었지만, 보통 1차 반응으로 기술된다. 일정한 속도의 하천과 정상상태 조건에 대하여, 플러그 유동의 물질이동 방정식을 적용할 수 있으며, 1차 감소 반응으로 다시 쓰면 다음과 같다.

여기서, L = 최종 BOD 농도, = 평균 유속, = 1차 탈산소 속도 상수 (생물학적 분해능 계수)이다. 용존 산소의 경우에, 물질이동식은 다음과 같다. 산소결핍농도로 나타낸다.

정상상태조건에서의 CBOD와 DO의 물질이동식은 다음과 같다. 여기서, C = 용존 산소 농도, L = 최종 BOD 농도, = 포화 용존 산소 농도, ML-3, = 1차 재포기 속도 상수이다. 위의 식을 산소결핍농도에 대한 식으로 표현하면 다음과 같다. Streeter-Phelps 식을 재현하기 위하여, BOD 및 DO에 대한 연립해가 필요하다. 상미분 방정식으로 되어있지만, BOD의 물질이동방정식을 거리에 따라 BOD 농도 (L)에 대해 직접 풀 수 있고, L의 식을 DO 식에 대입할 수 있기 때문에, 두 식은 분리되어 있다.

(1) (2) BOD 농도에 대한 식의 해가 아래와 같이 식 (1)와 (2)에 의해 주어져 있다. : 위의 해를 DO에 대한 식에 대입한다.

적분인자법을 이용한다. 여기서, 는 적분인자, q(t)는 부하 함수, y는 종속변수, t는 독립변수이다. 따라서, 다음과 같다. 일반해는 다음과 같다.

위의 식은 1차원, 정상 상태, 플러그 유동 시스템에서, 점 오염원이 BOD를 배출한 이후의, 거리에 대한 용존 산소 부족량의 최종해이다. 부족량대신 용존 산소 농도를 구할 수 있다.

Streeter-Phelps의 전형적인 D.O. sag curve, 위 : 최종 BOD 농도는 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 중간 : D.O. 부족량은 하천 내 탈 산소율이 재 폭기율과 같을 때, 최고점에 도달한다. 아래 : D.O. sag curve의 임계점은 거리가 일 때이다.

2) 임계 부족량과 거리 ( ) 임계 거리( )에서, 재폭기율은 탈산소율과 같으며, 산소 농도( )와 2) 임계 부족량과 거리 ( ) 임계 거리( )에서, 재폭기율은 탈산소율과 같으며, 산소 농도( )와 부족량( )의 변화량이 0인 최고치를 갖는다. 이 사실은 일 때, 다음 식으로부터 보여줄 수 있다. 정상 상태 조건에서, 임계 부족량과 하류방향의 거리는 다음 식을 이용하여, 양해적으로 구할 수 있다. 임계 부족량에 대하여 풀면, 다음의 식이 도출된다.

위의 식을 용존산소 부족량에 대한 다음 식에 대입하면, 임계거리( )를 구할 수 있다. 만약 초기 용존 산소 부족량이 x = 0 에서 0이라면 (D.O.는 로 포화되어 있음), 위의 식은 다음과 같이 단순화된다.

VI.5 대장균을 채취, 분석하는 과정을 설명하라. 시료 채취 하는 방법 수질 또는 유량의 변화가 심하다고 판단될때는 시료의 채취횟수를 늘린다. 채취한 시료는 혼합한 다음 단일시료로 한다. 시료의 교란이 없도록 짧은 시간에 채취 공기와 접촉이 없도록 가득 채움 채취된 시료는 즉시 실험 할 것 (보존기간이 6시간이다.)

배지 조제 건조필름배지 식품공전법에 고시되어 있는 배지 제조법으로 제 조한다. 그러나 보통 제조되어 시중에 시판중인 제 품을 사용하여도 무방하다. (3M)개봉 전에는 냉장 (10℃이하)에서 보관하고, 개봉 날짜를 기록 후 상 온에서 보관한다. 이때 상온 보관 기간은 개봉일로 부터 1개월이다.

검액 조제 Sample 25g을 채취후 무균적으로 만들어진 멸균 생리식염수(0.85%) 225ml와 함께 멸균봉투에 넣고 균질기에 1분간 균질화 시킨 것을 Sample 원액 으로 사용한다.

검사 방법 정량실험(건조필름배지[3M Petrifilm]) 얇은 필름(배양지)에 영양소, 수용성 겔 및 균체 지시약들 을 특수코팅시켜 시료를 접종, 배양시키면 각각의 균들이 그 지시약에 의해 변하는 색변화로 판정

판정법 생성된 푸름 집락 중 주위에 기포를 형성하고 있는 집락수 를 계산하고 그 평균 집락수를 희석배수를 곱하여대장균수 를 산출한다.

VI.6 입자상 오염물에 의한 침전이 있는 경우에 대하여 BOD 분해와 DO의 재포기 과정을 포 함한 물질이동 현상에 대하여 관련된 그림과 지배식을 서술하고, DO 결핍농도에 대한 해 를 상미분방정식의 적분인자법을 이용하여 구하여라. 적분인자법의 적용방법에 대하여 상세히 기술하라.

식(63a)는 플러그-플로우 하천에 대한 질량평형식이고, 식(63b)은 그것의 용해에 관해 주어진 식이다. 식 (74a)에서 L을 가지고 치환함으로써, 적분요소법에 의해 풀 수 있다.

Streeter-Phelps 식(34)는 을 로 치환한 것을 제외하고는 유사한 식이다 Streeter-Phelps 식(34)는 을 로 치환한 것을 제외하고는 유사한 식이다. DO 부족곡선의 기울기(DO "sag" 곡선)는 Streeter-Phelps와 비숫하지만, 하천에서 침전하는 동안 CBOD 농도는 배출점 가까이에서 매우 급격히 감소한다. 그림 6.5는 시간에 따른( ) CBOD( )의 반로그 그래프로부터 측정한 과 를 나타냈다. 두 개의 뚜렷하게 다른 기울기로부터 속도상수를 정의할 수 있다.

VI.7 재폭기, 침전, 분해, 광합성, 호흡, 퇴적물산소 요구량, 비점오염원이 있는 경우의 DO 모형의 모식도 및 관계된 식을 설명하라. DO 결핍농 도의 해를 상미분방정식의 해법으로 자세히 구 하여라.

CBOD( ), 질소에 의한 탈산소를 가지는 NBOD, 탄소성 탈산소 , 재폭기 , CBOD의 침전 , 순 광합성 , SOD 등을 포함하는 DO 모형의 모식도를 다음 그림에 나타냈다. 플러그 유동의 강에서 DO 부족에 대한 전체적인 물질평형식은 다음과 같다. 정상상태를 가정하면, 위의 식의 우변의 함수를 선형상미분방정식의 형태의 식으로 재배열할 수 있다.

위의 식은 일반적인 비균일상미분방정식인데 적분인자법으로 풀 수 있다.

이 식의 우변에서 첫 항은 재폭기를, 두 번째 항은 초기 CBOD 를, 세 번째 항은 초기 NBOD를, 네 번째 항은 퇴적물 산소요구량을, 다섯 번째 항은 을, 마지막 항은 비점오염원이 원인인 이면 BOD( )를 나타낸다. 다음 표에 주어진 위의 식에대해서 합산할 수 있는 각각의 발생항과 소비항에 대한 개별적인 해를 나타냈다. 다음 그림에 주어진 전체 해를 합산할 수 있는 각각의 발생항과 소비항에 대한 도식적인 해를 나타냈다.

VI.8 하구에서의 확산현상을 포함하는 물질이동식 을 유도하고 정상상태에 대하여 상미분방정식의 해를 유도하라.

이류분산모형에서의 하구의 BOD와 D.O. 농도

VI.9 물질이동식의 확산계수, 유속, 반응속도상수 등의 파라미터를 추정하는 방법을 설명하라.

수계에서 오염 물질 이동 해석시 고려해야 할 물리적 작용은 유속이동과 확산이동이 있음 유속에 의하여 수체내의 물질이 이동하는 현상을 말함 유속이 큰 경우에는 확산이동 현상보다 지배적으로 물질이동에 영향을 미침 만일 수체내에서 이동현상 외에 여타의 물리적, 화학적, 생물학적 변화가 발생되지 않는다면 오염물의 분포는 전적으로 유속 및 확산이동에 의해서 결정된다.

유속이동과 Fick 형태의 확산이동을 고려한 3차원 물질이동식은 다음 식과 같다. 여기서 C : 오염물의 농도 D: 확산계수 tensor V: 유속 vector ΣS : 생성 및 소멸항의 합 t : 시간 ∇ : 공간영역에 대한 미분 표시

위 식에서 생성 및 소멸항을 직접오염부하항, 경계유입농도항, 생화학적반응항으로 분류하면 일반적 물질이동지배식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서, GL= 직접 오염물 부하율(g/m3.day) GB= 상류, 하류, 하상, 대기 경계 부하율 (g/m3.day) GK= 생화학적 변환율 (g/m3.day)

Network 형식으로 연결되는 Box형 3차원 모형(WASP5 모형의 경우)을 구성하기 위해, 이동에 수직되는 단면적을 곱하면 모형의 지배식을 얻을 수 있으며 다음 식과 같다.

위 식에 포함된 확산계수 의 값은 이미 연구되어 있는 실험식으로 계산이 가능하다 위 식에 포함된 확산계수 의 값은 이미 연구되어 있는 실험식으로 계산이 가능하다. 길고 곧은 관에 있어서 유동방향의 확산계수는 평균 전단속도에 따라 다음과 같이 결정된다(Taylor, 1956). 여기서, r은 관의 반경이고, u*는 전단속도이며, 이다. t는 벽면의 전단응력 ( )이고 p는 밀도 ( )이다.

Elder(1959)는 하천유동의 경우Taylor(1956)와 비슷한 식을 다음과 같이 제시하였다. 여기서, : 유동방향의 확산계수 (m2/day) : 확산상수 : Manning의 조도계수 : 평균 유속 (m/sec) : 평균 수심 (m)

V.1 부영양화에 따라 나타나는 현상을 서술하라.

적조현상 질소나 인산을 많이 함유한 생활 하수나 비료 성분이 유입되면 쌍편모류가 대량으로 번식하여 바다나 호수가 붉게 변하는데, 이러한 현상을 적조현상이라고 한다. 적조가 발생하면 물 속의 산소가 부족하게 되거나, 플랑크톤 자체의 독성 또는 플랑크톤의 외부를 감싸고 있는 점액질이 물고기의 아가미를 덮어 호흡을 방해함으로써 어패류가 죽거나 수질이 악화되어 수산업에 막대한 피해를 준다.

녹조현상 영양 염류의 과다로 호수에 녹조류가 대량으로 번식하여 물빛이 녹색으로 변하는 것을 녹조 현상이라고 한다. 일단 물에 유입된 영양 염류는 제거하지 않으면 수중 생태계의 물질이 순환 구조 속에 계속 남아 있게 되므로, 녹조 현상이 자꾸 되풀이해서 나타나게 된다.

V.2 Monod의 반응속도식을 그림과 더불어 설명하 라.

효소 반응역학은 보다 복잡한 속도 식을 도출 이 복잡한 속도 식은 단순한 반응이 아니며 단순 속도 식 또는 단순한 반응차수를 산출하지 않음 Michaelis-Menton 효소 반응역학의 전형적인 경우는 2단계 반응기작을 수행 여기서, E는 효소, S는 기질, ES는 효소-기질 화합물, P는 반응의 생성물 효소는 반응속도를 촉진시키는 촉매제이지만(낮은 활성 에너지) 반응에 소모되지는 않는다는 것을 유의

ES 화합물의 형성 속도는 속도상수 k1,k2,k3의 세 가지 반응 모두를 의미 (식(39)에서 d[ES]/dt=0) k3가 반응 속도를 결정하는 k2와 비교해서 작다는 것을 인정하면, 식(41)은 다음과 같음

그 다음 식(41)에서 E에 대해 대입 및 정리 식(43)의  ES를 식(40)에 대입하면, 다음 식을 유도

총 효소 는 반응속도를 증가시키는 것처럼 보이지만(반응속도를 촉진한다), 반응에서 소모되지는 않는다 총 효소 는 반응속도를 증가시키는 것처럼 보이지만(반응속도를 촉진한다), 반응에서 소모되지는 않는다. 생성물의 형성 속도는 Et를 증가시키면서 증가함 생성물 P가 세포합성(세포생물량)이라면, k3[Et]는 생성물의 최대증가속도를 나타내며, Michaelis-Menton 반응역학에 대한 최종식은 다음과 같음 여기서 μ max는 생성물(세포)의 최대 증식속도

실험자료로부터 파라미터 과 를 구하기 위해 다음과 같이 성장률의 역수를 취한다.

V.3 호수에서의 오염현상의 물질수지식을 유도하고 Vollenweider 모형을 설명하라.

물질수지식 - 호수 내에서의 간단한 물질평형은 제한적인 영양염류인 총인을 이용하여 살펴볼 수 있다. 총인의 경우 호수에서 비유기물, 유기물, 용해성 그리고 입자성 인의 형태로 존재한다. 안정된 흐름(유입=유출)이고 일정한 부피인 조건에서, 호수가 완전혼합되는 것을 가정할 수 있다. 호수의 평균 농도는 유출되는 총 인의 농도와 같다.

증가 = 유입 - 유출 - 침전 여기에서, ks 는 1차 침강 계수이고, 평균 침강 속도, 평균 깊이의 역수, 총인 중 입자상 인의 비율인 인자에 따라 다음과 같이 정의된다. 여기서, = 총인 중 입자상 인의 비, = 입자의 평균 침강 속도, H = 호수의 평균 깊이이다.

Vollenweider 모형 -정상상태(또는 년간 평균 인 농도의 추정값과 같은)의 조 건에서는 다음과 같다. 증발을 무시한다면, 유입율은 대략적으로 유출율과 같다 (Qin=Q). 또한, 수리학적 체류시간의 항이 있는 식의 우변 은 호수의 부피로써 나눠질 수 있다 .

-여기에서, = 수리학적 체류시간 -호수에서 총인의 농도는 다음과 같다 -여기에서, = 수리학적 체류시간 -호수에서 총인의 농도는 다음과 같다. -총인의 농도는 유입되는 총인의 농도와 비례 관계에 있고, 수리학적 체류시간과 침강율(총인이 제거되는 주된 매커니 즘)과는 반비례 관계에 있다. 호수에서 총인의 존재는 중요 한 무차원 수( )에 의해 결정되고 있다.

-제거되는 총인의 비는 다음과 같다. -본 Vollenweider 모형은 대상 저수지를 정상상태하에 완 전혼합으로 가정하였을 뿐만 아니라 호수내 인이 호수내 각종 식물성 플랑크톤의 성장을 제어하는 유일한 영양염 류로 가정하여 총인의 농도를 기준으로 호수의 부영양화 정도를 판단하였다.

-수체내에서 발생하는 각종 영양염류와 부영양화 단계의 주요 지표인 식물성 플랑크톤과의 관계를 제외하여 계절 의 변화에 따른 식물성 플랑크톤의 농도를 예측할 수 없는 문제점이 있다. 또한 인을 식물성 플랑크톤의 성장을 제어 하는 영양염류로 가정하였기 때문에 질소 혹은 실리카가 성장제어 영양염류인 경우에는 사용할 수 없다. 그러나 이 모형은 사용이 간단하여 부영양화 현상을 규명하기 위한 첫 단계에서는 비교적 널리 사용되고 있다. 일반적으로 저 수지의 수질은 영양염 부하량, 저수지형태, 수리학적 조건, 기상조건 등에 지배되는데 이중에서도 부영양화 현상을 지배하는 가장 큰 요인은 영양염부하량이다. 특히 인이 제 한인자가 되는 경우가 많다.

V.4 팔당호 및 소양호 등 국내 주요 호수의 부영양화 정도를 총인 농도로서 판정하라. (인터넷 자료 활용)

V.5 WASP 모형의 이론을 설명하고, WASP7.4 모형에서 주어진 입력자료를 사용하여 모델링한 후 결과를 설명하라.

WASP 모형을 연구하라 – WASP WASP은 Di Toro등에 의해서 1983년 처음으로 개발되었으며 1988년에는 WASP4로 발전 1993년 WASP5가 만들어지면서 하천, 호수, 하천의 하구 및 해안에서 광범위하게 적용 2001년에는 기존의DOS 환경의WASP5를 윈도우환경에서 사용할 수 있도록 한 WASP6가 개발 WASP6 모델은 자연현상과 인간의 활동으로 발생하는 다양한 오염물질에 대한 수질의 예측 및 해석이 가능하며, 수체와 저니층의 수질을 모의 할 수 있는 유동구획모형이며 유동, 확산, 점오염원과 경계조건의 시간에 따른 변화를 고려 할 수 있음  

WASP 모형을 연구하라 – WASP WASP6는 두 개의 독자적인프로그램인 DYNHYD5 와 WASP6로 이루어져 있으며 두 개의 프로그램을 연결하거나 분리해서 모의를 할 수 있음 WASP는 다시 부영양화를 모의 할 수 있는 EUTRO5와 독성물질등 보존성물질을 모의하는 TOXI5로 구성

WASP6 수질모델 3차원에 대한 물질수지식

WASP6 수질모델 WASP6수질모형에 대한 모의 항목을 나타내는 구성도임

WASP6 수질모델 다음은 WASP6수질모형을 이용하여 시범연구수체인 대청호수계에 적용한 소구간 구분도를나타내고 있음 본 모형은 유럽의여타수계에 대해서도 적용이 가능하며, TEIN을 통하여 입력자료를 전송받은 후 모델링 과정이 수행되며, 모델링 결과 파일이 덴마크에 전송하는 방법으로 운영됨

WASP6 수질모델 다음의 화면은 시범 모형으로 선정되어 네트워크 모델에 적용된 도스기반의 WASP6의초기화면및 실행과정을 나타내고 있음

WASP6 수질모델

WASP7 다음 화면은당해연도 WASP7수질 모델임 1차년도에는 도스기반의 WASP5에 대한 네트워크 모델처리만을 수행하였으나, 당해년도에는 WASP7의 입력자료에 대한 모델 처리가 가능토록 TEIN응용 애플리케이션을 보완하였으며, 좀 더 상세한 제어가 가능하도록 작업을 수행하였음

WASP7 위그림은WASP7수질모형을 이용하여 대청호 수계에 적용한측정항목에 대한 예측값을 나타내고 있음 WASP7수질 모델 또한 유럽의 여타 수계에 대해서도 적용이 가능하며, TEIN을 통하여 입력자료를 전송 받은 후 모델링 과정이 수행됨

V.6 MFEMWASP 모형의 수질이론 및 특징을 설 명하라.

MFEMWASP 모형을 연구하라 MFEMWASP 모형 1. 성층화 현상을 해석할 수 있는 기능이 추가 2. 필요에 따라 1․2․3차원으로 선택하여 해석할 수 있는 3차원 모형으로 개발 3. 여러 기종의 컴퓨터에서 전산모형의 효용성 및 운반성을 증대하기 위하여, 프로그램의 구성은 다음과 같은 점을 고려하여 유한요소법을 채택 4. 프로그램의 구조를 고도로 모듈화하여 시스템간 이식성을 높임 웹 기반에서 실행되는 MFEMWASP 모형은 40개 이상의 입력변수가 필요하지만 많은 사용자가 비모형전문가인 업무담당자나 환경단체, 일반국민일 것으로 판단되어 모형입력자의 요소와 격자점, 유속 및 모델링 항목에 대한 반응계수는 미리 디폴트로 제공하였으며, 사용자는 모의기간과 모의실험 조절자료, 수질항목, 신규 오염원에 대한 점오염원 부하량 등의 최소 입력자료만을 입력시키도록 하였음 모형은 수치해석상 보다 발전된 다차원 유한요소법을 이용하였으며, 여타 수질예측모형의 수질 및 수치이론을 해석하고, 정확도 및 적용성 여부를 판단하여 개발된 모형임 또한, 사각형 유한요소법을 사용함으로서 국내의 수계와 같이 복잡한 형상을 지니는 경우에도 가변격자망을 사용하여 복잡한 지형을 표현할 수 있음 그리고 GIS의 Polygon 자료 형태와 일치하므로 GIS와 연계시에도 유리하다는 장점을 지니고 있음

MFEMWASP 예