CH 4. 확률변수와 확률분포 4.1 확률 확률실험 (Random Experiment, 시행, Trial) : 결과를 확률적으로 예측 가능, 똑 같은 조건에서 반복 근원사상 (Elementary Event, e) : 시행 때 마다 나타날 수 있는 결과 표본공간 (Sample Space, S) : 근원사상들의 집합 사상 (Event, A,B,C… ) : 표본공간의 부분 집합 배반사상 (Exclusive Event) : 두 개의 사상 A, B가 동일한 근원 사상 을 포함하고 있지 않을 때 여사상 (Complement Event, A’ ) : 표본공간 S 에서 사상 A에 속하지 않는 모든 근원사상의 집합 예제 4.1
4.1.2 확률과 확률법칙 확률 (Probability): P(A) 확률에 관한 법칙 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(S) = 1 P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) A, B 가 배반이면 P(A∩B) = 0 P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A’) = 1 – P(A) 4.1.3 조건부 확률과 독립사상 조건부 확률 (Conditional Probability):
독립사상 (Independent): 사상 A, B 가 서로 독립 예제 4.2 4.2 확률변수 (Random Variable) 근원사상 e 에 대해서 실수값을 갖는 함수: 즉 확률변수 X 는 표본공간 S 에서 정의된 함수이다. 에제 4.3 확률변수 분류: 이산형(Discrete) 과 연속형(Continuous) 확률밀도함수 (Probability Density Function, pdf) 이산형 연속형
확률밀도함수의 성질 누적분포함수 (Cumulative Distribution Function, cdf) 누적분포함수의 성질 예제 4.4, 그림 4.3
4.2.3 기대값 과 분산 기대값(Expected Value): 분산 (Variance): 정리 4.1 예제4.5 4.2.6 Chebyshev의 정리
4.3 이산확률뷴포 베루누이분포(Bernoulli) 이항분포(Binomial) 초기하분포(Hypergeometric) 포아송분포 (Poisson)
4.3.1 베루누이분포 베루누이 시행: 매 시행마다 2개의 가능한 결과 (0 또는 1)만 일어나며, 각 시행이 서로 독립일 때 확률변수 X = 베루누이 시행의 결과 If P [X=1] = p, then P [X=0] = 1-p X의 확률분포를 베루누이분포라고 한다. 베루누이 분포의 pdf : 정리 4.5 예제4.7
4.3.2 이항분포(Binomial Distribution) 확률변수 X = 성공률이 p인 베루누이 시행이 n번 반복되었을 때 성공 횟수 X = 0,1,2,3, .. n X의 확률분포를 이항분포라고 한다. 이항분포의 pdf: 예제 불량률이 p인 무한 모집단에서 크기가 n인 샘플을 취했을 때, 불량품 개수 만약 유한모집단인 경우에는 복원추출 (sampling with replacement)
정리 4.6 If 이항분포의 특징 p=0.5일때, 기대값을 중심으로 대칭이다 np≥5이고 n(1-p) ≥ 5일때 정규분포에 근사된다. p≤0.1 이고 n ≥ 50일때는 포아송분포에 근사된다. 예제 4.8 그림 4-4