Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University §2. 변분유한요소법 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

2.1 Ritz 법과 유한요소법 ⊙ 유한요소법의 이론적 배경: 미분방정식의 근사해법, Ritz 법과 Galerkin 법 ⊙ 변분유한요소법(variational approach to finite element method) ○ Ritz 법 ○ 유한요소 보간법(finite element interpolation)        ○ 기초함수(근사해법)  ⇒  보간함수(유한요소법) ⊙ 유한요소이산화(FE discretization)     ○ 해석영역을 요소(element)로 분할함     ○ 요소는 절점(node)에 의하여 정의됨 ○ 선분요소, 삼각형요소, 사각형요소, 사면체요소, 육면체요소, 등등 

2.1 Ritz 법과 유한요소법 a) 1차원 선분 b) 2차원 평면 d) 3차원 연속체 c) 3차원 곡면 그림 2.1 유한요소 해석모델

2.1 Ritz 법과 유한요소법 ⊙ 보간함수 ○ 근사해법에서 기초함수와 동일함 ○ 절점당 하나의 보간함수를 정의함 ○ : ○ :       ▷1차원 해석영역에서 절점 I에서 정의된 보간함수       ▷절점 I 에서 1의 값을 갖고 다른 절점에서는 0의 값을 갖는 구간연속함수       ▷절점 I 와 무관한 요소에서 0의 값 (a) (b) ○ 적분영역을 요소별로 나누어서 적분을 실시할 수 있고, ○ 하나의 요소에 대한 적분시 그 요소의 정의에 사용된 보간함수만 고려하면 됨 (c) ⊙ 수계산 문제의 정의 그림 2.2 보간함수 후보 ○ 문제 1 ○ 문제 2

2.2 이산화 및 번호매김 ⊙ 이산화 요구조건 및 목적 ○ 요소 관점에서의 적분 ○ 매우 자유로운 시도함수의 선정 ○ 보간함수가 그 역할을 수행함 ⊙ 보간함수 ○ 사고력이 전혀 없는 컴퓨터가 인식하거나 생성할 수 있는 매우 단순한 함수 ⊙ 이산화와 번호매김 체계 ○ 이산화: 해석영역을 유한요소로 분할, 유한요소는 절점에 의해 정의됨 ⊙ 절점 및 요소 번호 매김 ○ 전체번호매김(global numbering)            ▷ 절점과 요소에 중복되지 않도록 순차적으로 번호를 부여함       ▷ 결과에 영향을 주지 못함 ▷ 선형방정식의 해법에 따라 계산시간 및 사용 메모리의 크기에 영향을 줄 수 있음     

2.2 이산화 및 번호매김 ○ 최적절점매김: 계산시간과 소요 메모리의 최소화       ▷띠형행렬법(banded matrix metod), 벤드폭(bandwidth)       ▷스카이라인법(skyline method), 스카이라인 아래의 성분 수 a) banded matrix b) skyline 그림 2.3 유한요소법에서의 강성행렬 ○ 적절점매김 불필요 선형방정식 해법: 각종 반복법,       저밀도행렬기법(sparse matrix technique), 전선해법(frontal solution method)

2.2 이산화 및 번호매김 ⊙ 이산화 관련 부호 규약 ○ 절점번호: 대문자 (I,J,K,L) 그림 2.4 해석영역 이산화 ○ 절점번호: 대문자 (I,J,K,L) ○ 요소번호: ○가 씌워진 소문자 또는 대문자로 표시 ○ 요소 수: M ○ 절점 수: N ○ 유한요소 해석모델:       ▷절점과 요소로 구성된 해석 대상 형상 정보(협의의 유한요소 해석모델)       ▷경계조건(하중 포함) 관련 정보       ▷절점의 수, 요소의 수, 절점의 좌표, 요소의 연결정보, 경계조건, 소재정보 ○ : 절점 I의 좌표 그림 2.5 유한요소 해석모델

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ 유한요소기교(finite element technique)의 핵심: 보간함수     ○ 보간함수 = Ritz 법에서 기초함수와 동일한 역할 수행     ○ 보간함수에 대한 적합성 조건(compatibility condition): 연속함수     ○ 보간함수에 대한 완전성 조건(completeness condition): 보간함수의 선형조합인 시도 함수가 각 요소에서 임의의 p차 이하의 다항식을 정확하게 표현할 수 있어야 함 ⊙ 보간함수(shape function, SF) ○ 표준보간함수(standard SF): 대부분 이 보간함수를 사용함     ○ 계층보간함수(hierarchical SF): 요소망 조밀화시 유리, 무한영역 문제에 유리 ⊙ 선형요소     ○ 2차 미분방정식의 경우, 적합성조건과 완전성조건을 만족하는 최소 차수의 요소     ○ 보간함수가 선형(2중선형, 3중선형 포함)임

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ ○ 1차원 선형요소의 절점 에 정의된 보간함수 ○ 1차원 선형요소의 절점 에 정의된 보간함수 ○ ① 절점에서: 절점 에서 1의 값을 갖고 나머지 절점에서 0의 값을 가진다. 즉, 또는 ② 요소내부에서: 절점에서 0 또는 1로 주어진 보간함수의 값을 선형적으로 연결한다. ○ 함수의 구체적 표현 그림 2.6 보간함수

2.3 보간함수와 절점치 ☞ 해석모델의 형상정보 ○보간함수 ○ ○ 예제 2.1 보간함수의 계산 요소 ① 에서 요소 ② 에서 요소 ③ 에서 ③ 요소 ④ 에서 ④ ○ ③ ③ ③ ③ ③ ③

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ ○ 정의구역을 요소 ⓙ로 하는 ○ ○ ○ ⊙ 절점치 ○ ⓔ ○ ○ ○ ⊙ 절점치 ○ ○ 가 온도 분포라면, 는 절점 I의 온도를 의미함

2.3 보간함수와 절점치 ⊙ 필수 경계조건의 부과 ○ 예: ○ ○ ⊙ 자유도 ○ 절점당 자유도: 절점당 미지수의 수 ○ 요소당 자유도: 절점당 자유도 × 요소당 절점의 수       ○ 문제 전체의 자유도: 절점당 자유도 × 전체 절점의 수 - 기지의 변수 수

2.4 유한요소방정식의 유도 ⊙ 유한요소 이산화 ⊙ 시도함수: ○ ○ 그림 2.7 이산화 및 보간함수 ① ② ③ ① ② ③ ①

2.4 유한요소방정식의 유도 ⊙ 경계조건 ○ ○ 유한요소방정식의 유도 이후에 대입함 ⊙ 범함수에 시도함수의 대입 ⊙ 함수 가 극값을 가질 조건:

2.4 유한요소방정식의 유도

2.4 유한요소방정식의 유도 ⊙ 유한요소방정식:

2.5 요소방정식 ⊙ <기호규약>     ○ 전체번호매김(global numbering); 해석모델 전체를 대상으로 절점번호를 매김     ○ 국부번호매김(local numbering); 하나의 요소를 대상으로 절점번호를 매김 그림 2.8  국부번호매김 및 첨자규약 ① 전체절점번호: I,J,K,L 등을, 국부절점번호: 등을 ② 〇 내의 숫자 또는 문자는 요소의 번호를 의미함  ③ 상첨자 ⓘ 등을 수반하는 좌표와 절점치(예: , )의 하첨자는 해당 요소  ⓘ의 국부절점번호임 ④ 상첨자가 없거나 상첨자 ⓘ 등을 수반하는 보간함수(예: )의 하첨자는 전체절점번호임 ⑤ (～) 기호를 수반하는 보간함수(예: )의 하첨자는 국부절점 번호임  ⑥ 요소 Ⓜ에서 정의되는 요소치는 하첨자 Ⓜ를 이용하여 로 표시함』 ③ ②

2.5 요소방정식 ⊙ 요소 ②의 요소방정식(element equation) ⊙ 기호규약에 따른 요소 ②의 요소방정식 예제 2.3 의 표준형: 적분구간 [-1,1] ☞ ○

2.5 요소방정식 ⊙ 요소 ②의 요소방정식의 표준형(standard form)을 위한 좌표변환 ○ ○ 자연좌표(natural coordinate) ○ 보간함수: ○ ② ○ ① ③ ○ ② ○ 자코비안(Jacobian): ② ○ 보간함수의 미분: ②

2.5 요소방정식 ⊙ 요소 ②의 요소방정식의 일반형 ② ② ② ○ ② ② ② ○ 요소 ②와 관련된 것은 모두 ②를 수반함

2.5 요소방정식 ⊙ <요소 ①의 요소방정식> ○

2.5 요소방정식 ⊙ <요소 ③의 요소방정식> ○

2.5 요소방정식 ⊙ 요소방정식의 계산 ○` ○ 요소 ① ○ 요소 ② ○ 요소 ② ⊙ 요소방정식의 일반형 ○ 요소강성행렬, ○ 요소강성행렬, ○ 하중요소벡터,

2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분 ⊙ 수치적분 ○ ⊙ 2적분점 Gauss quadrature 법: ○ 가 3차 함수이면, 는 정해와 일치함 ⊙ 예제 ○ 수계산: ○ 피적분함수: ○ Gauss quadrature 법에 근거한 2점 수치적분:

2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분 예제 2.4 2점, 3점 수치적분공식 ○ ○ 좌변 ○ 우변 ○ 좌변=우변 ○ 3차 수치적분공식: 예제 2.4 의 2, 3점 수치적분, ☞ 오차 4.8% ○ 오차 0.0% ○ 정답:

2.6 Gauss quadrature 법에 의한 수치적분

2.7 요소방정식의 조합 ⊙ 요소방정식 ○ 불완전 방정식, 자체로서는 아무 의미없는 방정식임 ○ 전체 문제에 조합될 때 효력을 가짐 ○ 요소방정식이 일반형: ⊙ 요소방정식의 조합 ○ 가정: ○ 조합에 앞서 전체강성행렬 성분 와 전체하중벡터 성분 를 0으로 둠 ○ ○

2.7 요소방정식의 조합 ☞ ○ ○ ○ 밴드폭 = 2, 스카이라인 내의 행렬요소 수 = 7 개 ○ 강성행렬: 대칭, 상삼각행렬(upper triangular matrix)에서 0의 행렬 요소는 총 3 개 예제 2.4 전체번호매김의 영향 ☞

2.8 경계조건의 부과 ⊙ 경계조건 대입이전의 방정식 ○ 경계조건 대입 이전의 유한요소방정식: ○ ○ : 불능 ∵경계조건 미대입 ⊙ 경계조건 의 대입 <방법 1: 소거법> ○ ○ 유한요소방정식:

2.8 경계조건의 부과 ☞ <방법 2: 벌칙기법> ○ 유한요소방정식: ○ β: 벌칙상수, 매우 큰 양의 상수 예제 2.7 경계조건 의 대입 ☞ ○ ○

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소방정식 ○ 유도 수와 동일한 방정식(미지수)의 수 ○ 선형미분방정식 ⇒ 선형방정식, 비선형미분방정식 ⇒ 비선형방정식 ○ 유한요소방정식의 해 = 1차결과치: 온도, 변위, 속도, 압력 ⊙ 파생결과치의 계산: ○ 열전달율, 변형률, 응력, 반력 등등 ○ 미지함수의 미분⇒ 보간함수의 미분 ⇒ 파생변수의 계산 ⊙ 요소치 ○ 선형요소의 경우, 미분값이 요소에서 일정하거나, 요소경계에서 불연속임 ○ 이 경우, 일반적으로 요소 내의 중심점에서 요소치가 계산됨 ○ 절점치를 구하고자 할 경우, 최소자승법으로 요소치를 순화시켜 계산함 ○ 응력, 변형률, 변형률속도, 열전달율

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 온도의 절점치 ○ 예제 2.8 벌칙기법에서 일 경우 ☞ 벌칙기법에서 일 경우 ☞ ⊙절점에서 정해와 절점치의 비교 ○ ○ ← 초수렴(superconvergence)

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 유한요소해와 정해의 비교 그림2.9 정해와 유한요소해의 비교 ○ 전체적으로 정해를 비교적 잘 반영하고 있음 ○ 기울기(열전도율과 비례함)는 비교적 큰 차이를 보이고 있음 ○ 탄성역학에서 변위구배(displacement gradient, )는 변형률 및 응력과 직결 ○ 도 및 변위 등의 1차결과치가 상당히 정확하더라도 해석결과를 미분하여 구한 파생 결과치들에는 비교적 큰 오차가 개입될 수 있음

2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ≒ 41% ⊙ 기울기 오차의 정량화 ○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의 ○ 단위 길이당 열생성율이 인 정상상태의 1차원 열전도방정식 ○ 총 열생성율: 그림 2.10 열생성율과 열전도율 ○ 유한요소해석결과 외부로 전달되는 열전달율 ○ 절점의 수를 증가시킨다면, ▷ ▷ ○ ≒ 41% 그림 2.11 요소밀도 증가와 정확도 개선

그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1] 2.9 유한요소해석 결과 및 파생결과의 계산 ⊙ 경계에서 불균형 항(외부로 전달되는 열유동량)의 계산 ○ 요소방정식을 이용한 경계에서 열전달율의 계산 그림 2.12 그림 2.7의 유한요소 해석모델 관점에서의 [문제 1] ○ 불균형항의 계산: ○ 경계조건 부과 이전의 유한요소방정식으로부터 경계에서 열전달율의 계산

2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ⊙ 경계조건 부과 시점에 따른 유한요소방정식의 표현 차이 ○ 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 ○ 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 예제: 경계조건 <방법 1> 경계조건을 최종적으로 처리하는 방법 ⊙ 시도함수: ○ 경계조건(B.C.)을 반영하지 않았음 ⊙ 유한요소방정식의 유도 ○ ○ ○ ○

2.10 유한요소방정식의 일반형유도 <방법 2> 경계조건을 미리 반영하는 방법 ⊙ 절점의 분류 ○ { 는 모든 절점번호} ○ { 는 필수경계조건이 부과된 절점 번호} ○ { 는 자유도가 구속되지 않은 절점 번호} ○ ⊙ 예제:

2.10 유한요소방정식의 일반형유도 ○ ○ ○ ○ ○ 또는