최단거리 찾기 영재학급 6학년 김재중
차례 탐구동기 이론적 배경-페르마 포인트란? 최단거리 찾기 1,2,3 페르마 포인트의 증명 1 페르마 포인트의 증명 2 페르마 포인트의 특징 페르마 포인트의 예
탐구동기 책을 읽다가 최단거리 찾는 방법에 대하여 읽은적이 있는데 최단거리 속 담긴 수학적 원리를 탐구하고 싶어서 이 주제를 선정하게 되었습니다.
이론적 배경 페르마 포인트란? 페르마 포인트란 예각삼각형의 내부의 한 점에서 세 꼭지점에 이르는 거리의 합이 최소가 되는 삼각형의 내부의 한 점을 페르마 점이라고 한다. 이 점을 토리첼리 점이라고도 한다 이러한 페르마 포인트는 삼각형 외에도 사각형,오각형 등에서도 찾을 수 있다.
최단거리 1 A마을과 B마을이 있다. 그런데 B마을에 불이 나서 A마을의 소방차가 가야 한다. 이때에 불을 끌 물이 없어서 강을 들렸다가 가야 한다면 강의 어느 지점을 들려야 할까? B A
최단거리 1 점 A를 선을 중심으로 대칭 이동 하여 점 A’를 만든다. 점 A’를 점B와 연결하였을 때의 선과 가운데 선분이 만나는 점C가 점 A에서 B로 갈 때 만나야 하는 점이다. B A = C = A’
최단거리 찾기 2 A 지점에서 B지점까지 가려고 한다. 이때에 최단거리로 가려고 할때 모두 몇가지가 있는가? B A
최단거리 찾기 2 다음 그림과 같은 사각형에서 최단거리 경우의 수를 구하려면 A지점에서 A’지점까지 갈수 있는 경우의 수와 A’’지점까지 갈수 있는 경우의 수의 합을 구하면 B지점까지 가는 경우이다. 따라서 답은 35가지이다 A’’ B A’ A
최단거리 찾기 3 다음과 같은 입체도형에서 A지점에서 B지점으로 가는 최단경우의 수를 구하려고 할때 어떻게 구할 수 있을까?
최단거리 찾기 3 다음그림과 같은 입체도형 에서는 세방향 ( )을 모두 고려해 주어야 한다. 따라서 답은 25가지 이다. 2 ( )을 모두 고려해 주어야 한다. 따라서 답은 25가지 이다. 2 B 6 2 1 1 2 A 1
페르마 포인트 1-삼각형 삼각형 위에 임의의 점 P를 그리고 꼭짓점과 연결한다. 삼각형APB와 APC를 각각 꼭짓점 B,C를 중심으로 회전이동 한다. 점 A’와 C, 점 A’’와 B를 연결한 후 교점을 찾는다.
페르마 포인트 2-사각형 사각형 내부에 임의의점 E,F를 만든다 삼각형 AEC,BFD를 각각 점 C,D를 중심으로 60도 회전이동 시킨다 점 A’와 점B’를 연결하고 이 선분과 선분 AE,BF와 만나는 점을 찾는다. B A 페르마 포인트 A’ E’ B’ F’ E F C D
페르마 포인트의 특징 평면도형에서는 꼭짓점 개수를 n개라고 하면 n-2개 생긴다. 페르마 포인트와 각 꼭짓점을 연결하면 각이 120도가 된다.
페르마 포인트의 예 바다 속 여러 곳에는 석유가 많이 나오는 유전들이 있다. 유전에서 생산된 석유를 한 곳으로 모으기 위해서 '석유 이동 통로'를 만들려고 한다. 돈을 절약하기 위해 통로의 길이를 가장 짧게 하려고 한다. 이때에도 페르마포인트가사용된다.
페르마포인트의 예 광섬유를 사용하여 세 도시간의 정보통신망을 구축할려고 한다. 연결하고자 하는 세 도시 사이의 연결망은 땅을 파서 케이블을 설치하는데, 여기에 드는 총 비용은 케이블 설치와 케이블을 놓게 될 땅을 파는 인건비에 따른 것이다. 이 비용을 최소화하기 위해 케이블을 설치할 때 그 길이를 가장 짧게 하려고 한다. 세 도시를 어떻게 연결하여야 하는가?