3 장 주파수 영역 해석: 이산 Fourier 급수 및 Fourier 변환

3.1 서 론 Fourier 급수와 변환 신호와 시스템의 주파수 영역 분석 Fourier 급수 : 연속 시간 주기 신호 대상 신호처리 분야를 포함한 많은 응용과학과 공학에 응용 신호와 시스템의 주파수 영역 분석 Fourier 급수 : 연속 시간 주기 신호 대상 Fourier 변환 : 연속 시간 비주기 신호 대상 이산 Fourier 변환 고속 Fourier 변환

Fourier 분석의 중요성 1) 사인파와 지수곡선 신호는 자주 사용되는 신호이며, 사인파나 지수 신호를 포함하지 않은 신호이더라도 그 주파수 성분을 통하여 분석할 수 있다. 2) 선형 시불변 시스템의 주파수 응답은 오직 입력 신호의 위상과 크기만을 바꿀 수 있으며 주파수를 바꿀 수는 없다. 그리고 그 출력 신호는 중첩에 의해 구할 수 있다. 3) 선형 시불변 시스템에 있어서 출력 신호의 스펙트럼은 입력신호의 스펙트럼과 시스템의 주파수 특성의 곱으로 나타나며, 이것은 일반적으로 시간 영역에서 컨벌루션을 계산하는 것보다 계산과 표현이 간단하다. 4) 디지털 신호처리 알고리즘과 시스템의 설계는 주파수 영역에서의 특성을 정의하는 것부터 시작하는 경우가 많다.

3.2 이산 Fourier 급수 주기 디지털 신호 대상 분석식 합성식 의 실수부와 허수부, 크기 및 위상 : k번째 스펙트럼 성분 또는 고조파 N : 한 주기 당 샘플 수 합성식 의 실수부와 허수부, 크기 및 위상

x[n]이 실수 함수일 때 계수들의 대칭성, 주기성 예 x[n]이 실수 함수일 때 계수들의 대칭성, 주기성 실수부 : 대칭  허수부 : 비대칭  : 0 주파수  허수부 = 0 80쪽 표

예제 3.1 주기 디지털 신호 : 그림 3.2

예 :

불연속점을 갖는 주기 신호의 스펙트럼 스펙트럼의 퍼짐 여러 주파수 성분간의 위상 관계 식별 어려움 그림 3.4

주기적 임펄스 열의 스펙트럼 모든 주파수 성분 포함 시스템 성능 분석에 이용 그림 3.5

신호의 시간 이동은 주파수 영역에서의 위상 변화에 대응 선형 위상 특성 위상이 주파수에 비례  위상의 기울기가 시간 이동에 비례 그림 3.6

파스발의 정리 신호의 전력 또는 에너지는 시간 영역에서나 주파수 영역에서나 동일하다. 예: 예제 3.1(p. 6)의 신호 예: 그림 3.5

3.2.2 이산 Fourier 급수의 특성 선형성 : 시간 이동 특성 : 이산 Fourier 급수와 관련된 신호의 시간 이동 순환적 또는 주기적 특성을 띰 : 주기 = N 샘플만큼 이동한 것은 샘플만큼 이동한 것과 동일 : 한 주기 이동 n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 모듈로-2 = (n)2 = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 … n 모듈로-4 = (n)4 = 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 ...

미분 특성 : 적분 특성 : 순환 또는 주기 컨벌루션 시간 영역에서의 컨벌루션은 주파수 영역에서 곱셈이 된다 변조 특성

3.3 비주기 디지털 신호의 Fourier 변환 신호의 주기 확장 (비주기 신호를 만들기 위한 과정) 예) 주기 N을 5에서 12로 만들기 위하여 사이에 0을 삽입 1/N 요소 때문에 는 감소하고 주파수 성분들은 점점 가까이 모인다. 그림 3.7

: 는 무한히 작아지나 는 유한한 값을 갖는다 비주기 신호 x[n]의 Fourier 변환 Fourier 역변환 (연속적인 주파수 변수) : 기본 주파수 (1차 고조파)

이산 시간 Fourier 변환쌍 분석식 합성식 디지털 스펙트럼은 언제나 반복한다 : 주기 =

예제 3.2 Fourier 변환 예 : (a) x[n] = 0.2{[n-2]+[n-1]+[n]+[n+1]+[n+2]} (b) x[n] = 0.5 [n] + 0. 25[n-1] + 1.25 [n-2] + …

풀이 (a) : 주파수 밀도 함수

풀이 (b)

단위 임펄스의 Fourier 변환 N=0에서 정의된 독립된 임펄스 지연된 단위 임펄스 백색 스펙트럼 그림 3.9

이산 Fourier 급수: 특성 표 3.1

이산 시간 Fourier 변환: 특성 표 3.2 위

이산 시간 Fourier 변환: 변환쌍 표 3.2 아래

3.3.2 선형 시불변 프로세서의 주파수 응답 주파수 응답 : 극좌표 형태 그림 3.10

주파수 응답 예1 : 그림 2.11의 5점 이동평균 필터 그림 3.8(a)의 스펙트럼과 동일 저대역 통과 특성 실수부만 존재하므로 위상이 0인 특성을 갖는다.

주파수 응답 예2 : 2장의 순환 필터 그림 3.8(b)의 스펙트럼과 동일 순환 프로세서이며 따라서 비선형 위상 특성을 갖는다.

선형 시불변 시스템의 주파수 응답 : 이산 방정식으로부터 구할 수 있음 i) ak=0, except k=0  a0y(n) ii) ak 모두가 0이 아닌 경우

대역 필터의 주파수 응답 그림 3.12

대역 저지 필터의 주파수 응답 그림 3.13