신기한 사이클로이드 발 표 자 : 6학년 심화반 2번 강승주 지도교사 : 김승진 선생님 발 표 자 : 6학년 심화반 2번 강승주 지도교사 : 김승진 선생님 [ 연구기간 : 2011. 6. 1 ~ 2011. 7.24 ]

차 례 1. 연구동기 2. 연구주제 3. 이론적 배경 4. 제작실험 5. 알게 된 점 6. 참고자료

1. 연구동기 동물 다큐멘터리를 보고 있는데 독수리의 사냥장면을 우연히 보게 되었다. 그때 독수리가 먹이 감을 향해 날아갈 때 가장 짧은 경로인 직 선 경로를 지나지 않고 곡선으로 휘어서 날아가는 것을 보고 궁 금증이 생겨 인터넷에서 찾아보다가 프로젝트 주제를 이것으로 정하게 되었다. 그래서, 직접 제작실험을 통하여 사이클로이드 원리를 이해하고 이 원리를 사용하는 이유와 실생활에서 쉽고 유익하게 사용할 수 있는 곳과 방법을 알아 보고자 한다.

2. 연구주제 사이클로이드란? 사이클롤이드 곡선의 원리와 성질을 알아 본다. 사이클로이드 곡선 만들기 실험을 직접 해 보고 실생활에서 활용되고 있는 사례를 알 아 본다.

3. 이론적 배경 사이클로이드란? 자전거 앞 바퀴에 껌을 붙인 후 평평한 지면에서 전진하면, 바퀴가 굴러 감에 따라 껌도 움직인다. 이때 껌의 움직임은 하나의 곡선을 그리게 된 다. 바퀴가 회전을 거듭할 때마다 곡선은 하나의 사이클을 이루며 반복하게 된다. 1599년 갈릴레이는 이 곡선을‘사이클로이드(cycloid)’라고 이름을 붙였다. 원의 반지름이 r일 때 사이클로이드 길이는 8r이 된다. 또한, 사이클로이드에 의해 둘러싸인 넓이는 원의 넓이의 3배가 된다.

3. 이론적 배경 사이클로이드의 전설 수학에서의‘불화의 사과’로 불리는 사이클로이드는‘파스칼’에 의하여 많은 성질들이 밝혀졌다. 그 중‘등시성’과‘최단강하성’이 사이클로이드의 대표적인 성질이다. 당시 수학자들은 힘과 운동을 수학적으로 설명하려는 시도를 많이 했기 때 문에, 신기한 성질을 지닌 사이클로이드는 수학자들의 관심의 대상이 되었 으며 그 시대에는 새로운 발견들에 대한 비난과 상대의 공적을 깎아 내리는 일들이 자주 생겼다. 그래서‘ 불화의 사과’라는 별명이 붙게 된 것이다.

3. 이론적 배경 사이클로이드의 원리 원이 굴러가는 운동은 회전과 병진운동 (직선운동) 이 합쳐진 운동이고, 회전은 특정한 각속도를 가지고 원의 중심이 회전하는 운동이다. 지표면에 수직인 평면 위에 존재하는 두 점이 있을 때, 이 중 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 물체가 하강할 때 중력가속도가 줄어드는 정도는 사이클로이드 곡선이 다른 직선이나 어떤 경로보다 작기 때문에 큰 가속도로 먼 거리를 감으로써 가장 빨리 하강할 수 있다.

4. 제작 실험 나의 가설 실험 1 실험 2 사이클로이드 곡선 위의 각각 높이가 다른 지점에서 골프공을 떨어뜨리면. 어느 곳의 골프공이 먼저 바닥에 도달할까? 낮은 지점의 쇠구슬이 바닥과 거리가 가깝기 때문에 빨리 도달할 것이다. 실험 2 각각 높이가 같은 사이클로이드 곡선과 직선에서 골프공을 떨어뜨리면 어느 경로의 골프공이 먼저 바닥에 도달할까? 직선이 곡선보다 바닥과 거리가 짧기 때문에 직선 경로에서의 쇠구슬이 바닥에 빨리 도달할 것이다.

4. 제작 실험 실험 방법 실험 1 실험 2 사이클로이드 곡선 위의 각각 다른 높이 지점에서 골프공을 떨어뜨린다. 어느 지점의 골프공이 바닥에 빨리 도달하는지 비교한다. 실험 2 높이가 같은 사이클로이드 곡선과 직선을 만든다. 각각의 곡선과 직선의 같은 높이에서 골프공을 떨어뜨린다. 곡선과 직선 경로 중 어느 곳의 골프공이 바닥에 빨리 도달하는지 비교한다.

4. 제작 실험 제작실험 설계도 [그림1] 실험 1 [그림2] 실험 2 [그림3] 위에서 본 모양

4. 제작 실험 준비물 (1) 마트지 2장(전지), 50Cm 자, 줄자, 각도기, 콤파스, 목공용 풀, 순간 접착제, 연필, 칼, 골프공 2개, 디지털카메라 (2) 지름이 34cm인 원 (3) 10.0×108cm 마트지 : 1개 – 사이클로이드 1차, 2차 경로 몸체 (4) 5.0×108cm 마트지 : 1개 – 직선 경로 몸체 (5) 15×50cm, 15×60cm, 15×70cm 마트지 : 각 1개- 받침대(기둥) (6) 1.0×108cm 마트지 - 10개 - 사이클로이드의 1차, 2차 및 직선 경로 골짜기

4. 제작 실험 만들기 사이클로이드와 직선경로 만들기 만들기 완성 기둥 세우기 (옆에서 본 모양) 사이클로이드 1차 사이클로이드 2차 직선 경로 (위에서 본 모양) 사이클로이드와 직선경로 만들기 기둥 세우기 만들기 완성

4. 제작 실험 실험 1 사이클로이드 곡선의 각각 다른 높이 지점에서 골프공을 떨어 뜨려 도달 시간을 서로 비교해 본다. 사이클로이드 경로 길이 : 108 Cm ▶골프공1 : 1차 경로(높은 지점) ▶골프공2 : 2차 경로(낮은 지점) 도달시간(초) ▶1차 : 0.38 ▶2차 : 0.36 ▶3차 : 0.39 (실험 1 동영상)

4. 제작 실험 실험 2 사이클로이드와 직선 경로의 같은 높이에서 골프공을 떨어뜨려 도달시간을 서로 비교해 본다. 사이클로이드 경로 길이 : 108 Cm 직선 경로 길이 : 108 Cm ▶골프공1 : 사이클로이드 경로 ▶골프공2 : 직선 경로 도달시간(초) ▶1차 : 사이클로이드(0.38), 직선(0.85) ▶2차 : 사이클로이드(0.37), 직선(0.86) ▶3차 : 사이클로이드(0.36), 직선(0.85) (실험 2 동영상)

5. 알게 된 점 실험 결과 사이클로이드 곡선 위에 놓인 물체는 높이에 관계없이 바닥에 동시에 떨어지게 된다. 이런 이유로 사이클로이드 곡선을‘등시곡선’이라고도 한다. 사이클로이드 곡선 위에서는 가속도에 의해 보다 빨리 속도가 증가 하 므로 사이클로이드 곡선은 직선보다 거리는 더 길지만 더 빠른 시간에 도착 하게 되는 것이다. 이런 이유로 사이클로이드 곡선을‘최단강하곡선’이라고 한다.

5. 알게 된 점 원리의 증명 지표면에 수직인 평면 위에 존재하는 두 점이 있을 때, 이 중 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 중력에 의해 이동할 때 가장 빠른 경로는 어떤 것일까요? 이 문제는 ‘뉴우튼’이 변분법(Calculus of Variations)을 이용하여 풀어냈습니다. 즉, 높은 쪽 A에서 낮은 쪽 B로 가는 경로 C가 있다고 가정할 경우, 이 경로를 따라 중력에 의해 이동할 경우, 그 이동시간은 고등학교, 대학교 과정의 수학에서 배우게 되는 미적분방정식과 변분법을 이용해야 구할 수 있다는 사실을 알았으며, 이는 매우 높은 수준의 수학이므로, 지금 저희 수준에서는 수학식으로 증명 할 수가 없었습니다. 결과적으로, 위의 수학공식을 활용해 보면 사이클로이드가 가장 빠른 경로라는 사실과 사이클로이드에서는 어느 지점이든지 이동시간이 같음이 증명됨을 알았습니다. 저는 이 실험을 통하여 사이클로이드의 ‘등시성’과 ‘최단강하성’의 원리를 증명할 수 있었습니다.

5. 알게 된 점 활용 사례 기와 지붕 우리나라의 기와의 우묵한 곡선 모양은 빗물이 기와에 머 무는 시간을 줄여 빨리 흘러가게 하여 빗물이 기와에 스며 들어 목조 건물이 썩는 것을 막기 위해서 형성됨. 독수리의 사냥 독수리나 매는 땅 위의 들쥐나 토끼를 잡을 때 빠르게 잡기 위해서 사이클로이드에 가깝게 곡선비행을 하며 목표물을 향함.

5. 알게 된 점 활용 사례 롤러코스터 미끄럼틀, 롤러코스터를 사이클로이드와 비슷한 모양으로 만들면 더 속도가 빨라 스릴을 높일 수 있다.

5. 알게 된 점 동물의 사례 새 새들도 몸체를 기준으로 날개 끝이 사이클로이드 형태의 타원궤적을 이루며 이로 인한 양력으로 전진한다. 물고기 물고기 비늘도 사이클로이드 곡선 모양을 하고 있어 보다 빨리 헤엄칠 수 있다. 실생활 이용 겨울철에는 폭설로 인하여 비닐하우스 지붕에 눈이 많이 내리면 눈의 무게를 이기지 못하여 비닐하우스 지붕이 자주 무너져 내린다. 이때 눈을 가장 잘 흘러 내리게 하려면 사이클로이드 모양의 지붕이 최선이다.

6. 참고 자료 국립과천과학관 홈페이지 (http://www.scientorium.go.kr) 이광연,「신화 속 수학이야기」, 경문사, 2004 블러그 ▷http://blog.naver.com/lovetaehong?Redirect =Log&l ogNo=130076197598 ▷http://diarix.tistory.com/247 네이버 지식인