보로노이 다이어그램 SIM (String art In Math) 조 팀원 : 문지윤, 염민아, 정유나, 정윤서, 하연주

목차 연구동기 및 목적 (탐구동기, 탐구내용) 연구방법 (탐구방법, 역할 분담, 탐구기간) 기존 연구사례 및 문헌 연구 결과 연구동기 및 목적 (탐구동기, 탐구내용) 연구방법 (탐구방법, 역할 분담, 탐구기간) 기존 연구사례 및 문헌 연구 결과 보로노이 다이어그램의 역사 2. 보로노이 다이어그램이란? 3. 보로노이 다이어그램 속 수학적 이론 4. 보로노이 다이어그램 그리기 5. 생활 속 보로노이 다이어그램 6.보로노이 다이어그램의 장점 단점 창의적 산출물 연구 결과 연구 결론 (1. 느낀 점 및 알게 된 점 2. 더 알고 싶은 점)

PART 1 . 탐구동기 및 목적

본적 있는 형태의 건물에 대한 내용에 수학이 있다고 해서 찾아봄 탐구동기 본적 있는 형태의 건물에 대한 내용에 수학이 있다고 해서 찾아봄 보로노이 다이어그램에 대한 흥미 및 궁금증 보로노이 다이어그램을 탐구 주제로 정하고 더 알아보기로 함

탐구문제 보로노이 다이어그램의 역사? 보로노이 다이어그램의 정의는? 보로노이 다이어그램 속의 수학은 ? 생활 속에 사용된 보로노이 다이어그램 보로노이 다이어그램이 사용된 창의적 산출물에 대한 구상

PART 2 . 탐구방법

1. 책과 인터넷에서 보로노이 다이어그램 관련 자료를 찾기 2. 찾은 자료로 보로노이 다이어그램에 대한 탐구 시작 탐구방법 1. 책과 인터넷에서 보로노이 다이어그램 관련 자료를 찾기 2. 찾은 자료로 보로노이 다이어그램에 대한 탐구 시작 3. 탐구한 내용을 바탕으로 창의적 산출물 제작 4. 조원끼리 의견을 주고받으며 토론으로 진행한다.

창의적 산출물 만들기 (보로노이 다이어그램 그리는 방법) 조원들의 역할분담 이 름 역 할 분 담 1. 문지윤 생활 속 보로노이 다이어그램 2. 염민아 조장, PPT만들기 보로노이 다이어그램의 정의, 역사 3. 정유나  보로노이 다이어그램 속의 수학 4. 정윤서 보로노이 다이어그램 속의 수학  생활 속 보로노이 다이어그램의 수학 5. 하연주 창의적 산출물 만들기 (보로노이 다이어그램 그리는 방법)

탐구기간 기 간 일 정 7. 28 ~ 8. 15 주제, 역할 정하기 8. 15 ~ 9. 01 보고서 작성 10. 10 ~ 10. 31 자료 조사 10. 31 ~ 11. 31  보고서 · ppt수정, 창의적산출물 만들기 11. 31 ~ 12. 11 보고서 · ppt완성,발표대본 작성 및 연습

PART 3. 기존 연구사례 및 문헌 연구 결과

보로노이 다이어그램이란? 공간에 여러 개의 점을 잡을 때 공간을 가장 가까운 점에 따라 나눈 그림 똑같지 않은 다각형으로 채워져 있지만 수학적인 원리로 평면을 분할하는 과정에서 나타나는 그림

보로노이 다이어그램의 역사 보로노이 다이어그램의 기록에 대해 조지 보로노이가 수학적 개념으로 정의함. 1644년 데카르트는 보로노이로 태양계 내의 행성들의 관계를 설명함. 1850년 데데킨트가 2차원, 3차원 보로노이 다이어그램을 언급함. 존 스노우는 콜레라 감염의 원인을 보로노이 다이어그램을 이용해 설명. 조지 보로노이가 정의 하기 전에도 보로노이 다이어그램을 사용했던 기록이 남아있다.

보로노이 다이어그램 명칭 보로노이 버텍스 (점과 점이 만나는 부분) 보로노이 폼 (선분전체) 보로노이 스페이스 보로노이 셀

쌍대관계 보로노이 다이어그램과 델로네 삼각분할 서로 이웃한 보로노이 셀의 점을 선분으로 연결하여 삼각형으로 분할한 결과=델로네 삼각형 쌍대관계 평면에 존재하는 점들의 집합으로 삼각형을 만드는 방법

보로노이 다이어그램과 유클리드 보로노이 다이어그램을 통해 우리는 공공기관의 관할 문제를 해결 할 수 있다. 유클리드 거리 두 점 A와 B사이의 거리는 두 점을 잇는 선분의 길이로 구하는 것

2차원 유클리드 거리 구하는 방법

유클리드 거리 공식 n 차원인 경우 2 차원인 경우 3 차원인 경우

공공기관 관할 속 보로노이 다이어그램 보로노이 다이어그램의 사용되는 특정한 점을 기준으로 가장 가까이에 성질  보로노이 다이어그램의 특정한 점을 기준으로 가장 가까이에 있는 점들로 공간을 나눈다 ⇒ 공공기관 - 국민들의 편의를 위해 접근하기 편하고 가깝도록 공공기관의 관할 구역을 나누어야 한다. ⇒ 분할 문제 – 공간을 효율적으로 나누는 문제 (지리학)

공공기관 관할 속 보로노이 다이어그램 공공기관이 점이 되도록 보로노이 다이어그램을 그리면 보로노이 다각형의 꼭짓점이 공공기관의 관할 구역이 된다.

문제점 발견!

보로노이 다이어그램은 기본이고 지역의 지형이나 인구밀도, 도로의 상황까지도 고려해야 한다. 공공기관 관할 속 보로노이 다이어그램 실제 지역에서는 유클리드 거리가 최선의 방법이 아닌 경우가 무척 많다. 출발점과 도착점 사이에 산이나 강이 있다거나, 도로가 없는 경우에 유클리드 거리는 가장 짧은 길이 아니다. 현실에서 적용할 수 있는 최선의 관할구역을 찾으려면 보로노이 다이어그램은 기본이고 지역의 지형이나 인구밀도, 도로의 상황까지도 고려해야 한다.

높은 이윤을 목적으로 한다. 그렇기 때문에 모든 사람이 아닌 주요 소비층만을 대상으로 위치를 정한다. 공공기관 관할 속 보로노이 다이어그램 패스트푸드점 편의점 커피숍 높은 이윤을 목적으로 한다. 그렇기 때문에 모든 사람이 아닌 주요 소비층만을 대상으로 위치를 정한다. 상점의 위치를 정하는 문제에는 보로노이 다이어그램을 적용하지 않는다.

건축 속의 보로노이 다이어그램 워터 큐브 (베이징 올림픽-수영) 고대 유물 느낌으로 구상한 초고층 빌딩 동대문 롯데 피트인 도시 설계안

동물 속의 보로노이 다이어그램 거북이 등껍질 무늬 잠자리 날개 기린 무늬

보로노이 다이어그램과 단백질 구조 세포나 분자를 이해하는 데 쓰인다. 또한, 단백질 구조를 정확하게 알 수 있다. ⇒1. 분자를 이루고 있는 원자의 중심에 점을 찍는다. 2. 보로노이 다이어그램을 그린다. 3. 분자의 구조를 계산할 수 있다. 미국 캘리포니아 백먼 연구소)보로노이 다이어그램을 이용해 식물의 세포단위 분석

같은 분자처럼 보이는 것도 거리와 위치를 파악해 서로 다른 분자로 구별이 가능해 졌다. 보로노이 다이어그램과 단백질 구조 분자를 이루고 있는 서로 다른 원자의 크기를 고려하는 것이 어려웠다. 과거) 2차원 보로노이 다이어그램을 이용 현재) 3차원 보로노이 다이어그램을 이용해 단백질 구조를 정확하게 구할 수 있다. 점을 선택해 그린 것이 평면적이기 때문에, 분자의 구조를 정확하게 알 수 없었다. 분자의 입체 모양을 정확하게 알 수 있다. 같은 분자처럼 보이는 것도 거리와 위치를 파악해 서로 다른 분자로 구별이 가능해 졌다.

보로노이 다이어그램과 로봇 경로 로봇 외에 GPS최단 경로 찾는 데에도 쓰인다. 로봇의 경로를 찾는 데 쓰인다. 로봇이 장애물을 만나면 피해가도록 동선을 짜는 것이 필요하다. 보로노이 다이어그램이 이 문제를 해결하는 데 핵심적인 역할을 한다.보로노이 다각형의 모서리가 분할 된 공간에서 최단 경로 역할을 한다는 점을 이용한 것이다. 로봇 외에 GPS최단 경로 찾는 데에도 쓰인다.

보로노이 다이어그램 효과 결론) 예술성과 경제성을 지니고 있다. 세포의 분열, 벌집과 같이 다양한 자연 구조와 닮아 예술 적 가치가 높음 자연의 패턴과 구조는 완전하며 아름다운 균형미를 갖고 있음 공간분할에 있어 최소를 이용해 최대한의 효과를 담고 있어 경제적임

PART 4 . 창의적 산출물

보로노이 다이어그램 그리는 방법 1 평면 위에 여러 개의 점을 찍는다.

가장 인접한 두개의 점을 선택해 수직이등분선을 그린다. 보로노이 다이어그램 그리는 방법 2 가장 인접한 두개의 점을 선택해 수직이등분선을 그린다.

여러 개의 다각형으로 분할된 그림이 보로노이 다이어그램이다. 보로노이 다이어그램 그리는 방법 3 여러 개의 다각형으로 분할된 그림이 보로노이 다이어그램이다. 이때 생기는 다각형은 보로노이 다각형이다.

창의적 산출물 직접 그린 보로노이 다이어그램

PART 5 . 탐구결과

탐구 결과 보로노이 다이어그램 정의 보로노이 다이어그램 속의 수학 생활 속 보로노이 다이어그램

보로노이 다이어그램의 정의 똑같이 않은 다각형으로 채워져 있지만 수학적인 원리로 평면을 분할한 그림 보로노이 다이어그램

보로노이 다이어그램 속의 수학 사용되는 수학 이론 델로네 삼각분할 유클리드 거리

생활 속의 보로노이 다이어그램 보로노이 다이어그램이 뭔지 알아? 아니, 그게 뭔데? 처음 들어보는 데… 그럼 기린 무늬나 잠자리 날개에 공통적으로 쓰인 건 뭔지 알겠어? 대충은 알듯한데… 설마 그게 보로노이 다이어그램이야? 완전 쉬운데?

수학 공학 생활 속의 보로노이 다이어그램 보로노이 다이어그램에 대해 아는 사람은 많이 없다. 하지만 보로노이 다이어그램이 생활 속에 사용되는 예를 알려주면 대부분 안다고 한다. 그만큼 생활 속에서 많이 사용된다.(공학으로 확대) 수학 공학

PART 6 . 탐구결론

느낀 점, 알게 된 점 문지윤 : 처음에 보로노이 다이어그램을 보고 이게 왜 수학이랑 관련이 있는 건지 의문이 들었었는데 조사하다 보니 유클리드 거리등 많은 수학적 원리가 포함되어 있다는 것을 알게 되었다. 염민아 :보로노이 다이어그램에 대해 파고 들면 들수록 흥미진진한 내용들이 많았을 뿐더러 우리 주위를 둘러싸고 있는 모든 것들에 다 있는 듯 했습니다. 정유나 : 보로노이 다이어그램이 뭔지도 잘 몰랐는데 알고보니 우리 실생활에서도 자주 볼 수 있다는 점이 신기했다. 정윤서 : 보로노이 다이어그램이 있는 지도 몰랐는데 신기해서 다른 것들도 찾아보고 싶다는 생각이 들었습니다. 하연주 : 보로노이 다이어그램이 실생활속에서도 많이 이용된다는 것이 신기했고, 보로노이 다이어그램을 연구하는 과정이 재미있었다.

더 알고 싶은 점 문지윤 : 동물에게도 보로노이 다이어그램을 볼 수 있다고 했는데 거북이 등껍질 무늬나 잠자리날개 기린의 무늬말고 다른 동물들에게서도 볼 수 있는지 궁금합니다. 염민아 : 공공기관 분할에서 보로노이 다이어그램으로 정확하게 다 설명이 불가능하다고 했는데 정확한 방법을 알고 싶습니다. 정유나 : 보로노이 다이어그램의 문제점에 대해 좀 더 자세히 알아보고 싶습니다. 정윤서 :건축물에서 보로노이 다이어그램을 어떻게 작도하는 지 알고 싶습니다. 하연주 : 보로노이 다이어그램을 사용하면 무슨 장점이 있고, 또 단점이 있는지 알고 싶습니다.

참고문헌 네이버 블로그, 네이버 백과사전 네이버 캐스트 수학

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