원뿔곡선(아폴로니우스) 단면의 평면과 밑면이 이루는 각이 모선과 밑면이 이루는 각보다 작으면, 단면에 타원이 나타나고, 같다면 단면에 포물선이, 크다면 단면에 쌍곡선이 나타난다고 생각 각각 타원(ellipse) 포물선(para bola) 쌍곡선(hyperbola)이라는 이름을 붙였다. 타원(원 포함), 포물선, 쌍곡선은 한 평면에 의한 원뿔의 단면으로 나타나므로, 이들을 흔히 원뿔곡선이라 부른다.

헬레니즘 시대의 삼대 고전적 업적 아폴로니우스(Apollonios; 262-200? B.C.)의 ‘원뿔곡선론‘ 유클리드의 공리론 아르키메데스의 구적법

그리스인의 우주관 그리스인들은 우주를 전지전능한 자가 만들어낸 것이라 믿었으며, 완전하기 때문에 천체는 둥글고, 고귀하기 때문에 지구는 중심을 차지하며, 조화되어 있기 때문에 운동은 등속(等速)이라고 전제했다. 이것을 대표하는 학설이 150년경 그리스의 K.프톨레마이오스에 의해 제안되었던 천동설이다.

케플러 1. 행성은 태양이 하나의 초점이 되는 타원을 궤도로 회전한다. 2. 같은 시간 동안에 행성과 태양을 연결하는 선분이 만드는 부분의 넓이는 서로 같다. 3. 행성의 한 주기의 제곱은 궤도의 장축 반의 세제곱에 비례한다.

케플러의 타원궤도 케플러 이전에는 지동설의 주장자들도 행성의 궤도가 원이라고 믿고 있었다. 이전의 사람들처럼 천문학을 기하학으로만 생각하면, 원 이외의 궤도나 속도가 변하는 운동을 생각하기는 불가능한 것이었다. 케플러는 천문학을 물리학으로 파악하고, 천체의 운동을 역학으로 설명하려고 시도한 최초의 인물이었다.

케플러의 영향 케플러의 법칙들을 계산하는 과정 사용된 독창적인 방법은 카발리에리에게 영향을 주어 불가분량을 사용하는 카발리에리의 원리를 완성하게 한다. 케플러의 이 법칙들을 수학적으로 증명하는 과정에서 뉴턴은 만유인력을 완성한다.

초점 원뿔곡선의 초점이라는 말은 케플러(Kepler)가 그 광학적 성질 때문에 붙인 이름이다. 초점이라 할 때의 초의 한자 뜻은 '구을 초'로 렌즈로 태양 광선을 모아 불을 붙이는 것을 생각하면, 쉽게 이해할 수 있다.

아인슈타인 케플러의 경이적인 공적은, 지식이 경험으로부터 태어나는 것이 아니라, 다만 지성이 발견해 낸 바를, 관찰된 사실과 비교하는 것에서만 얻어진다는 진리의, 각별히 아름다운 예증인 것이다.

원뿔곡선의 응용 포물면의 초점이 있는 쪽을 거울로 해두고, 여기에 축에 평행인 광선을 비추면 포물형의 거울에 부딪쳐서 반사된 빛은 모두 초점 F에 모인다. 전파도 빛과 같은 방식으로 반사되기 때문에 멀리서부터 오는 전파에 이 포물형 거울을 대면, 그들 전파는 모두 점 F로 모이게 된다. 이것이 바로 파라볼라 안테나의 원리이다.

초점의 위치에다 광원을 두면, 초점으로부터 나온 빛은 모두 포물형 거울에 부딪쳐서 평행으로 반사되어 간다 초점의 위치에다 광원을 두면, 초점으로부터 나온 빛은 모두 포물형 거울에 부딪쳐서 평행으로 반사되어 간다. 자동차의 헤드라이트는 이것의 훌륭한 예이다. 원자물리학에서는 수소원자의 전자의 궤도가 타원임이 밝혀졌다.

원뿔곡선의 영향 17세기 프랑스 출신의 수학자인 페르마는 아폴로니우스의 원뿔곡선론을 자세히 연구하는 과정에서 점의 좌표라는 개념을 확립했다. 오늘날의 해석기하학의 기초를 확립하는 한 축을 형성한다.

테카르트(Rene Descarte, 1596-1650) 수학은 추론의 확실한 출발점을 갖고 있다. 데카르트는 철학에서도 사유의 확실한 출발점을 찾고자 했다. 철학적 방법을 수학의 방법에서 나타나는 직관적-연역적 추론이라고 주장하였듯이, 수학적 방법에 의하여 근대 철학의 기초를 닦으려 했던 사람이다.

데카르트와 수학 데카르트는 물질의 기본적이고 확실한 성질들은 형태, 크기, 공간과 시간에 따른 운동이며, 이들 성질 모두는 수학적으로 기술할 수 있다고 생각했다. 모든 물리적 현상은 힘을 받은 분자들의 역학적 운동의 결과이며, 힘은 불변인 어떤 수학적 법칙을 만족한다고 데카르트는 주장했다. 그는 물리적 세계를 기술하는 것은 수학으로 충분하다고 주장했고, 실제로 수학만을 사용했다.

해석기하학 평면기하의 경우로 줄여서 생각하면, 실수의 순서쌍과 평면의 점 사이의 대응을 성립시키는 것이다. 하나의 점이 평면 위에서 움직이고 있다고 가정하자. 이 점이 움직이면서 그리는 곡선 위의 모든 점의 좌표(x, y)에서, x와 y 사이의 관계는 하나의 방정식 f(x, y) = 0으로 표시된다.

해석기하학의 영향 도형에 관한 기하학적 정리를 연구하기 위하여 대수학을 사용할 수 있으며, 역으로 방정식이 주어지면 그들의 대수적, 해석적 성질을 기하학적으로 해석하는 것을 가능하게 하는 것이 해석기하학이다 해석기하학은 뉴우턴이 만유인력의 법칙을 완성하는 도구로 사용된다.

갈릴레이 1 수학은 명백히 자명한 진리인 공리로부터 시작한다. 모든 과학 분야에서도 공리 또는 원리로부터 출발해서 연역적 추론인 결과를 얻어야 한다는 것이 갈릴레이의 주장. 자연의 지식을 수학적인 법칙으로 서술하려는 갈릴레이의 시도는 과학적인 방법론에 대하여 커다란 영향을 미쳤고, 뉴턴에게 직접적인 영향을 준다.

갈릴레이 2 힘을 받지 않는 물체는 등속운동을 하며 물체를 가속시키기 위해서는 반드시 힘이 작용해야 한다는 사실을 밝혔다. 자유낙하 실험을 통해 물체의 낙하 속도는 일정한 비율로 계속해서 증가한다는 것을 보인 이후로 변화율은 물리학에서 중요하게 다루어진다.

갈릴레이, 케플러 , 뉴턴 지상의 운동에 대한 갈릴레이의 법칙과 천체 운동에 대한 케플러의 법칙사이에 어떤 관계가 있을까? 관성법칙에 따르면 달이 지구를 중심으로 원운동을 하기 위해서는 지구와 달 사이에 인력이 작용해야 한다는 사실을 뉴턴은 알아냈다. 그는 곧 이 힘이 지구상의 물체에 작용하는 힘과 같을 수 있다는 생각에 도달했고 모든 물체 사이에는 접촉에 의한 힘이 아닌 만유인력이 작용한다고 가정했다.

뉴턴 뉴턴의 두 번째 운동법칙 운동량의 변화율은 그 물체에 가해진 힘에 비례하고 그 가해진 힘의 방향으로 일어난다. 여기서 운동의 변화율을 파악하기 위해서는 뉴턴은 속도를 명확히 규정해야할 필요가 있음을 느꼈다.

뉴턴 1 “ 만일 내가 다른 사람들보다 조금이라도 멀리 내다볼 수 있었다고 한다면, 그것은 내가 거인들의 어깨 위에 서 있었기 때문이다” (데카르트, 케플러, 갈릴레이)

미분 곡선을 한 점의 연속적인 운동에 의해서 생성되는 자취로 생각한 뉴턴은 변하는 양을 유량(fluent)이라고 불렀으며, 그것의 변화 비율을 그 유량의 유율(fluxion)이라고 불렀다. 라이프니츠는 곡선의 접선 또는 극대, 극소를 알아보는 수단으로 미분법을 발견하였다. 기호상의 문제와 사용의 편리성에서 라이프니츠의 방법은 상당히 뛰어났으며, 오늘날 쓰이는 방법도 대부분 라이프니츠의 방식을 사용하고 있다.

미분학의 영향 1 수학을 종래의 정적이고, 고정된 것, 그리고 유한한 것에서, 변화하고 움직이는 것과 무한한 것으로 관심의 대상을 바꾸게 하였다. 굽은 호의 길이, 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이, 모든 종류의 입체 도형의 겉넓이와 부피, 난해한 최대 최소문제와 관련된 모든 종류의 문제를 풀 수 있게 한다. 접선, 법선, 곡률 등에 관한 기하학적인 문제뿐만 아니라, 속도, 가속도, 에너지, 무게중심, 중력, 관성 등에 대한 물리적인 문제들도 효과적으로 처리할 수 있다

미분학의 영향 2 경제학, 사회과학, 생물학이나 고고학에서도 미적분은 유용하게 사용된다. 흔한 예로, 생물체가 갖고 있는 방사성 동위원소가 시간이 지나면서 붕괴되는 비율을 미적분을 이용해 계산하면 화석의 연대를 알 수 있다. 컴퓨터 단층촬영기(CT, Computed Tomography)는 인체를 횡단하는 하나의 평면에 대하여 여러 각도에서 X선을 투과시킨 뒤, 그 결과를 컴퓨터를 이용하여 재구성한 사진으로 나타낸다. 이 장비는 인체를 투과한 X선이 어느 부위에서 얼마만큼 흡수됐는지를 연립방정식으로 계산하여 영상화하는 방법을 사용한다. 이 방법은 20세기초 수학자인 라돈(Radon)의 적분에 관련된 연구결과를 응용한 성과이다.

뉴턴 2 “나는 내가 세상 사람들에게 어떻게 비쳐질지 잘 알지 못한다. 그러나 나에게는 나 자신이 오직 해변가에서 놀고 있는 조그마한 어린이로 보일 뿐이다. 아직도 발견되지 않은 큰 대양이 내 앞에 있는데, 매끄러운 조약돌이나 더 예쁜 조개 껍질을 찾고서 좋아하는 어린애와 같이 보일 뿐이다.”