제3장 Nash Bargaining Solution 3.2 Nash Bargaining Solution with Fixed Threat 3.3 Nash Bargaining Solution with Variable Threat 3.4 Nash’s Bargaining Solution for Non-transferable Utility Game

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat Intel은 컴퓨터 제작사에 90만원에 chip을 팔 수 있고, MS는 10만원에 운영체제를 팔 수 있다고 가정함. 둘은 같이 공조하면, 그들의 hardware와 software의 호환성을 향상시켜, 성능과 안전성이 다른 컴퓨터들에 비해 뛰어난 컴퓨터를 생산해 300만원에 팔 수 있다고 가정함. 즉, 같이 공조하면, 200만원을 추가로 벌 수 있음. 문제는 이 잉여, 200만원을 어떻게 나눌까 하는 것임. Intel은 자신의 chip없이는 MS의 운영체제는 종이조각에 적힌 기호들 뿐이며, CD에 담긴 磁氣(magnetic)신호일 뿐이라고 주장함. 따라서, 자신들이 300만원 중 290만원을 가져야 한다고 주장함.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat MS는 자신들의 운영체제 없이 Intel의 chip은 금속과 모래(硅素; 실리콘)조각일 뿐이므로, 자신들이 200만원을 모두 가져 210만을 벌어야 하고, MS는 90만원만 가져가야 한다고 주장함. 한가지 방법은, 개당 잉여를 반씩 나누어 가지는 것임. 즉, 100만원(총 190만원)은 Intel이, 100만원(총 110만원)은 MS가 가져가는 것임. 하지만, 제품가격에 대한 기여도를 감안해, Intel은 잉여 200만원을 90:10으로 나눠야 한다고 주장할 수 있음. 즉, 180만원(총 270만원)은 Intel이 20만원(총 30만원)은 MS가 가져야 한다고 주장할 수 있음.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat 최종 중재안은 중재인의 hardware 와 software의 상대적 가치에 의하여 결정될 것임. 예를 들어, 중재인이 hardware 가 4, software가 1 (4:1)만큼 중요하다고 판단한다면 어떻게 잉여를 나누어야 할까? Intel이 총 x 원 만큼 받고, MS가 총 y 원 만큼 받는다면, 각 순이익은, Intel이 (x – 90)만원, MS가 (y – 10)이 됨. 중재인의 중재안은 Intel이 MS의 4배를 받아야 하는 것이므로, 다음 식이 성립하게 나누어야 함. [4:1=(x-90):(y-10)] x – 90 = 4*(y – 10) 또는 x = 4*y + 50.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat 그런데 컴퓨터 가격은 300만원이므로, x + y = 300 또는 x = 300 – y. 그러므로, x = 4*y + 50 = 300 – y  5y = 250  y=50, x=250. 따라서, Intel은 250 – 90 = 160만원의 이익, MS는 50 – 10 = 40만원의 이익을 보게 됨. 즉, 잉여를 4:1로 나누게 됨. 이를 어떤 변수 및 계수가 어떻게 영향을 주는지 분석하기 위해 일반화 하면 다음과 같음.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat v 라는 총잉여를 A와 B가 나누려고 함. 둘이 협정을 맺지 못하면, A는 a, B는 b를 가져감. 이 a와 b를 BATNAs(Best Alternative to a Negotiated Agreement; Harvard Negotiation Project; Reference Point)라고 부름. 많은 경우에 있어 BATNA는 0 임. 또한 다음 식이 성립하여야 함. a + b < v 또는 순잉여는 0보다 커야함(순잉여=v - a - b > 0). 즉, 협정을 맺어 실행하면 지금 두 사람이 만들어낼 수 있는 것보다 더 많은 효용(v)을 만들 수 있음. A는 잉여의 h, B는 잉여의 k 의 비율로 순잉여를 분할한다고 가정함. 그러면, h + k = 1.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat A가 최종적으로 가져가는 액수를 x, B가 최종적으로 가져가는 액수를 y 라고하면, 순잉여(=v – a – b)분할공식은, x = a + h(v – a – b)  x – a = h(v – a – b) y = b + k(v – a – b)  y – b = k(v – a – b)  (1) (1)

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat 제약은, x + y = v. (2) 즉, 두 사람에게 분배된 효용은 v이다. 식 (1)과 식(2)를 모두 만족하는 점이 내쉬의 공조적 게임의 해 임. 그림으로 그리면 다음과 같음.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat 내쉬의 공조적 교섭해. 제약식? (click) BATNA?(click) 잉여분할공식? (click) 제약식과 분할공식을 모두 만족하는 내쉬의 해는? (click) y 기울기 및 절편은 k/h에 의해 정해짐. 내쉬해! v y  Q P b x + y = v ; 기울기 = -1. why? Fixed Threat Point v a x x

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat 이전 그림에서 잉여분할공식의 기울기, k/h는 무엇을 나타낼까? 각각의 상대적 교섭력! 만일, 교섭결과(x, y)를 알고 있으면? 위의 공식을 이용하여 거꾸로 교섭력(k/h)을 계산해 낼 수 있음. 즉, 아래식에서 x, y, a, b를 모두 알고 있으면, k/h를 알 수 있음. 또한 k + h = 1 이므로, k와 h값을 계산할 수 있음.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat 즉, 교섭력은 BATNA와 최종 분배액의 함수임. 예를 들어, 이전 예에서, x=250, y=50, a=90, b=10이면, 그러므로 h=0.8, k=0.2 임. 이를 상대적 교섭력이라하며, 정치경제학에서와 같이 부의 분배가 집단의 정치력에 의하여 결정된다는 가정하에서는, 정치력(political power)라고도 부름.

3.2 Nash’s Cooperative Solution with Fixed Threat 보다 일반화된 내쉬의 원래 논문은 다음과 같은 그림을 가정하고 있음. 하지만, 결론은 같음. y 어떻게 이 기울기(h와 k의 값)를 구할까? Shapley Value모형으로! Threat Point, No trade point, Reference point, BATNA, Status Quo; 협정이 이루어 않았을 경우 도달 하는 점. Q P c = h log(x-a) + k log(y-b): 사회적 복지함수 b y=f(x) : 제약식 a x