2.1 Shapley Value의 의의 2.2 Shapley Value의 계산 응용1 2.3 Shapley Vale의 응용2

안양천 물순환 건전화 비용분담 모형 안양천은 13개 지자체가 관련되어 있음. 다자가 참여하는 공조체제에 있어서 비용분담은 여러 가지 방법에 의하여 이루어 질 수 있음.(전 예에서는 보상/편익을 어떻게 나누는가 고려했음) 발생 편익 비중별(수혜자부담원칙), 발생 비용 비중별(오염자부담원칙: Polluters-Pay) 등. 최근 비협조적 게임이론을 이용한 발생 편익 추정 (김종원 등, 2005). 협조체제하의 편익도 추정. 일반적으로 협조체제하의 편익이 비협조체제하의 편익보다 큶.

재원조달 기본원칙 수익자 부담, 원인자(오염자) 부담, 공동 부담 등. 재원조달 기본원칙 수익자 부담, 원인자(오염자) 부담, 공동 부담 등. 수익자 부담원칙(새로운 편익발생 시 적절) 이나 원인자 부담원칙(누가 환경오염 유발했는지 발견하기 어려운 경우가 많음, 특히 비점오염원(non-point pollution)의 경우)은 수행하기에 어려운 점이 많음. 유역전체적인 수질관리를 위해서는 유역전체를 고려하여 하수종말처리장의 설치, 회귀수 방류지점 등을 종합적으로 고려한 수질정책을 수립하고 재원을 개별 지방자치단체에게 분담시켜야 함 (p57, 김종원, 2005)

Joint Objective Function을 이용한 협조체제하의 편익(김종원 외, 2005) 김종원 외(2005)는 단순히 각 지자체의 편익을 합산하여 총편익을 극대화하는 조건을 제시. 내쉬의 교섭모형(Nash Bargaining Model)을 시도한 듯 하나, 위협점(Threat point) 등에 대한 언급 등이 없으므로 불완전하게 구성된 것으로 판단됨. 또한 이러한 비용분담의 형평성 또는 실현가능성은 언급하지 못하는 단점. 따라서 공조체제하에서 각 지자체들의 교섭력(Bargaining Power)를 고려한 분담체계의 설계가 중요함.

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 국내에서는 Song et al(2001), Song and Nagaki(2007), Song(2007), Song et al (2010)에서 황사 및 월경성오염물질에 의한 비용저감을 위한 비용분담체계에 대한 연구가 이루어져 있음. Shapley Value는 각 가능한 공조체제(coalition)에 있어서 각 참여자의 한계가치(marginal worth)를 가중평균한 값으로 나타남.

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (예 계속) *수계(水系, watershed) 와 행정구역(강 등으로 구분)이 다름.

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (예 계속) 13개 지자체로 하면 너무 복잡. 따라서 수계별로 4개 지자체 그룹으로 묶음. U(up stream) UM(upper-middle stream) M(middle stream) D(down stream)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (예 계속) 가능한 공조체제(coalitions): {U}, {UM}, {M}, {D}: 독자적으로 사업시행 {U,UM}, {U,M}, {U,D}, {UM,M}, {UM, D}, {M,D}: 두 개 지자체만 참가 {U, UM, M}, {U, UM, D},{UM, M, D}, {U,M,D} : 세 개 지자체 참가. {U,UM,M,D}: 4개 지자체 모두 참가 총 15개 가능한 사업추진 방법(15개 공조체제)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계(예) 각자 시행시 소요 비용을 개념적으로 나타내면 다음과 같음. 상위가 개선되면 하위는 자동으로 개선되는 것으로 가정 *UM 지자체들은 자신들 유역의 수질을 개선하기 위해서 U의 유역도 개선하여야 하므로 더 많은 비용 소요  따라서 하류로 갈 수록 더 많은 비용 Up Stream 을 개선:1백억원 Upper-Middle Stream 을 개선:3백억원 Middle Stream 을 개선: 4백억원 Down Stream 을 개선: 6백억원 * UM과 M을 동시에 만족하는 사업시행시는6백억원이 든다고 가정

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계속) 특성함수(Characteristic function): 각 시나리오별 비용발생액을 나타내는 함수, v(·)로 나타냄. 그림에서와 같이 특성함수를 가정 v({U})=1, v({UM})=3, v({M})=4, v({D})=6. 이는 다음과 같이 해석될 수 있음. U 혼자서 사업을 할 경우 비용은 1백억원, UM 혼자서는 3백억원, M 혼자서 할 경우는 4백억원, D 혼자서는 6백억원이 소요됨. 만일 UM과 M을 모두 만족시키려면 6백억원 소요. 문제는 상류 지자체(예: U)의 경우 비용이 적게 들어도 개선할 유인이 적어 참가하지 않을 가능성이 높다는 것임

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계속) 두 지자체가 공조하는 경우. v{U,UM}=3, v{U,M}=4, v{U,D}=6, v{UM,M}=6, v{UM, D}=6, v{M,D}=6: U와 UM이 같이하는 경우는 3백억원, U와 M이 하는 경우는 4백억원, U와 D가 하는 경우는 6백억원, UM과 M이 하는 경우는 6백억원, UM과 D가 하는 경우는 6백억원, M과 D가 하는 경우는 6백억원이 소요됨. 공조시와 비공조시 비용 비교: v({U})=1, v({UM})=3, v({M})=4, v({D})=6 이므로, v{U,UM}=3 < v({U})+ v({UM})=1+3=4. 즉, 공조하면 각기 시행했을 때 보다 비용이 1 만큼 적게 든다. (편익이 아니라 비용이므로 초가산성의 부등호가 반대 방향)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계속) 3개 지자체가 공조하는 경우. v{U, UM, M}=6, v{U, UM, D}=6, v{UM, M, D}=6, v{U,M,D}=6 U와 UM, M이 같이하는 경우는 6백억원, U와 UM, D가 하는 경우는 6백억원, UM과 M, D가 하는 경우는 6백억원, U와 M, D가 하는 경우는 6백억원 (D가 포함되면 무조건 6백억원 소요) 4개 지자체가 공조: v {U, UM, M, D}=6

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계속) i 의 한계기여(marginal worth of i)를 어떻게 계산? v{K}-v{K/i}로 계산 가능함. 즉, v{K}는 i 가 공조에 참여한 K라는 공조체제가 가동시 소요되는 비용. v{K/i}는 i 가 공조에서 빠질 때 소요되는 비용. 따라서 두 특성함수의 차이가 바로 공조시 i 의 공조에 대한 기여 임. 예) 공조체제 {U, UM, D}에서 UM의 한계기여는 v{U, UM, D} - v({U,D})= 6 – 6 = 0. 즉, UM이 참가하더라도, D가 이미 참가하고 있으므로 추가적으로 발생하는 비용은 없음.

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계속) v({U})=1, v({UM})=3, v({M})=4, v({D})=6. (4개 1인 공조) V{U,UM}=3, v{U,M}=4, v{U,D}=6, v{UM,M}=6, v{UM, D}=6, v{M,D}=6. (6개 2인 공조) v{U, UM, M}=6, v{U, UM, D}=6, v{UM, M, D}=6, v{U,M,D}=6 (4개 3인 공조) v {U, UM, M, D}=6 (1개 4인 공조) 정리하면 다음 표와 같음. 사업주체/범위 사업 조합(가능한 공조 체제) Shapley Value |K|=1 4개 1인공조 중 1개, 1인 공조에서 비중 1.  가중치=1/4*1= ¼ |K|=2 6개 2인공조 중 1개, 2인 공조에서 비중 1/2.  가중치 = 1/6*1/2=1/12 |K|=3 4개 3인공조 중 1개, 3인 공조에서 비중 1/3.  가중치 =1/4*1/3=1/12 |K|=4 1개 4인공조 중 1개, 4인 공조에서 비중 1/4.  가중치 =1*1/4=1/4 U v{U}-v{} =1-0=1 v{U,UM}-v{UM}=3-3=0 v{U,M}-v{M}=4-4=0 v{U,D}-v{D}=6-6=0 v{U,UM,M}-v{UM,M}=6-6=0 v{U,UM,D}-v{UM,D}=6-6=0 v{U,M,D}-v{M,D}=6-6=0 v{U,UM,M,D}-v{UM,M,D} =6-6=0 =1/4*1+1/12*0+1/12*0+1/4*0=0.25 UM v{UM}-v{} = 4-0=3 v{U,UM}-v{U}=3-1=2 v{UM,M}-v{M}=6-4=2 v{UM,D}-v{D}= 6-6=0 v{UM,U,M}-v{U,M}=6-4=2 v{UM,U,D}-v{U,D}=6-6=0 v{UM,M,D}-v{M,D}=6-6=0 v{U,UM,M,D}-v{U,M,D} =3*1/4+4*1/12+2*1/12+0*1/4=1.25 M v{M}-v{}= 4-0=4 v{M,U}-v{U}=4-1=3 v{M,UM}-v{UM}=6-3=3 v{M,D}-v{D}=6-6=0 v{M,U,UM}-v{U,UM}=6-3=3 v{M,U,D}-v{U,D}=6-6=0 v{M,UM,D}-v{UM,D}=6-6=0 v{U,UM,M,D}-v{U,UM,D} =4*1/4+6*1/12+3*1/12+0*1/4=1.75 D v{D}-v{}= 6-0=6 v{D,U}-v{U}=6-1=5 v{D,UM}-v{UM}=6-3=3 v{D,M}-v{M}=6-4=2 v{D,U,UM}-v{U,UM}=6-3=3 v{D,U,M}-v{U,M}=6-4=2 v{D,UM,M}-v{UM,M}=6-6=0 v{U,UM,M,D}-v{U,UM,M} =6*1/4+10*1/12+5*1/12+0*1/4=2.75 가중치 3인 게임과 상이함

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계속) 즉, 각 지자체의 교섭력을 고려하면, 보다 상류에 있는 U와 M은 더 적게, 하류에 있는 UM과 D는 더 많이 부담하는 것이 공평함. 사업주체 독립적으로 중복 시행 시 비용 독자 시행시 비용 발생비율로 분담액 결정하여 시행시 비용 Shapley Value로 분담액 결정하여 시행시 비용 U 1 6*1/14=0.43 0.25 (-18억원) UM 3 6*3/14=1.29 1.25 (-4억원) M 4 6*4/14=1.71 1.75 (+4억원) D 6 6*6/14=2.57 2.75 (+18억원) 합계 14