VaR의 개요와 측정 200712332 정현철 200812356 정원상 200712355 한승엽 200812390 추미래 200712332 정현철 200812356 정원상 200712355 한승엽 200812390 추미래 200814034 황소소 200814032 푸허쉬 200913555 진대위

목 차 7장 VaR의 개요 1 8장 VaR측정의 기초 2

7장 VaR개요 1. VAR의 등장 1)IMF외환 위기를 겪으면서 우리 경제와 금융관행의 문제점을 제시함 금융기관과 기업의 ‘위험관리능력결핍’ 2)BIS 기준을 수용하기로 함 그러나 BIS기준의 준수는 소극적 위험관리에 불과 3)VaR(Value-at-Risk)의 등장 VaR분석기법은 금융기관들이 상품거래에 수반되는 위험을 적극적이고 효율적으로 관리하기 위해 도입

7장 VaR개요 그림 7-1

7장 VaR개요 1-1. 국내외 금융환경 변화와 VaR 1-2. 새로운 위험측정 방식의 필요성 국내외 금융환경의 변화에 따라 경쟁을 통한 효율성을 추구하는 과정에서 고위험-고수익의 투자가 불가피하므로 위험을 제대로 관리하기 위한VaR의 도입은 불가피함. 1-2. 새로운 위험측정 방식의 필요성 증권화와 탈은행화 금융자산의 유동성과 가격변동성을 증대시켜 발생주의 회계에 기초한 위험관리방식이 한계에 봉착하게 됨. 실용성의 증가 기존의 표준편차나 베타를 이용한 위험관리보다 더 큰 실용성을 지닌다. 일정 신뢰수준내의 최대손실가능액이라는 보다 실용적인 개념으로 해석

7장 VaR개요 2.VAR의 의미와 유용성 2-1 VaR의 위험관리방식 2-2 VAR의 활용도 1단계: 포트폴리오에 속한 모든 포지션을 시가로 평가하는 작업 2단계: 기초적 시장가격의 미래 변동성을 추정하여 해당 포지션의 미래가치 변동을 추정한다음, 이를 합하여 포트폴리오 가치의 미래 변동을 추정 3단계: 최적 포트폴리오 구성에 들어감 2-2 VAR의 활용도 자원배분기능 정보보고 성과평가기능

7장 VaR개요 3. VaR와 RiskMetrics, RAROC 2020의 비교 3-1 RiskMetrics 개별 포지션을 기초 금융상품들에 mapping하는 방법 알려준다. 둘째. 수많은 금융상품들간에 일관적으로 추정된 변동성과 상관관계 데이터, 단기거래위험, 중기투자위험, 보고를 위한 데이터제공 셋째. 방법론과 데이터를 사용하여 실제 위험관리에 사용할 수 있는 위험관리시스템 제공

7장 VaR개요 3-2 RAROC 2020 ■종합수익관리시스템 각종위험도를 측정하여 이를 기준으로 위험과 수익의 적절한 배분전략 모색을 통해 위험을 관리할 수 있다. RAROC의 도입이유 1)주주 부의 극대화 등 경영성과향상에 대한 주주들의 요구 2) 개별 사업단위(또는 이익중심점)들로 이루어진 금융회사그룹 성장 때문

7장 VaR개요 예) 1)자본할당액=투자자산규모X위험도 위험도= 2.33X주중변동폭(%)X √52X(1-세율) 2)위험조정자본수익률=수익/자본할당액 -VaR는 위험조정자본과 이어진다. Ex) 주식100억 주중변동폭 3% 100억X2.33X.0.03 X√52=50억4천만원 -주식과 회사채에 투자한 금액과 얻은 수익은 각각 1억원과 1천만원으로 동일하지만 위험조정자본수익률은 50%와 125%로 큰차이를 보임. =위험도의 차이

7장 VaR개요 4.VaR의 한계 1. 과거 자료 사용에 따른 문제 2. 모형위험의 문제 3. 만능도구가 아닌 VaR -미래 돌발사태 예측 불가능 -VaR계산에 반영되지 않은 시장상황에 따라 예상치 않게 변화 가능 -자주 거래되지 않는 금융상품의 경우에 충분한 과거 자료를 얻기 어렵다 2. 모형위험의 문제 -모기초적 시장가격의 확률과정에 대한 잘못된 설정, 기초적 시장 가격과 포지션 가치간 함수관게의 그릇된 설정으로 인한 VaR의 왜곡 추정 -자의적인 모형선택 3. 만능도구가 아닌 VaR -짧은 기간 동안 전 거래를 일일 정산하는 것으로 인한 많은 불필요한 변동성 창출 -예금 대출부분의 금리위험 신용위험등은 아직 VaR를 통해 측정할 수 없다. -재무위험외 많은 다른 원인들

Log 8장. Var측정의 기초 1. Var측정을 위해 필요한 기초이론 x e 1-1 위험과 수익 위험: 평균을 중심으로 한 분산 또는 표준편차 수익률: 산술계산 방식과 기하계산 방식으로 측정 Log e x 산술계산 기하계산 8장에서는 바측정에 필요한 기초이론으로 위험과 수익의 측정 방법과 기초적 통계이론에 대해 알아보겠습니다. 재무학에서는 위험은 다들 아시다시피 분산과 표준편차로 측정합니다. 수익률은 산술계산방식과 기하계산방식 2가지 방법으로 구할수 있습니다. 기하계산에서 “In”마크는 자연로그를 뜻합니다. 즉 밑변을 자연대수 e를 가지는 로그를 뜻합니다. 통상적으로 재무학에서는 기하계산방식이 사용됩니다. 8

8장. Var측정의 기초 Log e xy = x + y 재무학 에서는 기하계산방식의 사용을 권장 첫째, 시장가격이 음이 되는 경우를 배제하기 위함 두 번째, 다기간(multi-period)으로 쉽게 확장 가능 하다는 점 Log e xy = x y + 그 이유는 첫번째 시장가격이 음이 되는 경우를 배제하기 위해서입니다. 수익률을 음의 무한대라고 가정할 때 산술계산 수식에서는 자산의 시장가격이 음수가 나오게 됩니다. 실제로 자산가격이 음수가 나올 수 없기에 옳지 않습니다. 반면에 기하계산 수식에서는 지수인 Pt-1분의 pt가 0보다 크기때문에 시장가격이 음수가 나올 수 없음을 알 수 있습니다 두번째로 기하계산방식이 선호되는 이유는 여러 기간으로 쉽게 확장이 가능하다는 점입니다. 수식에서 보듯이 기간 T까지의 기간은 p1분의 p2 부터 시작해서 pt-1분의 pt까지의 곱으로 표현할수 있습니다. 옆에 보듯이 로그 e의 xy는 로그 e의 x 더하기 로그 e의 y로 분해할 수 있습니다. 똑같이 기간 수식을 분해할 수 있고 이를 통해 기간 1부터 기간 T가지의 기간 전체의 수익률은 개별기간의 수익률의 합과 같다는 것을 알 수 있습니다.

8장. Var측정의 기초 1-2 기초 통계이론 재무학에서 수익률분포에 대한 가정으로 가장 널리 사용되는 분포는 정규분포 재무학에서는 수익률분포에 대한 가정 중 가장 대표적인 것이 정규분포입니다. 정규분포는 평균과 편차로 분포의 성질을 표현할수있다는 간편성과 위의 그림에서 보시다시피 표본수를 늘이면 분포가 점점 정규분포에 수렴한다는 중심극한정리에 의한 대표성 이 두 가지 성질때문에 널리 사용되고 있습니 다들 통계학 수업을 들어서 아시겠지만 수익률분포로 구할 신뢰구간은 “ 주어진 신뢰수준에서 참값을 내포할 것으로 추정되는 구간”라고 정의됩니다. 그림 8-1을 보시면 수익률 분포에서 68.2%의 신뢰수준에는 -1에서 1까지의 신뢰구간을 갖고 97.7%의 신뢰수준에서는 -2부터 2까지의 신뢰구간을 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 신뢰수준이 크면 신뢰구간이 커지고 작으면 신뢰구간은 작아집니다. 그런데 보통 신뢰구간은 평균을 기점으로 왼쪽과 오른쪽 양쪽에 끝점을 가지고 있지만 Var에서는 가치의 상승을 구하는게 아니라 최대손실예상금액 즉, 절사율,하락의 끝점을 구합니다. 그림 8-2에서 보시다싶이 절사율이 -1.65%이고 신뢰구간은 -1.65% 이상 전체이며 오른쪽 끝점은 없는 것을 알수 있습니다. 그림 8-3에서는 신뢰수준에 따른 신뢰구간의 변화를 볼 수 있습니다. 신뢰수준이 높을 수록 신뢰구간이 커지고 이는 손실예상금액 즉 var역시 커지게 됩니다. 예를 들어 10,000원의 포트폴리오가 평균이 8%이고 표준편차가 1%일때 90%신뢰수준에서는 var는 128원의 손해를 입지만 99%의 신뢰수준에서는 233원의 손해를 입습니다. 앞서 말한 내용은 수익률 분포가 정규분포라는 가정 하에서 이야기 했지만 실제로는 정규분포가 아닌 분포가 있을 수 있습니다. 이 경우는 신뢰구간을 추정해야하는데 이는 9장 완전가치평가법에서 다루게 됩니다. VaR = 투자금액 x 신뢰수준 x 변동성(표준편차)

정상적인 시장 여건하에서 주어진 신뢰수준(95%,99%)에서 일정기간 동안에 발생 가능한 최대의 손실예상액 8장. Var측정의 기초 2. VaR의 정의 VaR(Value at Risk) 정상적인 시장 여건하에서 주어진 신뢰수준(95%,99%)에서 일정기간 동안에 발생 가능한 최대의 손실예상액 다음으로 Var의 정의에 대해 알아보겠습니다.

8장. Var측정의 기초 T시점에서의 포트폴리오의 가치 ⊿S를 포트폴리오의 가치변동이라 할 때 이 값 v를 신뢰수준 100×(1-a)%에서의 VaR라고 정의 예) 포트폴리오의 VaR가 1일 동안 신뢰수준 95%에서 10억원, -향후 1일 동안 10억원보다 적게 손실을 보게 될 확률 95% 이상의 손실을 보게 될 확률이 5% 위의 식은 T시점에서의 포트폴리올 가치를 나타내고 있습니다. 별로 중요하지 않다고 생각하는데 간단히 식에서 sjt는 투자 단위 그 뒤에 것들은 자산 1단위의 시장가치를 뜻합니다. 포트폴리오가 주식으로 이루어져 있을경우 sjt는 몇주의 주식을 샀는가를 뒤에 것들은 1주당 주가를 뜻합니다. 즉, 즉 각 자산의 합이 포트폴리오의 가치와 같다는 것을 표현한 식입니다. 밑의 식은 var의 정의를 수식으로 나타난것입니다. 포트폴리오의 가치변동인 델타 s가 –v보다 클 확률이 1-a라고 할 때 v 값을 신뢰수준 100x(1-a)%에서의 var라고 합니다. 이를 예로 들어보면 어떤 포트폴리오의 var가 1일동안 신뢰수준 95%에서 10억원 이라고 할 때 향후 1일 동안 10억보다 적게 손실을 보게 될 확률이 95%이고 이상의 손실을 보게 될 확률이 5%라는 뜻입ㄴ다.

8장. Var측정의 기초 2-1 신뢰수준과 목표보유기간의 선택 <기간별 VaR를 계산하는 방법> 신뢰수준 (confidence level): 실제 거래에서 발생하는 손실이 VaR를 넘지 않을 확률 목표보유기간: 설정도 뚜렷한 규정은 없으나 포지션을 청산하는 데 소요되는 최장시간으로 설정하는 것이다 좋다. 목표보유기간은 포트폴리오의 성격과 VaR의 사용목적에 따라 설정 금융기관 입장: 이상적인 보유기간은 포트폴리오 청산에 필요한 기간 감독기관입장: 감독비용과 문제의 조기발견 이점간의 상반관계를 적절히 비교하여 목표보유기간을 선택 <기간별 VaR를 계산하는 방법> 1.관측시점을 2주일 단위로 데이터가 겹치지 않도록 하고 2주일 누적수익률을 사용 2. 일단 일별 수익률을 사용하여 일별 VaR를 계산한 뒤 2주일 VaR로 변환시키는 방법 2의 가정:수익률에 시계열 상관이 없어야 한다 수익률의 분포가 시간흐름에 무관하게 동일해야 한다 아까전에 var가 특정 신뢰수준에서 일정 보유기간 동안에 발생가능한 최대 손실예상액이라고 말씀드렸습니다. 다음으로 신뢰수준과 목표보유기간의 선택에 대해 알아보겠습니다. 신뢰수준과 목표보유기간의 선택은 정해진 것이 아니라 위험관리목적에 따라 달라짐. 신뢰수준 정의 : 실제 거래에서 발생하는 손실이 var를 넘지 않을 확률 예) 95%,97%,99% 신뢰수준은 클수록 var가 커지며 안정성이 좋아짐 반대로 작으면 var를 초과하여 손실이 날 확률이 증가됨 이렇기에 금융기관은 신뢰수준을 낮게 유지하려 하는데 이는 위험에 대비한 자기자본을 적게 갖고 수익을 극대화하기 위함임. 반대로 감독기관은 신뢰수준을 높게 유지해서 자기자본을 많이 갖게하여 안정성을 극대화하려함. 목표보유기간 정의 : 위험을 측정할 일정 기간 금융기관은 현재부터 보유하고 있는 자산의 처분일까지의 기간을 설정 감독기관은 금융기관의 문제를 조기발견하기 위하여 목표보유기간을 짧게할 수 있다. 기간별 Var 측정 방법1 방법2

8장. Var측정의 기초 2-2 과거 자료의 기간 1)짧은 기간의 과거 데이터를 이용해 VaR를 추정 Ex) 일별 VaR에서 2주일 VaR를 계산하는 식 T:목표보유기간 여기서는 14일 2-2 과거 자료의 기간 1)짧은 기간의 과거 데이터를 이용해 VaR를 추정 계산상 용이하긴 하지만 VaR값의 정확도가 떨어짐 2)과거까지 소급하여 자료를 사용할 경우 통계적인 안정성은 높아지나,최근 변화를 상대적으로 과소평가하게 되어 비현실적인 VaR가 계산될 우려 조건을 수식으로 나타내면 전기 수익률과 당기 수익률의 공분산이 0 즉 독립적이어야 한다. 전기 수익률과 당기 수익률의 평균과 분산이 같아야 한다. 이 두가지 조건을 만족시키면 일별 var를 기간별 var로 바꿀수 있습니다. 옆에 식은 일별 바를 기간별 바로ㅗ 바꾸는 식입니다. 기간별 바는 일별 바 곱하기 루트 기간 t 로 구할 수 있는ㄷ요 예를 들어 2주면 일별 바 곱하기 루트 14 3주면 일별 바 곱하기 루트 21로 구할 수 있습니다. 바를 구하기 위해서 과거 자료를 사용하는데요 과거자료가 짧은 기간의 자료를 이용할 경우 Ppt

8장. Var측정의 기초 3. 포지션의 분해와 현금흐름대응 VaR 계산을 위해선 VaR의 계산 포트폴리오가치의 확률분포가 필요 평가대상이 되는 자산의 거래는 흔치 않고 유사한 자산에 대한 시장은 형성되어 있는 경우 현실적으로 평가대상이 되는 포지션의 시장가격을 도출하기가 어려운 경우 자산의 성격이 특정상대방과의 계약이어서 시장가격 자체가 형성되지 않는 경우 다음으로 포지션의 분해와 현금흐름대응에 대해 알아보겠습니다. 포트폴리오의 VAR을 계산하기 위해서는 개별 포지션의 시장가격을 도출할 수 있어야하는데 이를 도출하기 힘든 경우가 있습니다. ppt

8장. Var측정의 기초 포지션의 시장가격 도출이 어려운 경우 실제현금흐름 5 5 5 105 만기 1년 2년 3년 4년 2.5 1년 2년 3년 4년 2.5 2.5 2.5 2.5 52.5 52.5 현금흐름 첫번째 동일하진 않지만 유사한 자산의 거래가 있는경우 현금흐름대응을 통해 자산가격을 구할수 있습니다. 예를 들어 액면가 100억원 5% 확정금리 3년 반 잔존만기의 채권이 있다고 할 때 실제 현금흐름은 그림과 같습니다. 시장에는 1년 2년 3년 등 정수로 떨어지는 만기 밖에 없다면 현금흐름을 아래와 같이 나누어서 6개월짜리 5억짜리 채권 2.5억 1년 채권 5억 2년 채권 3년 55억 채권 4년 52.5억 채권의 가격을 합한 가격이 액면가 100억원의 채권의 가격과 같게됩니다. 대응된 현금흐름 3 6 9 12개월 2년 3년 4년 5 2.5 5 55 52.5

8장. Var측정의 기초 시장가격이 형성되지 않는 경우 스왑이나 복잡한 파생금융상품의 매매 같은 부외거래가 대표적 => 대개의 경우 가격결정모형을 통해 이론적 가격 도출 특수한 경우 다른 유형의 자산들과 현금흐름을 대응 시켜 시장가치 도출가능 포지션의 시장가격도출이 어려운 2번째는 시장가격 자체가 형성되지 않을 경우입니다. PPT

8장. Var측정의 기초 시장가격이 형성되지 않는 경우 : 예 구조의 복잡성으로 인해 공정한 시장가격 형성될 만큼 유동성 보장 어려움 => 분해해서 시장가치 및 위험도를 구할 수 있다 달러로 조달하여 1%의 확정금리, S&P 500 지수의 수익률로 구성된 이자 및 원금을 엔화로 지불하는 조건의 PEN 교재에는 PEN을 에로 들고 있습니다. 펜을 분해해보면 확정이자와 S&p에 연동하는 이자,원금으로 구분할 수 있습니다.

엔화로 1%의 확정이자를 지급해야 하므로 채권의 현금흐름에 대해 8장. Var측정의 기초 시장가격이 형성되지 않는 경우 : 예 엔화로 1%의 확정이자를 지급해야 하므로 채권의 현금흐름에 대해 엔화채권의 현재가격을 사용할 수 있도록 대응시킨다. 추가적 자금부담 없이 S&P 지수의 수익률을 얻으려면 실행가격이 현재의 S&P 500 지수인 콜 옵션을 사면 되므로 S&P 500 지수에 대한 콜 옵션을 대응시킨다. PEN을 통한 자금조달과 S&P운용을 통한 운용수익이 달러로 얻어짐 원리금의 지급은 엔화로 이루어지므로 통화스왑이 필요 PEN 자체의 시장가격이 형성되어있지 않더라도 현금흐름대응에 의하여 엔화표시채권, 콜옵션, 통화스왑의 현재가치를 합산해 구할 수 있다. 여기서 PEN의 변동성은 이들 세 자산의 변동성의 합으로 볼 수 있다. 확정이자는 앞서 사용한 현금흐름 대응으로 엔화채권의 현재가격을 사용하고 S&p 연동 이자는 콜옵션의 가격을 사용, 달러/엔 스왑의 가격 이 세가지를 합하면 Pen의 가격을 구할 수 있습니다.

현실적으로 존재하는 위험관리 대상은 포트폴리오 8장. Var측정의 기초 4. 포트폴리오의 VaR 현실적으로 존재하는 위험관리 대상은 포트폴리오 첫 단계 포트폴리오를 각 구성 포지션 별로 나누어 위험을 분석 두 번째 단계 포트폴리오 위험을 개별 포지션 위험과 포지션들간 상관관계를 고려하여 평가 보통 Var의 측정대상은 개별 자산보다는 포트폴리오를 측정함 포트폴리오 위험 측정 개별 구성자산의 위험을 측정 개별자산들간의 상관관계를 고려하여 전체 포트폴리오 위험 측정

선도금리(forward rates)의 활용 유동성선호설(liquidity preference hypothesis) 8장. Var측정의 기초 4-1 채권의 VaR 미래 금리변화 채권(대표적 고정수익증권) - 발행 이후 시장에서 결정되는 할인율 or 유통수익률이 채권의 시장가치를 결정 ->> 포트폴리오 구성항목으로 채권을 보유할 경우 채권의 시장위험은 사실상 금리위험으로 귀착된다. 따라서, 채권의 위험이 미래 금리변화로부터 나온다면 미래 금리에 대한 분석은 채권위험분석의 핵심사항이 된다. 금리 예측 이론 선도금리(forward rates)의 활용 -기대가설이 옳다는 가정하에 이루어진다 개별 자산 중에서 채권이나 파생금융상품은 var측정이 복잡. 채권의 var의 측정방법 채권의 가격은 미래 현금흐름을 할인율로 할인한 금액 금리가 상승하면 가격 하락, 하락하면 상승. 즉, 금리 변화가 채권의 위험임. 이러한 금리변화를 예측하는데는 대표적으로 2가지 이론이 있다. 하나는 선도금리의 활용 둘은 유동성선호설 유동성선호설(liquidity preference hypothesis) 선도금리는 미래 금리의 예측치가 아니다 위험프리미엄도 고려해야 한다

8장. Var측정의 기초 듀레이션과 VaR 미래 금리변화 분석 후 채권가격에 미치는 영향에 대한 분석이 필요 일반적으로 긴 만기의 채권이 금리변화에 더 민감한 가격변동 채권만기는 불완전한 위험측정도구 (원금의 상환시점만을 고려, 이 표의 지급 무시) 듀레이션이 더 나은 채권 위험측정방법(이 표 지급까지 고려한 ‘유효만기’의 개념) - 대부분의 경우에서 채권 듀레이션, 채권운용목표기간이 일치하지 않는다 - 듀레이션은 채권가격변화와 시장금리변화간 선형관계를 나타내는 지표로 채권위험관리에 중요한 역할을 하게 된다. 앞서 alm에서 배웠듯이 듀레이션으로 금리변동에 따른 채권가격의 민감도를 알 수 있습니다. 따라서 채권의 Var를 구할 때는 듀레이션이 유용한 도구가 될 수 잇습니다.

8장. Var측정의 기초 듀레이션과 VaR VaR 값은 : 1억 달러 X 0.017 = $ 1,700,000 1억 달러를 5년 만기 국채에 투자하는데 과거 월별 채권투자의 보유기간 수익률(holiding-period return) 분포를 분석한 결과 95% 신뢰수준에서 분포의 왼쪽 끝값에 해당하는 절사율(cut-off rate)이 -1.7%였다. VaR 값은 : 1억 달러 X 0.017 = $ 1,700,000 이 채권의 듀레이션이 4.5년 이고 95% 신뢰수준에서 채권 유통 수익률의 한 달 최대 상승률이 0.38%라고 하면 이 채권투자에서 나타나는 최대 손실은 : 1억 달러 X 4.5 X 0.0038 = 170만 달러가 된다 예를 들어 듀레이션과 채권의 VaR가 연결되는 것은 채권의 보유기간수익률이 듀레이션 X 유통수익률 로 나타내지기 때문이다.

8장. Var측정의 기초 듀레이션은 채권위험측정에 유용하지만 분명한 한계를 가진다 추정오차 발생 듀레이션은 금리의 변화에 따른 자산과 부채의 가격변동을 접선식 에 의해 구하기 때문에 금리의 변화폭이 커질 수록 오차가 커진다. 듀레이션 모형은 근사치를 제공할 뿐이며 수익률에 큰 변화가 있을 경우엔 볼록성(convexity)을 추가로 고려해야 한다

듀레이션은 금리변화가 미세할 경우 1차 근사로서 유용할 뿐이다 8장. Var측정의 기초 볼록성과 VaR 듀레이션은 금리변화가 미세할 경우 1차 근사로서 유용할 뿐이다 금리변화가 큰 경우에 듀레이션으로 나타난 값은 실제 채권가격과 차이가 커지게 되므로 볼록성(convexity)을 추가로 고려해 정확한 VaR을 구할 수 있다. 채권가격 150 16 듀레이션+볼록성 추정치 실제가격 듀레이션 추정치 수익률(%, 연간)

8장. Var측정의 기초 4-2 파생금융상품의 VaR 옵션은 금리, 환율 등 기초적 시장가격과 비선형 관계 기초적 시장가격연동 옵션은 기초적 시장가격과 비선형 관계 다소 복잡한 분석단계 필요 기초적 시장가격 변동성과 선형관계를 나타내는 상관도를 곱하여 계산 그럼 파생금융상품의 바에 대해서 발표 이어가도록 하겠습니다. 파생상품의 바를 구하는 것은 크게 두 부분으로 나눌 수가 있습니다. 보시다시피 금리, 환율 등 기초적 시장가격연동에 선형관계를 형성하고 있는 선물과 스왑의 바를 구하는 부분과 기초적 시장가격에 비선형 관계를 보이고 있는 옵션의 바를 구하는 방법입니다. 선형관계를 갖고 있는 선물과 스왑의 바는 기초적 시장가격의 변동성과 상관도를 곱하여 계산하구요 옵션의 바 계산은 이보다 더 복잡하기 때문에 뒷부분에서 다시 한번 설명 드리도록 하겠습니다. 선물, 스왑은 기초적 시장가격과 선형관계

t 시점에서의 선물(도)계약의 가치(ƒt ) 8장. Var측정의 기초 보유비용모형(Cost of carry) 선물(도)거래의 가격산정을 위해 주로 사용되는 모형 Ft exp(－ rτ) = St exp(－yτ) Ft : t시점의 선물(도)가격 St : t시점의 기초자산 가격 r : 무위험 금리 y : 기초자산의 수익률(배당 등) τ : 만기 K를 인도가격이라 하면 ƒ= St exp(－ yτ) － K exp(－ rτ) 그럼 우선 선물의 바를 구하는 방법부터 자세히 살펴보도록 하겠습니다. 선물의 바를 구하기 위해서는 우선 그림에 보시는 보유비용모형을 확인해보아야 하는데요 그림처럼 K를 인도가격이라 하면 이와 같은 식을 구할 수가 있습니다. t 시점에서의 선물(도)계약의 가치(ƒt )

8장. Var측정의 기초 선물(도)계약의 위험은 노출된 각 위험요인, 즉, 기초자산 현물 가격, 무위험금리, 자산수익률을 각각 전미분하여 얻어짐 dƒ = δƒ δS dS + δr dr+ δy dy = exp(－ yτ)dS+ Kexp(－ rτ) τdr － St exp(－ yτ) τdy VaR를 계산하기 위한 두 가지 구성성분을 확인가능 기초자산가격(S), 무위험금리(r), 기초자산의 배당수익률(y)등 시장위험요인들의 변동 시장위험요인이 선물(도)가격 변동에 미치는 영향 : δ(델타) 앞서 그 구한식을 각 위험요인인 기초자산 현물가격과 무위험금리, 자산수익률에 각각 전미분 하면 아래와 같은 식이 나오는데요 여기서 VaR를 계산하기 위한 두 가지 구성 요소를 확인 할 수가 있습니다. 첫째는 바로 앞에서 식의 “재료”가 되었던 시장위험요인들의 변동이구요 둘째는 선형관계를 나타내는 “델타”값입니다. 델타는 시장위험요인이 선물가격의 변동에 미치는 영향, 즉 상관도를 나타냅니다. 이 식을 통해 시장위험요인의 분산을 알 수 있구요 다시 이것을 이용해 선물계약의 VaR를 구할 수 있게 됩니다. 따라서, 시장위험요인들의 분산을 알면 쉽게 선물(도)계약 가치(dƒ)의 분산 계산가능. dƒ의 분산을 알면 곧바로 선물(도) 계약의 VaR를 구할 수 있다.

8장. Var측정의 기초 -스왑의 VaR 스왑 계약 가격 산정 지급과 수취, 두 현금흐름의 현재가격의 차 스왑계약의 위험은 스왑이 여러 선도계약의 연결이라는 점 이용 다음은 스왑입니다. 스왑은 크게 통화스왑과 금리스왑으로 나눠지는데요 이런 스왑계약의 가격산정을 구하는 방법을 살펴보면 크게 두 가지로 나눠볼 수 있습니다. 첫번째는 스왑계약이 현금을 한편에서는 지급을 하고 한편에서는 수취를 한다는 점을 이용하여 이 두 현금흐름의 차이로 구하는 것이구요 두번째는 스왑이 사실상 여러 개의 선도계약의 연결이라는 점을 이용하여 하는 것입니다. 스왑계약의 위험은 선도계약의 위험과 유사한 형태를 띠게 됨

8장. Var측정의 기초 통화 스왑 금리 스왑 V=SP* － P dV= δV δS dS+ δr δ V δr* dr* =P*dS+S(－ D*D*)dr*+DPdr V = BF － Bf dV = δP dr = － DPdr 통화 스왑 금리 스왑 V : 스왑가격 S : 환율 P, P* : 서로 다른 통화로 표시된 채권 가격 r, r* : 각각 국내외 금리 D, D* : 각각 채권의 듀레이션 BF , Bf : 각각 고정금리 및 변동금리 채권가격 ※ 변동금리 채권가격은 금리변화에 영향을 받지 않으므로 금리스왑의 가격변동은 오직 고정금리 채권의 가격변화에서 유발 통화스왑과 금리스왑은 그림과 같은 식으로 도출이 시장가격과 위험을 나타낼 수가 있습니다. 식을 확인해보면 금리스왑에서는 변동금리 채권가격은 금리변화에 영향을 받지 않기때문에 오직 고정금리 채권의 가격변화가 금리 스왑의 가격변동을 유발하게 되는 것을 볼수가 있구요 그 외에 통화스왑의 가격변동은 환율변동과 국내외 금리변동에 선형적으로 연결되어 있다는 점, 금리스왑의 경우 앞분께서 설명한 채권위험의 경우와 흡사하다는 것을 확인할 수가 있습니다. 즉 스왑의 가격변동 이것 역시 선물계약에서와 마찬가지로 시장가격변동과 델타값, 즉 상관도의 곱으로 얻어지는 것입니다. 스왑의 가격변동은 시장요인 변동과 스왑가격변동과의 상관도(델타)에 시장요인 변동을 곱하여 얻어짐

옵션 가격산정공식(Black- Scholes 모형) 8장. Var측정의 기초 -옵션의 VaR 옵션은 매입자 입장에서 유리할 때만 행사되기 때문에 비선형적 수익구조를 갖고 있어 VaR측정이 어려운 편에 속함 C = ƒ(S, X, r, t, σ) = S × CSN(dl) －X ×e-rt ×CSN(d2) 여기서 d1= 1n( ) － ( r+ ) × t S X σ2 2 σ d2= d1 － σ 옵션 가격산정공식(Black- Scholes 모형) C : 콜옵션 프리미엄 S : 기초자산 가격 CSN : 누적표준정규분포 X : 옵션행사가격 r : 금리 t : 만기 σ2 : 기초자산 수익률의 변동성 그럼 여기까지 선형관계를 갖던 선물과 스왑의 VaR계산에 대해 살펴보았구요 다음으로 옵션의 VaR에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 옵션의 VaR는 앞서 말씀드린바와 같이 시장가격변동에 비선형적인 모습을 보이고 있습니다. 그 이유는 옵션은 매입자 입장에서 유리할 때만 행사되기 때문인데요 특히 만기 이전에 행사가 자유로운 아메리칸 옵션의 경우는 더욱 더 복잡해진다고 합니다. 때문에 교재와 이번 발표에서는 만기일에만 행사가 가능한 유럽형 옵션만을 다루도록 하겠습니다. 옵션의 가격산정공식은 많이 알려진 그림의 블랙 숄즈 모형을 사용합니다. 이 모형은 콜옵션 프리미엄, 기초자산 가격, 누적표준정규분포, 옵션행사가격, 금리, 만기, 기초자산 수익률의 변동성 등으로 구성되는데요

각 위험요소들이 옵션가격에 미치는 영향에 대해서 붙는 각 명칭들 8장. Var측정의 기초 옵션가치변동은 앞의 식을 각 위험요소에 대해 전미분한 다음 식으로 나타냄 dC = δƒ δS dS + δ2ƒ δS2 dS2+ δσ dσ+ δr dr+ δt dt 1 2 각 위험요소들이 옵션가격에 미치는 영향에 대해서 붙는 각 명칭들 δƒ δS δ2ƒ δS2 δσ δr δt 기초자산이 옵션가격에 미치는 선형적 영향, 델타(δ) 2차 곡률적 영향은 감마(Γ) 수익률의 변동성이 미치는 영향, 베가(κ) 금리가 미치는 영향, 로(ρ) 만기까지 시간이 미치는 영향, 세타(Θ) 옵션가치 변동을 앞의 각 위험요소에 대해 전미분한 다음 식으로 나타내면 다음과 같습니다. 이 식의 각 요소마다 명칭들이 따로 붙어있는데요 그림에서 보시는 바와 같이 첫번째는 델타, 두번째는 감마, 세번째는 베가, 네번째는 로, 다섯번째는 세타 라고 합니다.

8장. Var측정의 기초 기초자산의 가격 옵션의 가치 실제가격 델타+감마 dC = δƒ δS dS + δ2ƒ δS2 dS2+ 그림 8-7 옵션의 가치 : 선형근사치와 참값의 비교 기초자산의 가격 옵션의 가치 델타 추정치 실제가격 델타+감마 이 중 중요한 부분이 오른쪽 두번째 항인 이 부분인데요 이는 콜옵션가격을 기초자산가격에 대해 2차 편미분한 것으로 채권의 볼록성과 마찬가지로 정확한 옵션의 가격변화를 근사하기 위해 따로 조정한 항목입니다. dC = δƒ δS dS + δ2ƒ δS2 dS2+ δσ dσ+ δr dr+ δt dt 1 2 오른쪽 두번째 항은 콜옵션 가격을 기초자산가격에 대해 2차 편미분한 것. 이는 옵션가격이 비선형 움직임을 보이기 때문에 채권의 볼록성과 마찬가지로 보다 정확한 가격변화를 근사하기 위해 조정한 항목

8장. Var측정의 기초 옵션의 VaR계산에는 2차곡률까지를 포함한 ‘델타-감마 근사법’을 사용 위험요소들 중 비선형성 문제를 야기하는 것은 기초자산가격(S)뿐이므로 편의상 다른 요소들의 변화 없이 기초자산가격의 변화만 있다 가정하고 양변에 분산을 취함 V(dC) = δ2V(dS)+( ) 2V(dS2)+2(δ Γ) Cov(dS,dS2) Γ 2 1 기초자산가격변화(dS)가 정규분포를 한다고 가정하면 다음과 같이 간단화 옵션의 VaR가 기초자산가격에 대해 선형관계를 갖지 않음을 확인 가능. 선형관계가 되기 위해선 Γ가 0이어야 하나 실제 옵션에선 0값을 갖지 않음. 또한 실제옵션 수익률의 분포가 없기에 근사식에 불과. V(dC)= δ2V(dS)+ { ΓV(dS)}2 1 2 그럼 옵션의 가치변동 다음으로 본격적으로 옵션의 VaR를 계산해 보도록 하겠습니다. 옵션의 VaR는 비선형함수이기 때문에 앞서 언급한 델타만으로는 구할 수가 없습니다. 때문에 2차곡률까지를 포함한 델타-감마 근사법을 사용하게 되는데요 이로 인해 선물이나 스왑에 비해 다소 복잡한 계산을 통해 VaR가 산정됩니다. 그리고 이번 발표에서는 위험요소들 중 비선형성 문제를 야기하는 요소는 기초자산 가격뿐이기때문에 기초자산가격의 변화만 있다 가정하고 양변에 분산을 취하여 분석해보도록 하였습니다. 양번에 분산을 취하면 맨 위 그림과 같은 식이 나오구요 그것을 다시 기초자산가격변화가 정규분포를 취한다 가정하면 아래와 같이 거기에 다시 시그마의 표준편차를 고려하면 맨 아래와 같이 최종적으로 옵션의 VaR가 구해지게 됩니다. 이 식에서 감마가 실제옵션에서는 0의 값을 갖을수가 없기때문에 옵션의 VaR가 선형관계를 갖지 않는 것을 확인할수가 있는데 여기서 유의할 점은 위 식은 기초자산가격변동과 옵션가격변동간의 관계식을 이용한 근사식에 불과하기 때문에 실제에선 정확한 실제옵션수익률의 분포가 있어야 한다는 점입니다. dS S σ가 의 표준편차이므로 옵션의 VaR는 최종적으로 다음과 같이 계산됨

8장. Var측정의 기초 포트폴리오의 VaR (1) 분산에 따른 위험감소효과 포트폴리오의 수익률(Rp)이 하나의 숫자로 나타내는 것 포트폴리오의 수익률(Rp)이 개별 포지션 수익률(Ri)의 선형결합이며, N개의 개별 포지션의 투자가중치(wi)는 처음 투자금액에 의해 결정된다고 하면 다음 식을 사용 가능 Rp 의 평균과 분산 ※ μi , σ2i, σij 는 는 각각 Ri 의 평균과 분산, Ri와 Rj 의 공분산을 나타냄 ※ 포트폴리오의 VaR 또한 개별포지션의 선형결합 위험보다 작아진다. E(R p) = μ p = ∑ wi μi i=1 N 다음 포트폴리오의 VaR에 대해 설명드리도록 하겠습니다. 포트폴리오의 VaR는 다양한 포지션에 내포된 위험을 VaR라는 체계적 방법을 적용하여 하나의 숫자로 나타낸 것인데요 포트폴리오의 VaR는 분산에 따른 위험감소효과를 가지고 있습니다. 이를 자세히 살펴보면 다음과 같습니다. 포트폴리오의 수익률은 개별 포지션 수익률의 선형 결합이며 개별포지션의 투자가중치는 처음 투자금액에 의해 결정된다고 가정하면 전체 포트폴리오 수익률의 평균과 분산은 다음 그림의 식과 같이 구할 수가 있습니다. 이때 무i와 시그마i2승, 시그마ij는 각각 Ri의 평균과 분산, Ri와 Rj의 공분산을 타나낸것으로 재무이론에 따라 포트폴리오의 VaR 또한 개별 포지션의 선형결합보다 작아집니다. V(R p) = σ2p = ∑ w2i μ2i + 2∑ ∑ wi wj σij i=1 N J<1

포트폴리오가 N-1개 포지션으로 구성되어 있고 새로운 포지션 i가 추가된다고 할 때 전체 위험에 추가되는 위험은 다음과 같다. 8장. Var측정의 기초 (2) 증분 포트폴리오의 VaR 계산에 있어 특정 포지션이 전체 위험에 얼마나 기여하는지 알면 위험조정을 위해 포지션 수정 가능 포트폴리오가 N-1개 포지션으로 구성되어 있고 새로운 포지션 i가 추가된다고 할 때 전체 위험에 추가되는 위험은 다음과 같다. δσ2p δwi = 2wiσ2i + 2 ∑ wjσij j=1 j≠1 N = 2Cov(Ri, Rp) 2Cov(Ri, Rp) σ2p 다음으로 증분에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 포트폴리오의 VaR를 계산할때에 위험조정을 위한 포지션 수정을 위해 어떤 포지션이 전체 위험에 얼마만큼 기여하는지를 아는 것이 중요합니다. 포트폴리오가 N-1개 포지션으로 구성되어 있고 새로운 포지션 i가 추가된다고 할 때 전체 위험에 추가되는 위험은 그림와 같은 식으로 계산됩니다. 이때 베타는 새로운 자산이 추가 될때 증가하는 위험이 포트폴리오 전체 위험에서 얼마만큼을 차지하는 지를 나타내는 데요 이, 베타를 사용하면 포트폴리오의 VaR를 자산별로 분해할 수 있습니다. 이 때 βi = 라고 하면 베타(β)는 새로운 자산이 추가될 때 증가하는 위험이 포트폴리오 전체 위험에서 차지하는 정도를 나타냄

8장. Var측정의 기초 (2) 증분 포트폴리오 분산 σ2 = w1 (w1 σ21+ ∑ wj σ1j )+ w2 (w2σ22+ ∑ wj σ2j )+…. j=1 j≠1 N = w1Cov(R1, Rp) + w2Cov(R2, Rp) + ….. = w1(β1σ2p)+w2(β2σ2p)+…. = σ2p ∑ wiβi i=1 양변에 VaR를 계산하면 포트폴리오 VaR가 자산별로 분해 포트폴리오의 분산은 위의 그림에 나와있는 식으로 구할 수가 있구요 여기에 양변에 VaR를 계산하면 아래그림과 같이 포트폴리오 VaR가 자산별로 분해된 결과를 확인 할 수가 있습니다. 포트폴리오 위험분석에서 중요한 것은 전체 포트폴리오와의 관계 차원에서 다뤄져야 한다는 것인데요 특히 포트폴리오 차원에서 위험을 다룰 때는 방금 살펴본 바와 같이 서로서로 다른 포지션 수익률들 간 상관관계 분석이 중요합니다. VaR = VaR ( ∑ wiβi ) = VaR1 + VaR2 + ….. i=1 N

8장. Var측정의 기초 5.VaR의 검증 모수 VaR계산 추정과정에서 에서의 필연적으로 오차 발생 추정오차 발생 그림에서 보시는 바와 같이 VaR는 그 모수를 추정하는 과정에서 어쩔 수 없이 추정오차가 발생하기 때문에 VaR값에도 필연적으로 오차가 생기게 마련입니다. 때문에 가장 정확한 VaR의 모형을 선택하는 것이 중요한데요 VaR모형의 정확도를 판단하기 위해서는 VaR의 실패율을 확인하는 방법을 사용합니다. VaR의 실패율이란 VaR로 사전에 정해진 손해액보다 실제 손해액이 초과하는 횟수의 비율을 말하는 것인데요 이것이 실제 손해액이 VaR보다 큰 경우가 계획보다 많거나 현저하게 적을 경우 정확한 VaR라고 할수 없게 됩니다. ※ VaR의 실패율 실제 포트폴리오의 손해액이 사전에 정해진 VaR를 초과하는 횟수의 비율. 실패율이 유의수준보다 크면 VaR모형은 손실확률을 과소평가하는 것이며, 작으면 VaR모형이 지나치게 보수적으로 만들어졌다 평가됨

수익률의 정규분포를 가정하고 신뢰구간을 95%로 정한다면 8장. Var측정의 기초 VaR를 바탕으로 위험에 대한 헤지전략을 구사하기 때문에 최대손실규모를 과소추정하게 될 경우 반대의 경우보다 큰 피해를 볼 우려 존재 수익률의 정규분포를 가정하고 신뢰구간을 95%로 정한다면 확률변수 X(t)는 베르누이 분포를 갖는다 X(t) = 1 if r t ≤－1.65σ t = 0 otherwise r t : 기초적 시장가격 수익률 σ t : 수익률의 조건부 표준편차 T 이때 모형이 정확하다면 = 0.05가 성립하여야 함 ∑ X(t) t=1 이를 좀 더 자세히 살펴보면 다음과 같은데요 예를 들어 95%의 신뢰구간을 갖는다 가정하고 베르누의 분포 모형 값 즉, 실제값이 VaR를 초과한 횟수의 합이 전체에서 5%를 초과한다면 이것은 VaR의 정확성이 떨어진다 말할 수 있게 됩니다. 이 값이 0.05를 초과할수록 정규분포를 가정한 VaR모형은 손실을 과소평가하게 되므로 위험관리 측면에서 모형의 유용성이 떨어진다

절사값 1.65를 이용하여 신뢰수준이 95%임을 확인 가능. 상하한 선을 벗어난 수익률들의 비율은 10% 정도이어야 한다. 8장. Var측정의 기초 그림 8-8 VaR 추정치와 실제 수익률의 비교 교재에서 나온 이 그림이 바로 지금 설명드린 부분을 나타낸 것인데요 선으로 이어진 부분이 VaR이고 주파수처럼 상하로 움직이는 것이 실제 수익률입니다. VaR가 정확하다면 실제 수익률이 VaR가 그린 선을 돌파하는 경우는, 특히 아랫부분보다 내려갈 확률은 5%정도여야 할 것입니다. 그럼 여기까지 8장에 대해 발표 마치도록 하겠구요 다음으로 같은 조원분께서 9장 발표하도록 하겠습니다. 감사합니다. 절사값 1.65를 이용하여 신뢰수준이 95%임을 확인 가능. 이 예에서 사용된 VaR 모형이 정확하다면 상하한 선을 벗어난 수익률들의 비율은 10% 정도이어야 한다.

Thank You !