실 용 수 학 자연과 생활 속의 수학

자연 속의 수학 벌집이 정육각형인 이유? 우리 인간은 물론이거니와 많은 생명체들이 그들 특유의 안식처를 가지고 있는데 그 역할이나 모습은 저마다 가지각색입니다. 이 중 육각기둥의 독특한 구조를 지닌 벌집이 가장 튼튼하고 과학적이라고 얘기를 합니다.

그리스 수학자 파푸스가 남긴 [수학집성(數學集成)]이라는 책의 '벌의 집에 관한 이야기' 에는 "벌은 천국으로부터 꿀이라는 신들의 음식 일부를 얻어서 인류에게 날라다 준다. 이처럼 귀한 꿀을 땅바닥이나 수목, 그 밖의 마시기 사나운 곳에 함부로 부어 넣는 것은 적당치 않다. 그래서 벌들은 꿀을 붓기에 알맞은 그릇을 만들었다. 이 그릇은 불순물이 끼지 못하도록, 서로 빈틈없이 연이어 있는 형태를 지녀야 한다. 그런데 동일한 점을 둘러싼 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 그리고 정육각형의 세 가지 밖에는 없다. 벌들은 본능적으로 최대의 각(꼭지점)을 가진 정육각형을 택했지만, 이 형태는 다른 둘보다 훨씬 많은 꿀을 채울 수가 있다." 라고 씌어 있다

최소의 길이로 최대의 넓이를 문제 : 일정한 길이의 끈으로 도형을 만들되 그 면적이 가장 넓은 것은 어떠한 모양인가? 길이 24cm의 끈으로 만든 정3, 4, 6, 8각형의 면적을 알아보자 또, 길이 24cm의 끈으로 만든 원의 면적을 알아보자

최소의 길이로 최대의 넓이를 둘레의 길이가 같은 경우 변의 수가 많을 수록 정다각형의 면적은 넓어진다 따라서 동일한 둘레를 갖는 도형 중에서 원의 넓이가 가장 크다 벌이 혼자 살면 아마도 벌집의 단면도는 원과 같을 것이다

벌집이 정육각형인 이유는? 벌은 공동체 생활을 하고 있고 같은 양의 재료로 가장 많은 집을 짓기 위해서는 집과 집 사이에 빈틈이 없이 지어야 할 것이다 동일한 점을 둘러싼 공간을 빈틈없이 채울 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 그리고 정육각형의 세 가지 밖에는 없다

벌집의 응용 비행기 구조 연구자들은 재료를 절약하고 비행기 무게를 줄이기 위하여 '벌집식 사이층' 구조물을 창조하였습니다. 이런 구조물은 속이 비고 두 끝이 금속관으로 고정되어 있기 때문에 속이 비지 않은 구조물보다 강도가 높고 무게도 속이 비지 않은 구조물의 몇 분의 1밖에 안되며 소리나 열을 격리시키는 성능도 좋다고 합니다. 물론 다른 공예에서도 이 구조물은 큰 우수성을 나타내고 있습니다. 또한 이 벌집구조는 제트기 및 인공위성의 벽에 응용되어 '하니컴(Honeycomb)' 구조라고 불립니다.

벌집의 응용 : 하니컴(honeycomb)

자연 속의 피보나치 수열 피보나치 수열이 나오게 된 계기

<그림1> 월별 번식하는 토끼

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 … 피보나치 수열이란??? 1. 연속하는 두 수의 합은 그 다음 수가 된다 2. n번째 숫자는 (n-2)번째 수로 나누면 그 몫은 2가 되고 나머지는 (n-3)번째 수가 된다. 3. 피보나치 수를 이웃하는 피보나치 수로 나눈 값을 피보나치 비 (ratio)라 하고, 연속하는 두 수에서 큰 수에 대한 작은 수의 비율 (a), 작은 수에 대한 큰 수의 비율(b)은 각각 0.618, 1.618에 가까 워 지는데, 0.618또는 1.618이 바로 황금비이다. (a) 2/3 =0.66 , 13/21 = 0.619 , 34/55 = 0.61818 , 89/144 =0.61805 ,… (b) 3/2 =1.50 , 21/13 =1.615 , 55/34 = 1.6176, 144/89 =1.61797 ,… 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …

피보나치 수열이란??? 4. n번째 수를 (n-2)번째 수로 나누면 2.618에 가까워지고 (n-2)번째 수를 n번째 수로 나누면 0.382에 가까워진다. (a) 8/3 =2.666 , 21/8 = 2.625 , 55/21 =2.619, 89/34 =2.6176 ,… (b) 3/8 =0.375 , 8/21 = 0.380 , 21/55 = 0.3818 , 34/89 = 0.382 ,… 5. 1.618의 역수는 0.618이며, 2.618의 역수는 0.382가 됨을 알 수 있다. 6. 이웃 하는 두 수의 차이들도 같은 규칙의 수열을 이룬다. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

자연 속의 피보나치 수열 잎의 배열 위쪽 나뭇잎 나는 모양을 살펴보면, 1번 잎에서 시작하여 2,3번으로 나는 모양을 연결하면 하나의 나선이 생기고,6번 잎에서 나선모양 2주기가 완성. 아래쪽 나뭇잎은 3회 만에 같은 위치에 나뭇잎이 생기는데 그 동안 그려진 나선은 3주기 이다.

자연 속의 피보나치 수열 식물의 가지 어떤 식물은 생장 점의 수에서 피보나치 수가 나타난다. 식물이 새로운 가지를 뻗을 때, 그 가지는 두 달을 자라야 분지를 지탱할 만큼 충분히 가해진다고 가정하자. 그 후로는 매달 생장 점에서 가지를 뻗는다고 하면, 다음에서 보여지는 것과 같은 그림을 얻게 된다.

자연 속의 피보나치 수열 꽃씨의 배열 해바라기 꽃 가운데 부분에는 씨앗이 촘촘히 박혀 있다. 이 씨앗의 배열을 자세히 보면, 보는 방향에 따라 시계방향과 시계 반대 방향으로 휘감으며 도는 나선을 발견할 수 있다. 이 해바라기의 나선 수는 대개 21개와 34개, 혹은 34개와 55개다. 즉 해바라기 씨는 피보나치 수열에 따라 씨를 배열하면서 좁은 공간에 최대한 많은 씨를 담고 있는 것이다.

자연 속의 피보나치 수열 솔방울 또한 피보나치 나선형을 잘 표현하고 있다. 솔방울 시계방향으로 8개의 나선이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 대각선 방향으로 천천히 가고, 시계반대방향으로 13개의 나선이 오른쪽 아래에서 왼쪽 위로 대각선 방향으로 보다 급하게 가로질러 가고 있다.

자연 속의 피보나치 수열 주변의 꽃잎을 세어보면 거의 모든 꽃잎이 3장, 5장, 8장, 13장…으로 되어 있다. 백합과 붓꽃은 3장, 채송화 패랭이 동백 야생장미는 5장, 모란 코스모스는 8장, 금불초와 금잔화는13장이다.

자연 속의 피보나치 수열 우주의 나선은하계, 태풍의 눈, 앵무조개 껍질, 알래스카 큰뿔 양 등 자연계에 존재하는 많은 회오리 모양에서 정 중앙을 중심으로 십자선을 그어 보면, 일정비율로 점점 커지는 원주가 연속해서 나타난다. 그런데 점점 길어지는 각 원주의 반지름 길이를 비율로 나타내면 1:1:2:3:5:13..로 역시 피보나치 수열의 수를 따라 그 회오리가 커져 나간다는 것을 알 수 있다.

황금비 피보나치 수열 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89- 앞 두 항의 합으로 다음 항을 만든다

황금비 피타고라스 학파에 의해 발견 미적으로 가장 아름다운 비율을 이룬다고 전해져 옴

인체 속의 황금비 △ 팔의 길이를 어깨폭으로 나눌 경우 △ 사람 키를 발끝에서 배꼽까지의 높이로 나눌 경우

* 각 손가락 두 번째 뼈마디 길이를 맨 위 첫째 뼈마디 길이로 나눌 경우 인체 속의 황금비 * 각 손가락 두 번째 뼈마디 길이를 맨 위 첫째 뼈마디 길이로 나눌 경우 * 손가락 아래 세 번째 뼈마디 길이를 역시 두 번 째 뼈마디 길이로 나누면 이 황금비율에 가깝다. 3. 피보나치 수열의 활용(인체)

인체 속의 황금비 잘 생겼다고 하는 얼굴을 분석해 보면, 코끝에서 두 눈동자를 좌우로 연결한 선까지의 수직높이를 입술 정 중앙에서 코끝까지 길이로 나누면 황금비율이 되고, 또한 두 눈동자 좌우를 연결한 선부터 턱 끝까지 수직높이를 역시 코끝에서 두 눈동자를 좌우로 연결한 선까지의 수직높이로 나눠도 황금비율의 수가 나온다.

인체 속의 황금비

황금비의 활용 사람들도 피보나치 수열과 황금비율을 응용해 생활용품을 만들고 있다. 대표적인 예가 명함, 신용카드, 담뱃갑, 책 등과 같은 생활용품으로 이들의 가로 세로비가 바로 황금비율과 일치한다. 최근에는 음악이나 건축 등에서도 황금비율이 활발하게 적용되고 있다. 이 외에도.. 계란의 높이를 좌우 길이로 나누어도, 그리고 소라 껍질, 조개 껍질의 각 줄 간의 비율에서도 황금비율은 등장한다.

참고도서 박형빈, 수학은 생활이다, 경문사, 2005 새터 교육도서개발팀, 70일간의 수학여행, 새터, 2000 이규봉 외 2인, 생활 속의 수학, 교우사, 2002 이민섭, 정보화 사회와 수학, 교우사, 2004 이은휘, 수학의 산책, 전주대학교출판부, 2004 키스 데블린, 수학으로 이루어진 세상, 에코리브르, 2003 황혜정 신항균, 수학의 묘미, 경문사, 2004