사이클로이드 2007 영재교육원 중등 통합 이동현.

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1 사이클로이드 2007 영재교육원 중등 통합 이동현

2 목차 사이클로이드 란? 등시곡선 최단강하곡선 생활속의 사이클로이드 사이클로이드 공식

3 사이클로이드 란? 자전거 앞바퀴에 껌이 붙어 있다. 평평한 지면 위에서 자전거를 앞으로 진행시켜 보면, 자전거 바퀴가 굴러감에 따라 껌도 움직인다. 이 때 껌이 움직임은 하나의 곡선을 그리게 된다. 자전거 바퀴가 회전을 거듭할 때마다 곡선은 하나의 사이클을 이루며 반복하게 된다. 1599년경 갈릴레이는 이 곡선을 '사이클로이드(cycloid)'라고 이름을 붙였는데, 사이클로이드는 다른 운동하는 물체의 자취와는 달리 특별한 특징이 있다

4 등시곡선 사이클로이드 위에 여러 개의 공을 거리를 두고 놓아 보자. 아주 짧은 순간에 공이 중력에 의해 굴러 떨어지게 되므로 유심히 관찰하여 보자. 점 L이 사이클로이드의 가장 낮은 점이고 오른쪽 P1, P2에서 동시에 굴렸을 때, L에 도착하는 시간이 같다는 것도 알려져 있다. 즉 사이클로이드 위에 두 개의 공을 일정한 거리를 두고 동시에 떨어뜨리면 두 개의 공은 바닥으로 동시에 도착한다. 즉, 사이클로이드 위에 놓인 물체는 거리에 관계없이 바닥에 동시에 떨어지게 된다. 이런 이유로 사이클로이드를 등시곡선이라고도 한다.

5 최단강하곡선 직선과 포물선 그리고 사이클로이드에 공을 굴리면 사이클로이드가 가장 먼저 도착한다. 언뜻 생각하면 직선 경로가 길이가 짧아서 가장 시간이 짧게 걸릴 것 같아 보인다.그러나 사이클로이드 위에서는 가속도에 의해 보다 빨리 속도가 증가하므로 사이클로이드가 거리는 더 길지만 더 빠른 시간에 도착하게 되는 것이다. 그래서 사이클로이드를 최단강하곡선이라고 한다

6 생활속의 사이클로이드 독수리는 먹이를 향해 낙하할 때 사이클로이드 곡선 형태에 가깝게 낙하한다. 땅 위에 있는 들쥐나 토끼, 쥐, 뱀 등 먹이를 잡을 때 직선이 아닌, 최단시간이 소요되는 ‘사이클로이드’와 가까운 곡선을 그리며 목표물로 향하는 것이다. 또한 일반 새들도 몸체를 기준으로 날개 끝이 사이크로이드 형태의 타원궤적을 이루며 이로 인한 양력으로 전진하며 물고기의 비늘에도 사이클로이드 곡선이 숨겨져 있다고 하니 자연의 숨겨진 아름다움과 효율성에 앞에 다시 놀라지 않을 수 없다. 이외에 우리나라 전통 가옥의 기와 역시 사이클로이드 곡선 모양을 하고 있어 비로 인한 목조 건물의 부식을 막고 있다.

7 사이클로이드 공식 다음 식은 사이클로이드의 매개변수 식이다. x = a ( θ - sin θ ),
y = a ( 1 - cos θ ) 사이클로이드를 위의 식과 같이 표현하면 한 주기의 길이는 8a, 넓이는 3 x (파이r^2) 이 된다.