1.3 미적분의 탄생배경 포탄의 궤도 세기 유럽은 패권전쟁의 시대

Presentation on theme: "1.3 미적분의 탄생배경 포탄의 궤도 세기 유럽은 패권전쟁의 시대"— Presentation transcript:

1 1.3 미적분의 탄생배경 포탄의 궤도 - 16-17세기 유럽은 패권전쟁의 시대
- 대포를 목표물에 명중시키기 위한 연구가 활발히 벌어짐 - 포탄은 곡선을 그린다. -> 궤도의 모양은 알지 못했음 - 갈릴레이( )가 최초로 답을 구함. - 포탄은 지구중력이 없으면 발사된 방향으로 날아간다 -> “관성의 법칙” - 갈릴레이는 포탄의 속도를 수평방향과 중력을 받는 방향으로 나누어 생각 - 시간이 흐름에 따라 수평방향의 속도는 변하지 않고 수직방향의 속도만 빨라짐

2

3 포탄은 (x,y) = (0, 0), (20, 19), (40, 36), (60, 51), (80, 64) ….. 를 지난다.
포탄의 궤도는 이차방정식 : -

4 포탄은 몇 m 앞에 떨어지는가? -> 계산 가능
발사된 포탄의 진행방향은 시간의 흐름에 따라 어떻게 변화하는가? -> ??? 포물선 식은 포탄의 거리와 높이에 대한 관계지만 포탄이 날아가는 동안에 진행방향은 알 수 없다. -> 새로운 수학이 필요 갈릴레이 역시 진행방향을 알 수 있는 순간의 속도를 계산할 수 없었다.

5 곡선과 직선이 한점에서 접할때 접점 : 만나는 한점 접선 : 그때 접한 직선

6 접선은 순간의 진행방향을 나타낸다. 접선을 그으면 포탄이 진행하는 방향을 알 수 있다. 접선을 그을 수 있는 방법 -> 새로운 수학인 미분법으로 발전 해머던지기

7 1.4 뉴튼의 미분법 올바른 접선을 구하는 방법은? -> 접선의 정확한 “기울기”를 구한다.
올바른 접선을 구하는 방법은? -> 접선의 정확한 “기울기”를 구한다. 뉴튼은 기울기를 구하는 일반적인 방법을 고안해서 접선문제 해결

8 점 B에서 점 A로 한없이 접근시키며 두 점을 잇는 직선을 그린다. -> 극한 개념 뉴튼의 17세기에는 극한 개념이 없었음 극한은 19세기에 등장한 개념

9 O(오미크론)은 한없이 작기때문에 op는 무시 가능하다고 뉴튼은 생각
일 때 점 에서의 접선의 기울기 일 때 점 에서의 접선의 기울기는? 기울기 : O(오미크론)은 한없이 작기때문에 op는 무시 가능하다고 뉴튼은 생각

10 일 때? 1

11 미분

12 현대 미적분의 요점 => 극한의 계산 직선의 기울기 : 두 점을 한없이 접근시킨다 : 일 때 점 에서의 접선의 기울기 고등학교 수학에서 미분정의

13 미분을 이용하면 언제 어떻게 변하는지 알 수 있다.
- 미분 또는 도함수는 원래의 함수에서 “유도한 함수”라는 의미 - f(x)의 도함수는 f(x)’ 또는 df(x)/dx 라고 표시

14 그래프 그리기 ① f(x)를 미분하여 f’(x)를 구한다. ② f’(x)=0이 되는 x의 값을 구한다.
⑤ 증감표를 만든다. ⑥ 그래프를 그린다. x ….. a b C f(x) + - f’(x) f(a) f(b) f(c) f(a) f(c) f(0) a b c f(b)

15 그래프 그리기(실습)

16 실 생활에서의 미분 - 맥주 매출액 = 맥주병 하나의 가격 * 맥주 소비량 : y = f(x)*g(x) - 1인당 교육비
어느해 x의 교육비를 u=f(x), 학생수를 g(x)라 할때, 1인당 교육비 y = f(x)/g(x) - 어느 개인의 최근 10년간 과세된 소득액 함수 z = g(x) 소득액에서 소득세를 구하는 함수 y = f(z) y = f(z)=f(g(x))

17 미분공식 : 삼각함수

18 미분공식(계속) : 지수와 대수 - 재산의 증가 y=2x : x 년 뒤에 2의 배수로 증가한다
x=2y y배가 되기 위해서는 x년이 걸린다 이때 - 1년 에 5배면 밑은 5이고, 이자가 12% 라면 밑은 1.12가 된다 - 지수의 식 - 대수의 식 유용한 공식하나 더 :

19 토론 - 2m2 의 나무판으로 가장 큰 부피의 나무상자를 만들고자 한다.
- 잡지사의 구독자 수 n = -5000p , p=1권당 가격 잡지 한권 당 발행 비용은 1.65 달러 이익이 최대가 되는 적정가격은?

20 1.5 미분과 적분의 통일 아르키메데스(BC BC 212) : 포물선의 구적법

21 17세기에 발전된 적분의 기법 - 선에서 면이 생기고, 면에서 입체가 생긴다. - 카빌리에리의 원리
- 토리첼리 : 카빌리에리의 개념을 발전 - 곡선으로 둘러 싸인인 부분의 넓이, 곡선을 회전시켜 생기는 입체의 부피 등을 구함

22 적분이란? - 직선이나 곡선에 둘러 싸인 영역의 넓이를 구하는 수학의 영역 - 원시함수 : 영역의 넓이를 나타내는 함수
- y=1 아래쪽의 넓이는? - y=2x 아래쪽의 넓이는? 1

23 적분이란? - y=3x2 아래쪽의 넓이는? - 직선이 아니라서 삼각형이나 사각형 넓이 구하는 방법으로 간단히 구할 수는 없음

24 적분

25 뉴튼의 위대한 발견 - 미분과 적분은 역의 관계 적분 도함수 원시함수 미분

26 미적의 예 - 거리(distance) 속도(velocity) 가속도(acceleration) 거리 적분 미분 속도 미분 적분 가속도

27 미적의 예 - 우주선의 고도는? 발사 후 시간(s) 상승 속도(m/s) 고도(m) 1 16 8 2 32 3 48 72 … ….
1 16 8 2 32 3 48 72 … …. 10 ? 100

28 미적의 예 - 우주선의 고도는?