제 5 강 이자율 이해하기 미쉬킨 4장 이 장의 주제는 우리의 현실생활과 매우 밀접한 것들이다. 이자율은 채권의 가격과 역의 관계를 가진다는 점, 이자율 개념은 채권의 수익률과 동일한 개념이 아니라는 점, 그리고 실질이자율과 명목이자율의 구분이 대단히 중요하다는 점 등을 논의함으로써 이자율에 대한 철저한 이해를 도모하게 될 것이다.

목차 1. 서론 2. 현재가치 vs. 미래가치 3. 채권(부채) 수단의 4가지 유형 4. 만기수익률 5. 기타 유용한 이자율 8. 부록

서론 “이자율”의 개념 • 우리가 구입하는 상품과 서비스의 가격 : 돈으로 표시 • 그렇다면 우리가 “구입하는” 돈의 가격은? (그렇다….우리는 돈도 “구입”한다! ) 1) 외국 돈으로 구입했을 경우 : 우리 돈 한 단위와 교환되는 외국돈의 단위수로 표시⇒ 환율 2) 채무증서를 주고 구입했을 경우 (즉, 되돌려 줄 것을 약속하고 빌렸을 경우)

이자율의 표시 : 구입한 금액(즉, 빌린 원금) 대비 약속한 추가금의 비율로 표시⇒ 이자율 • 따라서 ‘이자율’의 개념은 ‘빌린 돈의 가격’이다. 이자율의 표시 • 주어진 기간(보통 1년)에 대해 채무자가 지불하고 채권자가 수취한 추가금이 대출금의 몇 퍼센트인지를 표시 • 이자율은 통상 연간으로 따져 몇 퍼센트인지 표시

이자율의 두 가지 측면 EX) 연간 이자율 = 연이자율 (연이율 = 연율) = Annual interest rate APY (annual percentage yield) APR (annual percentage rate) 전당포에 보석을 저당 잡히고 $500를 대출 받았다고 가정해보자. 만일 전당포 주인이 한달 뒤 $550를 가져와야 보석을 돌려 받을 수 있다고 말한다면, 연이자율은 얼마인가? 이자율의 두 가지 측면 • (채무자 관점) 빌린 돈의 가격, 즉, 남의 돈을 사용하는데 따른 비용이 얼마인지를 표시 ☞ 기업 대출자의 경우 대개 빌린 돈을 자본(즉, 생산 장비) 구입에 사용한다. 이 때 자본 사용비용은 (자본의 구입 가격이 아니라) 이자율에 의해 측정되므로 이자율은 또한 자본의 가격을 나타내는 척도이기도 하다.

이자율의 거시경제적 중요성 • (채권자 관점) 대출금에 대한 수익 저축한 돈을 다른 사람이 사용하도록 해준 데 대한 대가를 표시 이자율의 거시경제적 중요성 • 이자율은 투자와 소비를 결정하는 주요 설명변수 i  ⇒ EX) 빌린 돈의 가격  내 돈의 기회비용  ⇒ 투자  소비  

☼ 따라서, 중앙은행은 아래와 같은 두 가지의 용인하기 어려운 상황을 피하기 위해 선제적 금리정책 (preemptive interest rate policy)을 시행한다. 경기확장국면인데도 불구하고 이자율이 낮은 수준일 때 : 경기과열과 그로 인한 물가상승 및 자산인플레를 막기 위해 일찌감치 이자율을 상향 조정한다. 경기침체국면이지만 이자율이 높은 수준일 때 : (물가불안요인이 없다면) 불황이 도래하기 전에 일찌감치 이자율을 하향 조정한다. • 이자율은 또한 저축을 결정짓는 주요 설명변수이다. EX) 높은 이자율은 국내 저축을 끌어 올리고 또한 외국 저축의 유입을 가져온다.

현재 가치 vs. 미래 가치 돈의 시간가치 (Time Value of Money) 현재의 1,000만원과 10년 후의 1000만원 중 택일하라면? • 당연히 우리는 현재의 1,000만원을 선택한다. • 이것은 미래의 1,000만원 보다 현재의 1,000만원의 가치를 더 크게 보기 때문이며 따라서 이러한 선택은 곧 ‘돈의 시간가치’를 이미 알고 있음을 의미. • 왜 우리의 선택에 ‘시간’이 중요 요소인가? 시간은 현재의 소비를 미래로 유보, 그 대가로 이자소득을 획득할 수 있는 기회를 제공해 주기 때문.

단리이자 vs. 복리이자 • 단리 이자 : 원금에만 이자가 붙는 방식 그런데….이자소득의 획득은 이자지급방식에 따라 차이가 난다. 단리이자 vs. 복리이자 • 단리 이자 : 원금에만 이자가 붙는 방식 • 복리 이자 : (원금 + 이자)에 이자가 붙는 방식. 즉, 일정기간 마다 이자를 원금에 합쳐 그 합계 금액, 즉, 원리금에 이자를 다시 계산. ☼ 복리이자는 부자들(빌려주는 자들)을 더욱 부유하게 만들고 채무자들은 더욱 빚더미에 짓눌리게 만든다.

단리이자 자세히 보기 단리(單利; Simple Interest Rate) : 최초 원금에 대해서만 이자가 계산되는 단순한 단리이자 자세히 보기 단리(單利; Simple Interest Rate) : 최초 원금에 대해서만 이자가 계산되는 단순한 이자 계산 방식 • 즉, 이자가 원금에 가산되지 않으므로 매기(每期) 이자계산 때 마다 이자액이 동일함. 1,000만원을 8%의 단리 이자율에 2년간 은행에 예금했을 때 2년 후 이자는? 원리금은? (단, 이자 지급은 연 1회로 가정) ▫ 1년 후 이자 = 1,000×0.08 = 80만원 ▫ 2년 후 이자 = 1,000×0.08×2 =160만원

▫ 2년 후 원리금 = 1,000 + 1,000×0.08×2 = 1,000(1 + 0.08×2) = 1,160만원 단리 이자 공식: P = 원금, i = 연 이자율, n = 기간(연도 수) 일 때 ▫☞ 같은 금액의 이자(P·i)를 n번 지급받았음을 표시. 단리 원리금 공식: n (연도 수) P 기울기 = P·i 원리금

1,000만원을 8%의 단리 이자율에 2년간 은행에 예금했을 때 2년 후 이자는? 원리금은? (단, 이자 지급은 매 분기 한 번으로 가정) ▫ 분기 이자율 = 0.08/4 = 0.02 ▫ 1년 후 이자 = 1,000 × 0.08/4 × 4 = 80만원 (3개월마다 20만원을 연 4회 지급) ▫ 2년 후 이자 = 1,000 × 0.08/4 × 4 × 2 =160만원 ▫ 2년 후 원리금 = 1,000 + 1,000 × 0.08/4 × 4 × 2 = 1,000(1 + 0.08 × 2) = 1,160만원 ▫☞ 이자 지급이 매월 1번이라고 가정해도 2년 후 원리금은 동일함. 1,000 + 1,000×0.08/12×12×2 = 1,000(1 + 1,000×0.08×2) = 1,160만원

연습문제 ▫☞ 즉, 단리의 경우 연간 이자지급횟수에 관계없이 (즉, 이자지급이 월1회이던, 분기 1회이던, 연 1회이던 상관없이) 이자와 원리금이 동일함. 500만원을 12%의 단리 이자율에 은행에 예금했을 때 40개월 후 원리금은? (단, 이자 지급은 매월 한 번임) 연습문제 ▫ 원리금 = 500 + 500×0.12/12×40 = 700만원 단리 원리금 공식: P = 원금, i = 주기 이자율, n = 기간 수 일 때

복리이자 자세히 보기 복리(複利; Compound Interest Rate) : 원금뿐만 아니라 누적이자에도 이자율이 적용됨. 복리이자 자세히 보기 복리(複利; Compound Interest Rate) : 원금뿐만 아니라 누적이자에도 이자율이 적용됨. • 이자가 원금에 가산된 상태, 즉, 원리금에 대해 이자율이 적용됨. 매기 늘어나는 이자금액이 점점 커짐. 매년 복리로 확정 이자율 i를 지급하는 저축성 예금계좌에 $P를 오늘 입금했다고 하자. ▫ n년이 지난 시점의 원리금은?

연도 잔액 현재 P 1년 말 P + P·i = P(1+i) 2년 말 P(1+i) + P(1+i) ·i + = P(1+i)2 3년 말 P(1+i)2 + P(1+i)2·i = P(1+i)3 N년 말 P(1+i)n • P원이 n년 후 으로 불어남. 그 동안 붙은 이자는 모두 합해 원임.

‘낮게 깔린 직선’ 대 ‘상방으로 치솟는 곡선’의 차이라고 복리 원리금 공식: 복리 이자 공식: 단리 10%와 복리 10%의 원리금 증가 추이 비교 ‘낮게 깔린 직선’ 대 ‘상방으로 치솟는 곡선’의 차이라고 할 수 있으며 시간의 경과와 함께 격차는 점점 더 커진다.

복리의 마법을 극대화 하는 투자방법 ☼ 이러한 장기누적수익 차트를 보면 왜 은행예금상품은 대부분 단리이자 상품인지 알 수 있음. 특히 장기저축 상품일수록 은행입장에서는 단리로 하거나 복리로 하더라도 아주 낮은 금리를 책정할 수 밖에 없는 것임. 복리의 마법을 극대화 하는 투자방법 ▫ 장기투자 처음 10년간은 단리와 차이가 크지 않지만 이후 기하급수적으로 격차가 벌어짐. 투자를 일찍 시작할수록 유리. 직장생활 초년병일 때 투자 시작 ▫ 꾸준한 재투자 투자수익을 꾸준히 재투자 하고 한 두 번의 높은 수익을 쫓기 보다 꾸준한 수익률 확보에 노력.

☼ 한편 복리라도 이자계산 횟수가 많을수록, 총 지급 이자가 더 커지게 되는데 그 자세한 내용은 부록에서 다루기로 함. 채무자의 입장에서 최악의 대출은 이자지급이 매일 매일 이루어지는 (일수라고 부름) 복리이자대출이고 대출이자율도 매우 높은 경우임. 한편 카드회사의 경우도 미결재 금액에 대해 흔히 월 복리 이자를 부과하는 것을 볼 수 있음. EX) 신용카드 미결재 금액에 대해 연 18%의 이자가 부과된다고 할 때 아래 두 경우를 비교해 보자. 단순 이자 : 미결재 금액에 대해 연말에 18%의 이자 부과. 월 복리 이자: 총 미결재금액(미지급이자 포함)에 대해 매 월말 1.5% (= 18%/12)의 이자 부과 (이 경우 연간 총 이자비용이 더 큼.)

FV 미래 가치 $P 매년 복리로 확정 이자율 i를 지급하는 저축성 예금계좌에 $P가 입금되었을 때….. • 미래 어느 시점의 불어난 잔고 = 최초 원금(Principal)의 미래 가치(FV: Future Value) 투자 기간 FV $P 이자율

⇒ FV = P(1+i)n ① 투자원금이 클수록 ② 투자기간이 길수록 ③ 이자율이 높을수록 미래 가치는 더욱 커진다. ④ 이자지급회수가 빈번할수록 미래 가치는 더욱 커진다. ⇒ ☞ ④는 부록에서 설명 복리이자 지급되는 원금 P의 미래가치: FV = P(1+i)n

현재 가치 • 현재가치(PV)는 미래가치(FV)를 거꾸로 바라본 것과 같다. • 미래 가치를 이미 알고 있다고 가정할 때, 그 미래 가치에 도달하기 위해 필요한 최초의 원금은? • FV = P(1+i)n 를 P에 관해 풀면 구하는 원금이 얻어진다. 연 이자율 = i 라고 할 때 일반적으로 어떤 미래가치 FV의 현재가치 PV는 : PV = FV (1+i)n ☼ 1) 이자율이 (-)가 아닌 이상 항상 FV > PV 2) 이 식은 왜 미래의 $1가 현재의 $1가치에 못 미치는 지를 보여준다.

EX) 연리 10%의 복리이자로 $100를 은행에 예금했을 때 연도 잔 액 1 $100(1+0.10) = $110 2 $100(1+0.10) + $100(1+0.10)·0.10 = $100(1+0.10)2 = $121 3 $100(1+0.10)2 + $100(1+0.10)2·0.10 = $100(1+0.10)3 = $133 n $100(1+0.10)n ▫ 3년 후의 $133는 현재의 $100와 맞먹는 가치임 3년 후 $133 의 현재 가치

▫ n년 후의 $100(1+0.10)n도 또한 현재의 $100와 같은 가치이다. 의 현재가치 ▫ 이자율이 10% 일 때, 3년 후 $200의 현재가치는? 이자율이 20%일 경우 그 현재가치는? ☼ 이자율이 높으면 높을수록, 현재가치는 더 작아진다.

* 아래와 같은 신나는(?) 상황을 가상해보자 * 1) 졸지에 $200,000를 상속 받았다. 2) 5년 후 주택구입에 $200,000가 필요하다. 3) 오늘 당장 축하파티를 위한 유흥비가 필요하다. 향후 5년 동안 4.5%의 연 이자율이 보장되는 투자 수단을 확보하고 있다고 가정하면 5년 후를 위해 얼마의 목돈을 투자해야 하는가? ▫ 따라서 나머지 돈 $39,509.54는 유흥비로 사용 가능

향후 40년 동안 매년 $250,000의 돈을 지급하는 일천만 불짜리 복권의 현재 가치는?  단, 이자율은 10%임을 가정하고 지불시점은 연말로 한다. ▫ ▫ 38 페이지의 결과를 이용하면 현재가치를 보다 쉽게 구할 수 있다.

채권(부채) 수단의 4가지 유형 단순 대출 (Simple Loan) 분할 상환 대출 (Fixed Payment Loan) • 대출자가 차입자에게 일정한 원금을 빌려주고 만기일에 이자를 합쳐 상환 받는 형태 • EX) 기업에 대한대출 분할 상환 대출 (Fixed Payment Loan) • 정해진 기간동안 원금과 이자를 주기적으로(보통 1달) 갚아 나가는 조건으로 채무자에게 자금을 제공하는 형태 • EX) 주택저당대출(mortgage), 자동차 할부금 대출, 소비자 분할대출, 학자금대출 등

이표채 (Coupon Bond) • 채권소유자(즉, 대출자)에게 만기까지 주기적으로 일정 이자(이표이자)를 지급하고 만기시 액면금액을 상환 ▫ 액면가액(par value = face value): 채권에 인쇄되어 있는 채권의 액면금액 ▫ 연금(annuity) – 정해진 기간 동안 주기적으로 지급되는 일련의 일정 이자지급액 ▫ 이표이자(coupon payment) –, 채권소지자에게 정기적으로 지급하는 액면가액에 표면금리를 곱한 이자금액 ▫ 표면금리(coupon rate) – 채권 뒷면에 기재되어 있는 연 이자율로 액면가액의 일정비율로 표시 ip = C F

할인채 (discount bond / zero-coupon bond) • 이표채의 특성은 발행자, 만기, 액면가액, 표면금리에 따라 정해진다. • 이표채의 경우 대개 일년에 두 번 이자를 지급 • EX) 장기 채권 (장기 재무성증권, 회사채 등) 할인채 (discount bond / zero-coupon bond) • 액면가액보다 낮은 (할인된) 가격에 팔고 만기시 액면가액을 상환하는 채권 • EX) 단기채(T-bills), 장기 무이표 채권 유형이 서로 다른 이러한 채권수단들에 대해 이자율을 비교할 수 있는 방법은 과연 있는가?

• 종종 이자율의 ‘경제학적 정의’로 일컬어짐 만기 수익률 (Yield to Maturity) 정의 • 만기 수익률 (YTM) = 현재시점의 시장가치와 미래에 수취할 모든 지급금액의 현재가치를 일치시키는 이자율 • 주어진 금융상품이 만기 때까지 보유된다는 가정하에서 만기 때까지의 현금흐름을 모두 감안해서 산출 • 종종 이자율의 ‘경제학적 정의’로 일컬어짐 현재 시점 시장가치 모든 미래 지급금의 현재 가치 = 채권의 시가 (또는 대출원금)

2) 금융상품의 종류에 따라 만기수익률은 단순 이자율과 어떻게 다른가? • 논점 1) 어떤 이자율에서 양자가 같아지나? 구해진 이자율 = YTM 2) 금융상품의 종류에 따라 만기수익률은 단순 이자율과 어떻게 다른가? • 만기 수익률은 내부수익률과 같은 개념임. ☞ 즉, 채권이나 대출 등 금융상품이 만기 때까지 보유된다는 가정하에서 구해진 내부수익률인 셈. 내부수익률(Internal Rate of Return: IRR)이란? • 투자를 평가할 때는 나가는 돈(투자원금)과 들어오는 돈(투자수익)을 비교하기 마련임. • 유출현금 흐름과 유입현금 흐름은 모두 현재가치로 환산해야 비교가 가능해 짐.

• 우선 미래 현금유입흐름을 R1 , R2 , ‘’’’ Rn이라고 하면 이들의 현재가치는 아래와 같다. 미래 유입현금의 총 현재가치 • 한편 유출현금으로는 투자원금 P밖에 없다고 하면 NPV(순현가 = 순현재가치; Net Present Value)는 아래와 같이 정의된다. • 순현가(NPV)가 클수록 투자가 더 매력적임을 의미. • 내부수익률이란 다름 아닌 순현가를 0이 되게 하는 할인율 i를 의미.

• 즉, 아래 식을 만족시키는 i값이 곧 내부수익률이다. --- (1) 또는 • 내부수익률의 해석 채권투자: 채권구입금액과 매년의 고정이자 수익의 현재가치를 일치시키는 할인율 부동산투자: 운용에 의한 연간 현금흐름의 현재 가치와 매도에 의한 현금흐름의 현재가치를 합한 총 현재가치와 초기의 부동산 투자자금을 일치 시키는 할인율

균등분할상환대출: 대출원금과 매년의 일정 상환금액의 현재가치를 일치시키는 할인율 • (1)식에서 투자원금 P가 주어져 있다면 투자수익 의 현금 흐름이 클수록 i가 더 큼을 알 수 있음. 즉, 투자자입장에서 내부수익률은 클수록 좋음. 이를테면 내부수익율이 투자자의 자금차입 이자율보다 크면 투자를 하는 선택을 하게 됨. 투자결정 기준 내부수익률 > 차입이자율 • 반면 대출의 경우 차입자의 입장이므로 내부 수익률은 자금사용비용(즉, 차입이자율)을 표시. 따라서 작을수록 좋음.

단순 대출 (Simple Loan) 일기간 단순 대출 (Single Period Simple Loan) • 오늘 $100를 빌려주고 1년 뒤 $110를 돌려받는 단순대출을 생각해보자. 이 대출의 만기 수익률은 ? ▫ 현 시장가치 (대출원금) = $100, FV = $110 단순 이자율 ▫ 현 시장가치 = $100, 미래금액의 현재 가치 = $110/(1+i)

다기간 단순대출 (Multi-Period Simple Loan) 만기 수익률 $100 = $110/(1+i)로 두고 i에 관해 풀면 i = 10% = YTM = 단순이자율 • 즉, 일기간 단순대출의 경우, 만기수익률 = 단순이자율 = 다기간 단순대출 (Multi-Period Simple Loan) • 연이율 10%의 3년 만기 $1,000불 상당의 단순대출을 생각해보자 . 만기 수익률은 얼마인가? ▫ 현 시장가치 (즉, 대출원금) = $1,000 3년 후 미래 가치 = $1,000(1+0.1)3 = $1,331 $1,000 = $1,331/(1+i) 3 로 두고 i에 관해 풀면, YTM = 10%가 된다.

분할상환 대출 (Fixed Payment Loan) • 원금을 대출 받은 후 정기적으로 원금의 일부와 이자를 갚아나가는 형태의 원리금 균등상환 대출 • 지급금의 일부는 이자, 나머지는 원금 • 만기 시 대출 잔액이 0으로 되기 때문에 완전 할부상환 대출(fully amortized loan)이라고도 부른다. • 만기 수익률 ⇒ 대출원금과 모든 미래 지급금의 현재가치를 일치시키는 이자율 • 매년 $126씩 상환하는 25년 만기의 $1,000 상당의 대출금을 생각해보자. 이 대출의 만기수익률은? ▫ 현 시가 (대출 원금) = $1,000 모든 미래 상환금들의 현재가치와 이 금액을 일치시키는 이자율을 구하면 된다.

▫ 위 등식을 만족시키는 i를 구하면 11.83%가 된다. (전자계산기나 컴퓨터를 이용해 계산) • 일반적인, 만기수익률 계산 공식은 아래와 같다. ▫ LV (대출원금; the loan value) = 즉, 대출금의 현재 가치 FP (fixed payments) = 일정 이자지급액 n = 만기까지의 연도수

• 일반적으로 LV, i, n가 주어진 상태에서 FP를 구하게 됨. 위 등식을 FP에 대해 풀면 아래와 같은 유용한 공식 도출.

이자율이 12%일 때 5년 만기, $15,000 상당의 자동차 할부대출의 월 불입금을 구하면? ▫ LV = $15,000 n = 60개월 (5 x 12개월) i = 월1% (0.12 / 12 = 0.01) ▫ Note) 매월 균등분할상환 시, n = 연도 수 i = 연 이자율 매년 균등분할 상환 시, n = 개월 수 i = 월 이자율

• 연 8. 55%의 18개월짜리 $1,000불 상당의 원리금 균등분할상환 대출의 경우 상환내역서를 만들면? • 연 8. 55%의 18개월짜리 $1,000불 상당의 원리금 균등분할상환 대출의 경우 상환내역서를 만들면? ▫ 월별 이자율 = 8.55%/12 = 0.7125% 할부상환표 : $1,000을 18개월 동안 연8.55%에 상환 --------------------------------------------------------------------------------- 불입회차 불입금액 이자 원금상환액 잔액 1. $59.40 $7.12 $52.27 $947.72 2. $59.40 $6.75 $52.65 $895.08 3. $59.40 $6.38 $53.02 $842.05 4. $59.40 $5.00 $53.40 $788.65 5. $59.40 $5.62 $53.78 $734.87 6. $59.40 $5.23 $54.16 $680.71 7. $59.40 $4.85 $54.55 $626.16

할부상환표 : $1,000을 18개월 동안 연8.55%에 상환 --------------------------------------------------------------------------------- 불입회차 불입금액 이자 원금상환액 잔액 8. $59.40 $4.46 $54.94 $571.22 9. $59.40 $4.07 $55.33 $515.89 10. $59.40 $3.67 $55.72 $460.17 11. $59.40 $3.28 $56.12 $404.04 12. $59.40 $2.88 $56.52 $347.52 13. $59.40 $2.48 $56.92 $290.60 14. $59.40 $2.07 $57.33 $233.27 15. $59.40 $1.66 $57.74 $175.53 16. $59.40 $1.25 $58.15 $117.38 17. $59.40 $0.84 $58.56 $58.82 18. $59.24 $0.42 $58.82 $0.00 ---------------------------------------------------------------------------------- Note) 이자금액은 원금잔액에 월 이자율을 곱한 것임. 마지막 회차 불입금액은 반올림으로 인한 오차금액을 조정한 액수임. -----------------------------------------------------------------------------------

할인채 (Discount Bond) • 채권의 액면가 보다 낮은(즉, 할인된) 가격에 판매되며 만기 때까지 이자지급이 없음. • 액면 $1000인 12개월짜리 재무성증권의 현 시장가격이 $900이라고 하면 만기수익률은? ▫ 현 시가 = $900, FV (미래가치) = $1,000 미래가치의 현재 가치 = $1,000/(1+i) • 일반적으로 만기 1년인 할인채의 만기수익률은 ▫ F = 액면가, P = 현재 시장 가격

• 채권가격이 변화할 때 만기수익률은 어떻게 변하나? ▫ When P = $1,000, P = $900, P = $850, P = $800, ☼ 채권 가격과 만기수익률은 역의 관계에 있다. 채권가격이 상승하면 만기 수익률은 하락하고 채권가격이 하락가면 만기 수익률은 상승한다.

이표채 (Coupon Bond) • 채권소지자에게 매기간 일정 이자를 지급하고 만기시점에 액면가를 상환 • P, C, F 및 n이 주어졌을 때 , YTM은 아래 방정식을 i에 관해 풀면 얻어진다. 현 시가 이 채권이 지급하는 모든 미래 지급금의 현재가치의 합계 ▫ P = 채권의 가격 C = 이표이자 F = 채권의 액면가 n = 만기시까지의 연도수

• C, F, n은 주어져 있는데 P와 i만 주어지지 않았다고 한다면 위 등식으로부터 아래의 사실을 알 수 있다. i 가 상승(하락)함에 따라, P는하락(상승)한다. ▫ i가 상승할 경우,우변의 모든 항은 그 값이 작아지게 되고 따라서 P는 하락하게 된다. 반대로 i가 하락할 경우, 우변의 모든 항은 그 값이 커지게 되므로 (등식이 성립하기 위해서는) P가 상승해야 한다. ☼ 따라서 이표채의(종류를 불문하고 모든 채권의) 가격은 만기수익률과 역의 관계에 있다. (아래 설명 참조)

• 액면 $1,000이고 표면금리(C/F) = 10%인 10년짜리 이표채를 생각해 보자. ▫ 매입가격이 주어졌을 때 이 채권의 만기수익률은 아래 방정식에 의해 구해진다. When P = $800, i = 13.81% $900, i = 11.75% $1,000, i = 10.00% ☼ Note) 매입가격(P)과 액면가(F)가 동일한 이표채의 경우 만기수익률 = 표면금리 (coupon rate) = 경상수익률(current yield)

10년 만기의 표면금리 10%인 이표채의 만기수익률 (액면가 = $1,000) 채권가격($) 만기수익률(%) 200 53.05 300 37.17 400 28.74 500 23.27 600 19.32 700 16.27 800 13.81 900 11.75 1,000 10.00 1,100 8.48 1,200 7.13 1,300 5.94 1,400 4.86 1,500 3.87

채권가격과 만기수익률간의 역의 관계 10년 만기, 표면금리 10%인 이표채 (액면가 =$1,000) 구입가격= 액면가일 경우, 만기수익률 (%) 채권 가격($) 구입가격= 액면가일 경우, 만기수익률 = 표면금리

☼ 핵심요약: 1) 채권가격과 만기수익률은 서로 역의 관계이다. (채권가격 하락 시 만기수익률 상승, 채권가격 상승 시 만기수익률 하락) 2) 채권가격이 액면가와 같을 경우, 만기수익률은 곧 표면금리와 같다. 3) 채권가격이 액면가 이하일 경우, 만기수익률은 표면금리보다 높고, 채권가격이 액면가 이상일 경우, 만기수익률은 표면금리보다 낮다. • 이표이자를 주기적으로 지급하되 영원히 원금상환을 하지 않는 (즉, 만기가 없는) 채권을 고려해보자. ▫ 이러한 채권을 콘솔(consol) 또는 영구채(perpetuity) 라고 부른다.

▫ 영구채의 만기수익률을 구해보면… ▫ 영구채의 만기수익률은 이표이자를 가격으로 나눈 것, 즉, 경상수익률과 같다. ▫ 따라서 영구채의 가격은 이표이자를 이자율 (즉, 만기 수익률)로 나눈 것과 같다.

기타 유용한 이자율 경상수익률 (Current Yield) ic = C P = 이표채 가격 연간 이표이자 • (앞에서 살펴본 바와 같이) 이표채에만 적용되는 이자율 • 이표채 만기수익률은 컴퓨터 프로그램 등을 이용하지 않고 손으로 계산하는 것은 대개 불가능. 따라서 종종 이표채 만기수익률의 근사치로 경상수익률을 사용. • 만일 채권이 액면가격에 거래되고 있다면 (즉, P = F), 경상수익률 = 표면금리 = 만기수익률

• 채권가격이 상승할 경우, 경상수익률과 만기수익률은 하락하고 채권가격이 하락할 경우 이들은 상승한다. ☼ 핵심요약: 1) 경상수익률은 a) 채권가격이 액면가에 근접할수록 b) 채권의 만기가 길수록 만기수익률에 보다 가깝다. 2) 경상수익률은 a) 채권가격과 액면가의 차이가 클수록 b) 채권의 만기가 짧을수록 만기수익률에서 보다 멀어진다. 3) 경상수익률과 만기수익률은 언제나 같은 방향으로 움직인다. 4) 영구채의 경우 경상수익률은 만기수익률과 정확히 일치한다.

할인계산법에 의한 수익률 (yield on a discount basis) • 미국 국채 딜러들이 재무성증권(T-bills)에 대한 이자율을 따질 때 즐겨 사용 • 계산이 간편하여 재무성증권의 만기수익률 에 대한 근사치로 사용되며 할인수익률(discount yield)이라고도 함. idb = F - P F X 잔여만기일수 360 • 액면가 $1000인 90일 만기 재무성증권의 현재 가격이 $970라고 할 때 만기수익률은? 할인수익율은? ▫ 재무성증권의 만기가 1년이 아닐 경우 만기수익률 계산공식에서 우변의 분모를 적절히 수정해야 한다.

▫ i = 연 이자율이라고 두면 90일에 대한 기간이자율 = ▫ 현 시가 = $970, 미래금액의 현재가치 = ▫ 이 둘을 같다고 놓고 i에 대해 풀면 만기수익률이 구해진다.

< ▫ 한편 할인수익률은 할인수익률 < 만기수익률 임을 알 수 있다. 할인수익률 < 만기수익률 임을 알 수 있다. • 모든 할인채(무이표채)의 할인수익률은 항상 만기수익률보다 작다. < 할인수익율 만기수익률 ▫ 두 가지 이유 액면가가 구입가보다 항상 크므로 ☼ 만기가 길수록 구입가격과 액면가의 차이는 커진다.

2) 365는 360보다 더 크므로 • 만기수익률과 마찬가지로 할인수익률도 또한 채권가격과 역의 관계임. ☼ 앞의 공식에서 P는 양의 값이므로 P가 상승하면, idb는 하락 (만기수익률 또한 하락) P가 하락하면, idb는 상승 (만기수익률 또한 상승) ☼ 핵심 정리: 1) 할인수익률은 항상 만기수익률을 저평가 (할인채의 만기가 길수록, 저평가 정도가 심해짐) 2) 할인수익률과 만기수익률은 항상 같은 방향으로 움직임.

신문(Wall Street Journal)의 채권시세란 경상수익률 yield to maturity based on asked price (매도호가를 토대로 계산한 만기수익률) 매수호가 매도호가 중기국채 인플레 조정형 국채 표면금리 2003년 1월 22일 국채 1: 2003년 만기 4와 ¾짜리 국채 = Treasury’s of 2003 1,000달러인 채권 가격이 1000달러 62.5센트임을 의미 매수호가 = 100: 02 = = 100.0625 ≒ 액면가

Treasury Bill (재무성 단기증권; 단기국채) Treasury Bond (재무성 채권 = 재무성 증권) Treasury Bill (재무성 단기증권; 단기국채) Treasury Note (재무성 중기채권; 중기국채) Treasury Bond (재무성 장기채권; 장기국채) : 만기 1년 이내 : 만기 1년 – 10년 : 만기 10년 – 30년 • 매수호가 vs. 매도호가: 채권딜러들은 매수호가(bid price)에 사서 이보다 약간 높은 매도호가(asked price)에 파는데 그 차이는 수수료 수입의 원천임. 반대로 투자자들은 매도호가에 사서 딜러에게 팔 때는 매수호가에 팔게 된다.

매도 할인수익률 (매도호가로 계산한 할인수익률) 매수 할인수익률 (매수호가로 계산한 할인수익률)

이자율 vs. 수익률 수익률 (Rate of Return) • 모든 투자는 두 가지 경로를 통해 수익을 창출: 1) 경상수익 2) 가격변동에 따른 매매차익, 즉, 자본이득 • 채권의 수익률: 채권 매입가격에서 차지하는 (이표이자 + 시가 변화분)의 비율로 표시 RET = Pt+1 - Pt Pt = C C + Pt+1 - Pt + 경상수익률(ic) 자본이득률(g)

▫ RET = t시점에서 t+1시점까지 보유채권의 수익률 C = 이표 이자, Pt = t시점의 채권가격, Pt+1 = t+1시점의 채권가격 • 투자자들은 종종 만기 이전에 채권을 매도하므로 채권의 이자율과 수익률 구분은 매우 중요 • Pt 가 t+1시점까지 고정(즉, Pt+1 = Pt)돼 있지 않은 이상 채권 수익률(RET)은 이자율(가령, 경상수익률)과 일치하지 않음. 액면가 $1,000이고 이표이자가 $100 (즉, 표면이율 10%)인 이표채를 $1,000를 주고 샀다고 가정하자. ◦ 현재 시점의 이 채권의 만기수익률은? ▫ 구입 가격 = 액면가이므로, 만기수익률 = 표면금리 = 경상수익률 = 10%

◦ 만약 가격이 1년 후 $1,200로 오른다면, 이 채권의 수익률은? ◦ 1년 후 채권가격이 $800로 떨어진다면? ▫ 이 가격에 채권을 팔지 않더라도 “장부상의 손실 (즉, 평가손: paper loss)”을 입게 된다.

만기구조와 채권수익률의 변동성 잔여만기가 상이한 액면가 $1,000, 표면금리 10%인 아래 6가지 채권을 생각해 보자. (단, 모두 액면가에 매입했다고 가정한다.) 현재 시점 기준 잔여만기 내년 시점 기준 잔여만기 채권 A 30 29 채권 B 20 19 채권 C 10 9 채권 D 5 4 채권 E 2 1 채권 F

▫ 구입 가격 (P) = 액면 가격 (F)이므로, 만기수익률은 경상수익률과 같고, 경상수익률은 표면금리와 같다. ▫ 즉, 이 모든 채권들에 대해서 만기수익률 = 경상 수익률 = 표면금리 = 10%. 이제 1년 후, 즉, 내년에 이자율이 10%에서 20%로 상승한다고 가정해보자. 이 채권들의 1년 보유 수익률은 얼마인가? ▫ 이자율이 상승함에 따라, 채권가격은 하락하게 된다. ▫ 채권 F의 내년 채권 가격은 얼마인가? 액면가를 만기 상환하므로 채권 F의 내년도 가격은 액면가와 같아진다. 즉, P = F = $1,000 이다. (채권 F의 경우, 만기 = 보유기간임을 주목할 것)

▫ 채권 E의 내년 가격은? 채권 E의 내년까지 잔여 만기는 1년이므로 ▫ 채권 D의 내년 가격 (잔여 만기 4년) ▫ 채권 A의 내년 가격 (잔여만기 29년)

이자율이 10%에서 20%로 상승했을 때 표면금리 10%인 만기가 서로 다른 채권들의 1년 보유 수익률 비교 (1) 매입시 잔여만기 (2) 최초 경상 수익률 (%) (3) 최초 가격 ($) (4) 1년 후 가격 (5) 자본 이득률 (%) (6) 수익률 (2+5) (%) A 30 10 1,000 503 -49.7 -39.7 B 20 516 -48.4 -39.4 C 597 -40.3 -30.3 D 5 741 -25.9 -15.9 E 2 917 -8.3 +1.7 F 1 0.0 +10.0 ( 모두 액면가격에 구입되었으므로 최초 만기수익률은 모두 10%임)

1) 잔여만기와 보유기간이 동일한 채권의 경우에만 수익률 = 최초 만기수익률임. ☼ 핵심 정리: 1) 잔여만기와 보유기간이 동일한 채권의 경우에만 수익률 = 최초 만기수익률임. 2) 잔여만기 > 보유기간인 채권들은, i↑ ⇒ P↓  하여 자본손실이 발생. 3) 잔여만기가 길수록, 이자율 변화에 따른 채권가격과 수익률 변화가 더 큼. 4) 최초 채권 이자율이 높더라도, i↑하면 (가격하락으로) 수익률은 (-)가 될 수 있음. ☼ 결론: 1) 만기가 긴 채권일수록 가격과 수익률이 더 크게 변하고 따라서 이자율 변동위험이 더 크다. 2) 보유기간이 잔존만기와 같을 경우 이자율 위험은 0이다.

실질 이자율 vs. 명목 이자율 명목 이자율 (Nominal Interest Rate) • 인플레이션을 감안하지 않은 이자율 • 은행 등 금융기관에서 그리고 신문지상에서 거론되는 모든 이자율 • 지금까지 논의한 모든 이자율(만기수익률, 경상수익률 등)도 명목 이자율. 실질 이자율 (Real Interest Rate) • 인플레이션을 감안한 이자율 • 따라서 직접 관찰되지 않지만 자금조달의 실제비용을 보다 정확히 반영하는 지표.

▫ 실질이자율이 낮을 경우 자금 차입자는 (빚을 청산하기 더 쉬우므로) 이익을 보고 자금 대부자는 (이자의 실질 가치가 감소하므로) 손실을 보므로 자금의 차입 인센티브는 커지고 대부 인센티브는 작아짐. (실질이자율이 높을 경우 그 반대) $M를 1년간 대부하는 경우를 생각해 보자. 물가상승률 = π, 명목 이자율 = i, 연초의 가격수준 = P라고 하면, 1년 후 대부자는 M(1+i)를 돌려받지만 P(1+ π)의 물가수준에 직면하게 된다. ▫ 처음에 보유했던 실질가치: 1년 후 돌려받게 된 실질가치: ▫ 빌려준 대가로 얻게 된 실질 순이익의 크기는 초기실질 가치에 비해 얼마나 큰가?

실질이자율 관계식의 도출 윗식을 i에 관해 풀면,

☼ 정확한 관계식 • 물가가 안정적이라면 π 는 아주 작은 값이고 i 또한 작은 값일 가능성이 높다. π와 i 둘 다 작은 값이라면 r·π는 훨씬 더 작은 값이므로 우리는 r·π = 0이고 따라서 1/(1+ π) = 1이라고 가정할 수 있다. ☼ 근사 관계식 (실질 이자율 = 명목 이자율 - 물가상승률) (명목 이자율 = 실질 이자율 + 물가상승률)

이자율 관계식에 대한 또 다른 접근 대부 거래 접근법 • 차입자와 대부자 모두 대부기간 동안의 물가상승률이 π×100%일 것으로 믿고 실질이자율 r에 동의했다고 가정하자. • 대부금액이 A라면, 자금대부자는 실질가치로 따진 원리금 A+Ar에 물가상승으로 인한 실질가치손실 보상금 (A+Ar)π를 합친 금액을 돌려 받게 될 것이다. 따라서 대부자의 총수령액은 A + Ar + (A+Ar)π = A(1+r)(1+π)가 될 것인 바 이것은 자금차입자가 기꺼이 지불하고자 하는 금액에 해당한다. • 이것을 차입자의 명목 이자지급금 A(1+i)와 같다고 두면: ▫ A(1+i) = A(1+r)(1+π), 따라서 1+i = (1+r)(1+π)가 되고 이를 i에 대해 풀면 아래의 식이 얻어진다:

현재 가치 접근법 • 차입자와 대부자가 실제로 합의 보는 것은 다름 아닌 대부기간 종료시점에 대부자가 수령하게 될 원금과 명목이자의 현재가치라고 볼 수도 있음. ▫ 실질가치로 따진 대부기간 말 원리금 = A+Ar 대부기간 말 원리금 A(1+i)의 현재 가치 = 둘을 같다고 놓으면: 이로부터 (1)과 동일한 결과를 얻게 됨.

피셔 방정식 (Fisher Equation) • 현재시점의 물가상승률(π)이 정확히 얼마인지 알 수 없으므로 현재 시점의 실질 이자율도 알 수 없고 따라서 우리는 아래의 두 실질 이자율을 구별할 필요가 있다. 사후적 실질 이자율 사전적 (기대된) 실질 이자율 • 사후적 실질 이자율(“실현된” 실질 이자율)은 실제 인플레율을 사용해 산출되며 자산의 보유기간 종료 이후에나 관찰되는 이자율이다.

• 등식 (2)는 흔히 피셔 방정식으로 불린다 ☼ 피셔 방정식 • 피셔 방정식은 명목이자율이 실질 이자율과 기대 인플레이션율(πe)의 두 구성요소의 합과 같음을 나타낸다. 응용 1: 피셔 효과 실질이자율에 영향을 미치는 요소들에 아무런 변화가 없다고 가정하면, 기대인플레률이 높을수록 명목이자율도 높아진다.(반대도 성립) ▫ 피셔효과는 실제 데이터를 통해 잘 성립됨이 확인됨.

피셔 효과의 성립 (미국) 주) 여기서 기대인플레는 과거 인플레율과 이자율의 함수라는 가정을 토대로 추정된 자료임. Source: Expected inflation calculated using procedures outlined in Frederic S. Mishkin, “The Real Interest Rate: An Empirical Investigation,” Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 15 (1981): 151–200. These procedures involve estimating expected inflation as a function of past interest rates, inflation, and time trends. 주) 여기서 기대인플레는 과거 인플레율과 이자율의 함수라는 가정을 토대로 추정된 자료임.

응용 2: 디플레가 장기화될 경우 실질차입비용 상승을 가져와 취약한 상태의 경제를 더욱 더 침체로 몰아넣을 수 있다. ▫ 응용 3) 실질이자율이 높을수록, 명목이자율도 더 높다. ▫ 높은 성장률 (따라서 높은 투자의 기대수익률)을 보이는 개발도상국의 경우 실질이자율이 보다 높이 형성되는 경향이 있음. 성장률이 보다 낮은 선진국의 경우 상대적으로 실질이자율이 보다 낮게 형성됨.

정형화된 사실들(Stylized Facts) 명목 이자율의 국제비교로부터 도출된 사실들임. ▫ 고금리 경제 vs. 저금리 경제 1) 인플레율이 높을수록, 이자율도 높다. 2) 성장률이 높을수록, 이자율도 높다. 3) 실업률이 낮을수록, 이자율도 높다.

금융혁신의 2가지 최근 사례 • 인플레가 가져오는 가치파괴로부터 자금 대부자를 보호하기 위해 고안된 것들임. ▫ 변동금리부 주택저당대출 인플레율 또는 다른 기준금리 변동에 따라 주기적으로 이자율이 조정됨. ▫ 인플레 조정형 재무성 증권 TIPS (Treasury Inflation Protection Securities; 재무성 물가상승 보호증권) : 인플레에 관계없이 약정된 실질이자율을 보장.

실질 이자율 vs. 명목 이자율: 데이터 보기 • π 상승이 반드시 즉각적인 명목 이자율 상승을 가져오지는 않는다.(따라서 실질이자율은 생각만큼 그렇게 안정적이지 못함) ▫ 인플레 상승속도가 명목이자율보다 더 빠르게 가속화할 경우, 실질 이자율은 (-)값을 보이게 된다. • 실질 이자율 변동의 역사 ▫ 50’s & 60’s: 낮은 수준에서 안정적 ▫ 70’s : 아주 낮은 수준 (70년대 중 후반 음의 값 보임) ▫ 80’s: 80년대 초반 최고점, 이후 하락세 ▫ 90’s: 낮은 수준에서 안정적 ▫ Early 00’s: 아주 낮은 수준으로 하락. ▫ Mid to late 00’s: 회복세 보이다 금융위기 후 급락

실질 이자율 vs. 명목 이자율 (3개월 만기 재무성증권 이자율: 1943-2011) Sources: Nominal rates from www.federalreserve.gov/releases/H15 and inflation from ftp://ftp.bis.gov/special.requests/cpi/cpia.txt. The real rate is constructed using the procedure outlined in Frederic S. Mishkin, “The Real Interest Rate: An Empirical Investigation,” Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy 15 (1981): 151–200. This procedure involves estimating expected inflation as a function of past interest rates, inflation, and time trends and then subtracting the expected inflation measure from the nominal interest rate.

부록 몇 가지 추가사항 ♦ 앞에서 충분히 설명하지 못했거나 별도의 설명이 필요한 몇 가지 유용한 개념들을 따로 정리하였음.

무한등비수열의 합 부록 A 무한등비수열 (Infinite Geometric Series) • 경제학에서 간혹 규칙성을 갖고 무한히 계속되는 숫자의 나열을 다룰 때가 있다. • 맨 앞의 숫자(초항)를 a라고 할 때 여기에 r을 반복적 으로 곱해서 무한히 많은 항들이 연이어 만들어질 경우 이를 ‘무한등비수열’이라고 한다. • 아래와 같은 무한등비수열을 생각해 보자. a, ar, ar2, ar3, ar4 …… (a = 초항 , r = 공비) 만약 r이 1보다 작은 수라면 이 수열의 합(‘무한등비 급수’라고 부른다)은 특정한 값에 수렴한다.

• Let S = a + ar + ar2 + ar3 + …… (1) • 그렇다면 이 무한 등비 급수의 합은? • Let S = a + ar + ar2 + ar3 + …… (1) Then rS = ar + ar2 + ar3 + ar4 + …… (2) • (1)식에서 (2)식을 빼면 , (1-r)S = a 가 되고 따라서 • 응용 : 1) 영구채의 만기수익률 계산 2) 은행의 파생적 예금창조 공식 도출 3) 케인즈의 단순소득모형에서 독립적 지출승수 도출

부록 B 70의 법칙 • 매년 i X 100%의 일정한 성장률을 보이는 경제변수 A의 크기가 지금의 두 배로 늘어나는데 몇 년 (n)이 걸리나? ☞ 가령 매년 5%씩 물가가 상승할 경우 현재의 물가수준 P가 그 두 배인 2P로 되는데 몇 년이 걸리느냐를 생각해보자. 2년 후에는 P(1+0.05) + P(1+0.05)X0.05 = P(1+0.05)2 가 된다. 이것은 복리로 이자 지급되는 예금 P원의 2년 후 원리금 구하는 경우와 계산상 동일하다. • 변수 A는 n년 후 A(1+i)ⁿ의 크기로 성장할 것이므로 A(1+ i)n = 2A (즉, A의 n년 후 미래가치 = 현재가치의 2배) 라고 두고 이 식을 n에 관해 풀면 정확한 n의 값, 즉, 2A로 늘어나는데 걸리는 햇수가 구해진다.

2배로 커지는데 걸리는 시간은 현재의 변수 크기와 무관하고 오로지 성장률에 달려 있음을 알 수 있다. ☼ 계산과정: ▫ 양변을 A로 나누면 (1+ i)n = 2가 된다. 따라서 2배로 커지는데 걸리는 시간은 현재의 변수 크기와 무관하고 오로지 성장률에 달려 있음을 알 수 있다. ▫ 양변에 자연대수를 취하면, n·ln(1+i) = ln2 가 되고 이로부터 n = 0.693/ln(1+i) 을 얻게 된다. ▫ 만일 i = 4%이면 n = 0.693/ln1.04 = 0.693/0.039 = 17.67년 이다. ▫ 여기서 주목할 것은 2배로 느는데 걸리는 햇수(n)와 연 증가율(%)의 곱은 “대략 70근처”라는 점이다. 따라서 70에서 연 % 증가율을 나눠주면 (컴퓨터 등을 사용하지 않고서도) 2배로 느는데 걸리는 햇수의 근사치를 바로 구할 수 있다.

☼ 대수(log/logarithm)와 자연대수(natural logarithm) ▫ 우리는 103 = 1000임을 아는데 여기서 10을 밑수(base number), 3을 지수(exponent)라고 한다. ▫ 만일 지수에 초점을 맞추면 3 = log101000으로 바꾸어 표시할 수 있는데 이는 1000을 얻기 위해서는 밑수 10을 몇 제곱하면 되는가를 표시한다. ▫ 10을 밑수로 하는 이러한 로그를 상용로그라고 하며 만일 10000에 상용로그를 취하면 log1010000 = log10104 = 4가 된다. 즉, 로그는 큰 숫자들을 작은 숫자로 변환하여 다룰 수 있게 해 준다. ▫ 일반적으로 logax = m 이라고 놓으면 am = x 가 되는데 밑수로는 10이 많이 사용된다.

로그의 성질을 이용하면 이는 nln(1+ i) = ln2 로 고쳐 쓸 수 있다. ▫ 한편 무리수(즉, 유리수와는 달리 나눠 떨어지지 않는 수) 중에서 약 2.718….의 값을 가지는 특별한 무리수 가 있는데 이를 e라고 부른다. ▫ e를 밑수로 하는 로그를 자연대수라고 하고 loge 대신에 보통 ln으로 표시한다. ▫ 로그의 중요한 성질 중에서 lnxy = lnx + lny 이고 lnxn = nlnx 임을 알아두자. (증명은 수리경제학 책 참조) ▫ 5쪽에서와 같이 (1+ i)n = 2 가 주어졌을 때 이 식의 양변에 자연대수를 취하면 ln(1+ i)n = ln2가 되고 로그의 성질을 이용하면 이는 nln(1+ i) = ln2 로 고쳐 쓸 수 있다. ▫ ln2 ≈ 0.693 인데 이는 엑셀에서 구해도 되고 손 계산기(아무리 싸구려 계산기라도 로그함수 기능 있음)를 이용해도 된다.

• 즉, 70의 법칙 (또는 72의 법칙)은 어떤 경제변수가 지금의 두 배 크기로 느는데 걸리는 햇수는 70 (또는 72)에서 그 변수의 연 증가율을 나눠 준 것과 비슷한 값이라는 것. • 그러나 아래 도표에서 보듯 정확한 계산을 통해 얻는 수치와 다소 차이가 있기 때문에 연성장률이 2%에 가까울 경우 70의 법칙을 사용하고 8%에 보다 가까울 경우 72의 법칙을 사용함으로써 오차를 약간 줄일 수 있다.

이자율과 원금이 2배로 느는데 걸리는 시간 i(%) 정확한 n값 i × n 2% 35.0 70.0 3% 23.45 70.3 23.3 4% 17.67 70.7 17.5 5% 14.21 71.0 14.4 6% 11.90 71.4 11.7 7% 10.24 71.7 10.3 8% 9.01 72.1 8.8 9% 8.04 72.4 7.8 10% 7.27 72.7 7.0 12% 6.12 73.4 5.8 15% 4.96 74.4 4.7 20% 3.80 76.0 3.5

70의 법칙의 활용 2억 1억

2억 1억

EX 2) 연 이자율이 2%인 저축예금은 약 35년 뒤에 원금이 두 배로 늘어난다.

부록 C 주식과 현재 가치 • 그렇다면, 주식의 “적정” 가격은 ? 미래의 모든 배당소득 흐름의 현재 가치 • 채권의 “적정” 가격은? 채권이 창출하는 모든 이자소득 흐름의 현재가치 : O.K.! • 그렇다면, 주식의 “적정” 가격은 ? 미래의 모든 배당소득 흐름의 현재 가치 (흔히 말하는 주식의 내재가치 개념임.) ☼ 이론적으로는 O.K.이지만 실제로 이 개념은 유용하게 사용되지 못하는데 그 이유는 1) 기업의 미래 수익과 미래 배당을 확실하게 알 지 못할 뿐만 아니라 2) 주식과 채권의 위험은 동일하지 않기 때문.

부록 D 주식과 금리 • 주식은 이자를 지급하지 않는데도 불구하고 왜 주가는 이자율 변화에 민감하게 반응하나? : 주식과 채권은 서로 대체관계에 있기 때문. ▫ 금리가 오르면, 채권을 사는 사람들이 더 많아지므로 주식수요는 감소하고 주가는 하락. ▫ 금리가 내리면, 채권을 사는 사람들이 더 적어지므로 주식수요는 증가하고 주가는 상승. • 또한 금리와 주가 사이의 역관계를 다음과 같이 설명할 수도 있다. ▫ 금리가 오르면 주식이 가져다 주는 배당소득의 현재가치가 하락하고 따라서 주식의 수요와 가격이 하락한다.

복리이자율 좀 더 자세히 보기 부록 E 주기 이자 • 만일 연이자율이 “i”이고 이자가 1년에 m번 복리계산 ▫ 주기(period) : 이자 지급 사이의 시간 간격 ▫ 주기 이자(periodic interest) : 매 주기 지급된 이자 ▫ 복리계산회수(Frequency of compounding: m) : 1년 동안의 이자 지급 횟수 • 복리이자 지급시점 사이의 시간 간격 (즉, 주기)이 0에 근접할 경우 복리계산이 연속적(continuous)이라고 한다.

• 보편적인 이자주기와 해당 주기이자율 주기 m 주기이자율 If i = 12% 연 1 i 12% 반기 2 i/2 6% 분기 4 i/4 3% 월 12 i/12 1% 일 365 i/365 0.033%

연수익률 (APY; Annual Percentage Yield) • 1 년 동안의 총이자지급액 대 원금의 비율을 말하며 실효이자율 또는 복리이자율이라고도 함. 상이한 복리이자율을 비교하는 수단으로 활용됨. • 이자가 1년에 m번 복리 계산될 경우 연수익률 구하는 공식은 아래와 같다. ☼ 여기서 만일 m=1이면 실효이자율(APY)은 i x 100 이 되는데 이는 다름 아닌 흔히 말하는 ‘연 이자율’ 혹은 ‘명목이자율’이다.

앞에서 살펴본 연수익률 공식은 어떻게 도출된 것일까? 연 이자율이 “i” 인 저축 예금에 $A가 투자되었다고 하자 • 만일 1년에 2번 복리 이자가 붙는다면, 6개월 후 원리금은 이고 1년 후 원리금은 이 된다. 이자 증식과정을 표로 나타내면 아래와 같다. 원금(P) 이자(I) 기말잔액 (P+I) 6 개월 후 A 12 개월 후

• 따라서 이 경우 연수익률(APY)은 에서 분모, 분자를 똑같이 A로 나누어주면 결국 이 된다.

• 만일 1년에 3번 복리이자가 붙는다면 연말의 원리금은 이 되고 따라서 연수익률(APY)은: 이 된다. 원금(P) 이자(I) 기말잔액(P+I) 4 개월 A 8 개월 12 개월

• 만일 복리이자지급 횟수가 1년에 m번이라면 어떨까? 연말의 원리금은 이 되므로 연수익률은: 이 된다. 원금 A, 복리횟수 연 m번 일 때

• 연말의 원리금 크기는 m이 무한대(∞)로 수렴할 때 • 이 때 m의 값이 어마어마하게 큰 수라면? 즉, 이자가 연속 해서 (매 순간) 복리계산 되어진다면 연말의 원리금 크기는? 연수익률 APY는? 우선 연말의 원리금 크기부터 구해보기로 하자. • 연말의 원리금 크기는 m이 무한대(∞)로 수렴할 때 은 어떤 값으로 수렴하느냐의 문제에 대한 답과 같다. 즉, 아래 극한값의 해(解)가 된다. 여기서 의 값은 도대체 어떻게 구하나?

이 값을 구하기 위해 우선 라 가정한다. 그러면 m→∞일 때, h→∞ 임을 알 수 있다. 또한 이고 m = h x i 가 된다. 따라서 로 고쳐 쓸 수 있다. h가 무한대로 수렴할 때 의 극한값은 어떻게 구할 수 있을까?

• 이와 같이 h에 점차 무한히 큰 값을 대입해 나가면 결국 는 대략 2.718 근처의 값에 수렴하게 된다. 는 대략 2.718 근처의 값에 수렴하게 된다. 즉, 가 된다. 흔히 e라고 불리는 이 무리수는 자연대수의 밑수로 사용되기도 하는데 금융과 경제에서 중요한 의미를 갖는다.

• 결국 연말의 원리금 크기는 따라서 가 된다. 이다. 결론: 원금이 A원이고 연이율이 i일 때 연속적 복리 이자계산이 이루어질 경우 1년 후 원리금은 원으로 불어난다.

이제 이자가 연속해서 복리 계산되는 상황에서의 APY를 구해보자. 이 경우 APY는 아래 식에서 m이 무한대로 수렴할 때의 극한값이다. 즉, APY = 복리 이자지급 빈도수가 무한대일 경우

돌발퀴즈 • 원금이 A원이고 연 이자율이 i일 때 연속적 복리이자 계산이 이루어질 경우 1년 후 원리금은 Aei 원이 된다. 원금이 1원이고 연이율이 100％일 때 연속적 복리 이자계산을 한다면 1년 후 원리금은 얼마가 되는가? 돌발퀴즈 • 원금이 A원이고 연 이자율이 i일 때 연속적 복리이자 계산이 이루어질 경우 1년 후 원리금은 Aei 원이 된다. • 따라서 구하고자 하는 답은 Aei = 1x e1 = e ≈ 2.718원 이다. 결론: e는 원금이 1원이고 연이율이 100%일 때 연속적 복리계산에 의한 1년 후 원리금과 같다.

명목이자율이 5%일 때 복리계산 횟수의 효과 연 수익률(APY) m 1 2 4 12 365 I 복리계산횟수 5% 연도별 반기별 명목이자율이 5%일 때 복리계산 횟수의 효과 I 복리계산횟수 m 연 수익률(APY) 5% 연도별 1 반기별 2 분기별 4 월별 12 일별 365 연속 매순간

어떤 미국 시중 은행의 소액정기예금(소액CD) 이자율 시세 (2004년 9월) 이자율 시세 (2004년 9월) 예금 종류 연수익률 이자율 복리여부 및 이자지급 주기 최소 요구 예금 7-31 day 0.85 단리, 만기일시 $20,000 91 day 0.90 $2,500 6 month 1.00 1 year 1.10 1.095 복리, 분기 $500 18 month 1.20 1.195 복리, 분기 $1,000 2 year 1.30 1.293 3 year 1.75 1.739 4 year 2.00 1.985 5 year 2.25 2.233

만약 연12%의 이자율에 월 복리 계산 또는 반년 복리계산 중 하나를 선택해서 돈을 빌릴 수 있다면, 어느 것을 택할 것인가 만약 연12%의 이자율에 월 복리 계산 또는 반년 복리계산 중 하나를 선택해서 돈을 빌릴 수 있다면, 어느 것을 택할 것인가? 이유는? ☼ 복리계산 횟수가 빈번할수록 APR이 더 커지고 따라서 1년 동안의 총 이자지급금도 더 커진다. ▫ 채권자나 예금 보유자는 복리계산 횟수가 많으면 많을수록 더 좋고 복리 횟수가 연속일 때가 가장 유리하다. ▫ 채무자는 복리계산 횟수가 적으면 적을수록 좋고, 복리계산이 연속적일 때 가장 불리하다.

만일 귀하의 회사 사장이 당신에게 급여를 하루에 1 센트로 삭감하는 대신 날마다 이전 급여의 배를 지급(내일 2 센트, 모래 4 센트…)할 것을 제안한다면 당신은 이 제안을 받아들일 것인가? 둘째 날 급여 = 셋째 날 급여 = n번째 날 급여 = 14번째 날 급여 = $81.92 28번째 날 급여 = $1.34 million 연 이자율 = 일 이자율 x 365 = 100% x 365 = 36,500% APY =

복리이자 원리금 공식 • 원금이 A원이고 복리 이자 지급 횟수가 1년에 m번일 때 n년 후의 원리금 크기는?

연3회 복리이자 지급하는 예금에 투자된 원금 A원의 2년 후 원리금 12개월 8개월 A 4개월 24 개월 20 개월 16 개월 기말잔액(P+I) 이자(I) 원금(P)

연이율 (APR; Annual Percentage Rate) • Mortgage APR: 연방 진실대여법(The Federal Truth in Lending law)은 주택저당대출회사들이 이자율을 광고할 때 반드시 APR을 밝히도록 하고 있다. • 주택저당대출 APR은 각종 수수료와 제반 비용을 감안해 계산되는 이자율임. • 문제점: 공통적인 계산방법이 정의되지 않은 상태여서 수수료와 제반 비용 중 어떤 것들을 포함시키느냐에 따라 대출기관별, 대출상품별 APR 이자율이 차이를 보이고 있음.

빚600만원 → 1억6000만원 부록 F 고금리의 폭발성 사례 하나 C일보 2004년 3월 17일 1년 5개월사이에 폭발적으로 증가 하루1% 高利와 ‘카드깡’ 때문 익산 사채업자에 영장 남편 몰래 카드 빚을 갚으려고 사채업자를 찾았던 가정주부의 사례임. 하루 1% = 월 30% = 연 360%

우리나라의 금리 상한제도 ▶ 2002년 10월부터 ‘대부업법’(=대부업의 등록 및 금융이용자 보호에 관한 법률) 시행하면서 법정 이자상한선 = 연 66%(월 5.5%)로 함. (대부원금 중 3천만 이하까지의 금액에 대한 상한선이며 연체이자와 각종수수료 포함) ▶ 2007년 9월 이자상한선을 49%로 인하. ▶ 2010년 7월 이자상한선을 44%로 인하. ▶ 2011년 6월 이자상한선을 39%로 인하. ▶ 현재 이자상한선을 추가로 인하해야 한다는 주장이 제기되고 있음.

▶ 법정 최고금리를 넘겨 실제로 이자를 받으면 영업정지, 등록취소 및 형사처벌까지 가능 ▶ 무허가 사채업자의 경우: 연 400% - 800% 정도의 어마어마한 고리대금업을 하는 사례가 많은 것으로 알려져 있음. (사채업자 입장에서는 지급불능위험이 매우 높은 사람들을 상대로 돈 장사 하는 것이므로 그 만큼 높은 risk premium을 요구해야 한다는 것임.)

원금 600만원의 폭발 (금리 하루 1%일 때) 월 30% (단위: 억원) (월) 불과 12개월 만에 600만원이 약 1억 4천만으로 증가

원금 600만원의 폭발 (금리 하루 1%일 때) (단위:억원) 759억 584억 449억 345억 (월) 3년 후면 600만원이 759억이라는 천문학적인 금액으로 늘어나게 됨.

• 가령, 600만원의 자금으로 고금리 사채업을 한다고 해보자. 월1%의 고리를 적용하면 이 돈은 불과 36개월 만에 759억으로 불릴 수 있다는 단순계산이 나온다. • 만약 6,000만원의 자금으로 폭력조직을 고용해 고리의 무허가 사채업을 100% 성공적으로 운영한다고 하면… 3년 만에 7590억원 이라는 어마어마한 자금을 굴릴 수 있게 된다는 단순 계산이 가능하다. • 이 중에서 절반 가까이 떼인다고 가정하고 폭력조직 운영경비가 매년 40억 정도 소요된다고 하더라도 3년 후에는 여전히 수천 억대의 사채자금을 굴릴 수 있게 된다는 계산이 나오는데….. 비록 극단적인 고금리 사례를 예로 들긴 했지만 대부업의 수익성이 (채권추심, 즉, 빚 회수가 원활하다는 전제하에서) 그만큼 엄청나게 높다는 것임. 왜 ‘쩐의 전쟁’이 벌어지는 지, 왜 그토록 대부업계의 광고활동이 집요한 지 이제 이해할 수 있을 것으로 봄.

초고금리 사채의 경우 채권/채무 관계의 일반적인 결말: 변제시: 부모친지의 대리 변제로 집안전체의 동반 궁핍화 또는 동반몰락 변제불능시: 공갈, 협박, 폭력, 납치,인신매매 등 강력범죄를 당하거나 끝없는 도피생활로 가정은 파괴되고 정상적인 삶을 살 수 없게 됨. • 결론: 사채는 절대 써서 안 되는 것임. 사채를 써야 할 상황에 근접하게 되면 과감하게 사업을 정리하거나 파산선고를 하는 것이 오히려 차후 회생가능성을 높이고 가족과 집안의 동반몰락을 피하는 길임.