수(數)와 표상(表象) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ 돌 = calculus 측량을 하는 것은 가장 기본적인 삶의 지혜. 나일강 가의 땅을 사람들에게 나누어 주어 경작하게 하고, 세금을 걷지만, 강이 자주 범람하여 땅이 변하는 것을 측정하던 이집트에서는 기하학이 크게 발전하였다. 기하학(geometry)이란 바로 “땅 측량”이다. 키, 몸무게, 혈압, 혈당, 빛의 밝기, 소리의 세기 등 측량하기 위해서는 기본 단위가 있어야 한다. 단위가 없는 양을 얻으려면 비(ratio, logos, 말씀, 이성)를 보면 된다. 수학(數學) = mathesis (배움, 정신수양) 셀 數, 이치 數 주판을 머리에 대고 밀면 아주 아프다. 주산 고단자는 주판이 필요 없다! 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

문자 마음의 표현 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

고대 이집트 문자 KLEOPATRA 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ 히에로클리프 Cf. Rosetta Stone in Code.ppt KLEOPATRA 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

음표 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

화폐 신용카드 조선시대화폐 - 상평통보 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

Velasquez (1599 ~ 1660) 시녀들 (Las Meninas) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ Diego Robriguez de Silva y Velasquez . (1599 ~ 1660) 스페인의 세비야에서 출생 벨라스케스의 대표작 '시녀들'은 오랫동안 그가 펠리페 4세와 그 왕비의 초상을 그리는 장면이라고 알려져 왔습니다. 그러나 화면 뒤쪽의 거울에 비친 국왕부부의 영상에 설명하기 어려운 점이 많고 벨라스케스가 국왕부부의 초상화를 그렸다는 문헌상의 기록 역시 찾아볼 수가 없어서 여러 가지 해석과 추측을 불러일으키고 있다는군요. (http://my.netian.com/~pamina99/) 시녀들 (Las Meninas) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

별 헤는 밤 윤동주(1917-1945) … 별 하나에 추억과, 별 하나에 사랑과, 별 하나에 쓸쓸함과, 별 하나에 동경과, 별 하나에 시와, 별 하나에 어머니, 어머니, … 별 헤는 밤 계절이 지나가는 하늘에는 가을로 가득 차 있습니다. 나는 아무 걱정도 없이 가을 속의 별들을 다 헬 듯합니다. 가슴속에 하나 둘 새겨지는 별을 이제 다 못 헤는 것은 쉬이 아침이 오는 까닭이요, 내일 밤이 남은 까닭이요, 아직 나의 청춘이 다하지 않은 까닭입니다. 별 하나에 추억과 별 하나에 사랑과 별 하나에 쓸쓸함과 별 하나에 동경과 별 하나에 시와 별 하나에 어머니, 어머니 어머님, 나는 별 하나에 아름다운 말 한 마디씩 불러봅니다. 소학교 때 책상을 같이 했던 아이들의 이름과, 패(佩), 경(鏡), 옥(玉) 이런 이국(異國) 소녀들의 이름과, 벌써 아기 어머니 된 계집애들의 이름과, 가난한 이웃 사람들의 이름과 비둘기, 강아지, 토끼, 노새, 노루, '프랑시스 잼', '라이너 마리아 릴케', 이런 시인의 이름을 불러 봅니다. 이네들은 너무나 멀리 있습니다. 별이 아스라이 멀듯이, 어머님, 그리고 당신은 멀리 북간도(北間島)에 계십니다. 나는 무엇인지 그리워 이 많은 별빛이 나린 언덕 위에 내 이름자를 써 보고 흙으로 덮어 버리었습니다. 딴은, 밤을 새워 우는 벌레는 부끄러운 이름을 슬퍼하는 까닭입니다. 그러나, 겨울이 지나고 나의 별에도 봄이 오면, 무덤 위에 파란 잔디가 피어나듯이 내 이름자 묻힌 언덕 위에도 자랑처럼 풀이 무성할 거외다. 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

동백아가씨 작사: 한산도 작곡: 백영호 노래: 이미자 작사: 한산도 작곡: 백영호 노래: 이미자 ♡ 헤일 수 없이 수많은 밤을 내 가슴 도려내는 아픔에 겨워 얼마나 울었던가 동백아가씨 그리움에 지쳐서 울다 지쳐서 꽃잎은 빨갛게 멍이 들었소 ♡ 동백꽃잎에 새겨진 사연 말 못할 그 사연을 가슴에 안고 오늘도 기다리는 동백아가씨 가신님은 그 언제 그 어느날에 외로운 동백꽃 찾아 오려나 작사:한산도 작곡:백영호 작사:한산도 작곡:백영호 작사:한산도 작곡:백영호 작사:한산도 작곡:백영호 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

必然之數 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

수(數) 이치(理致) 셈 헤아림 이성(理性) 비례(ratio) 말씀 (logos) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

삼각수 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

Tetractys 테트락티스, 테트리스 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

당구장 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

사각수 1 + 3 + 5 + 7 = 42 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

하 나 하나, 한, 하늘 천지인 주사위 점, 한자, 로마자 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

2 二 II 음양 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

삼위일체 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

Trivial (3) 3학 = Trivium (논리, 수사, 문법) 4과 = Quadrivium (산술, 기하, 천문, 음악) Ch.3 Pythagoras # 11 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

東 西 南 北 4 봄 여름 겨울 天圓地方 가을 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

5 십자가의 예수 못 피타고라스 학파 오행 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

6, 완전수, 창조 성 아우구스티누스(354-430): 여섯은 스스로 완전한 수이지, 하느님께서 엿새동안 천지를 창조하셨기 때문은 아니다. 오히려 거꾸로가 참이다. 이 수가 완전하기때문에 하느님께서 엿새동안 천지를 창조하셨다. 달이 28일 동안에 지구를 한바퀴 도는 것도 28이 완전수이기 때문이다. 6, 28, 496, 8128, 33550336, Euclid: 2^(n-1) * (2^n –1) is perfect if (2^n –1) is a prime Euler: They are all even perfect numbers. (2^n –1) are Mersenne numbers. 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

7 빨주노초파남보 도레미파솔라시 일월화수목금토 14세 28일 49세 7*7 = 49 재 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ 작명 14세 ~ 49세 월경 기간 28일 한달, 월경 주기 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

고주몽 이야기 √3 / 2 = 0.866025 2 sin(/7) = 0.867767 99.8% 1996년 11월 16일 조선일보에는 정칠각형을 작도하는 법이 ``삼국사기''이야기와 같이 나옵니다. … 고주몽이 부여에서 禮씨와 연애하며 언약하기를 ``그대가 남자를 낳거든 그 아이에게 이르되 `내가 유물(遺物)을 칠릉석(七稜石)위 소나무 아래 감춰 두었으니 능히 이것을 찾는 자가 내 아들이다'라고 하시오.'' 칠릉석은 일곱 모난 돌이다. 고주몽의 아들 유리가 어머니의 말씀을 듣고 일곱 모난 주춧돌 아래서 신표인 부러진 칼을 찾아내 부왕을 찾아가 고구려의 제2대왕이 된다. 고구려 이전에 칠각형의 주춧돌이 활용되었다는 기록이다. 이런 전통의 도형제작기술은 지금도 시공현장에서 활용하고 있다. … 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정7각형의 한 변의 길이는 2 sin(π/7) 입니다. 위 신문에서는 이 값 대신에 √3/2 를 구하였습니다. 이 두 값의 비는 (√3/2) / (2 sin(π/7)) ≒ 99.8 % 입니다. 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

하도와 낙서 하도 - 복희씨(伏羲氏) 때 황허 강[黃河]에서 나온 용마(龍馬)의 등에 그려져 있었다 낙서 - 우(禹) 임금이 홍수를 다스릴 때 낙수(洛水)에서 나온 신귀(神龜)의 등에 쓰여져 있었다 낙성대 앞의 벽 무늬 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

주세걸의 사원옥감(1303) 양휘 삼각형 (구장산법상해 1261) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

그리스 자 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

염주 염주 = 셈 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

주기율표 ♣ 1족 2족 3족 4족 5족 6족 7족 8족 9족 10족 11족 12족 13족 14족 15족 16족 17족 18족   1족 2족 3족 4족 5족 6족 7족 8족 9족 10족 11족 12족 13족 14족 15족 16족 17족 18족 1주기 1 H 2 He 2주기 3 Li 4 Be 5 B 6 C 7 N 8 O 9 F 10 Ne 3주기 11 Na 12 Mg 13 Al 14 Si 15 P 16 S 17 Cl 18 Ar 4주기 19 K 20 Ca 21 Sc 22 Ti 23 V 24 Cr 25 Mn 26 Fe 27 Co 28 Ni 29 Cu 30 Zn 31 Ga 32 Ge 33 As 34 Se 35 Br 36 Kr 5주기 37 Rb 38 Sr 39 Y 40 Zr 41 Nb 42 Mo 43 Tc 44 Ru 45 Rh 46 Pd 47 Ag 48 Cd 49 In 50 Sn 51 Sb 52 Te 53 I 54 Xe 6주기 55 Cs 56 Ba ★ 72 Hf 73 Ta 74 W 75 Re 76 Os 77 Ir 78 Pt 79 Au 80 Hg 81 Tl 82 Pb 83 Bi 84 Po 85 At 86 Rn 7주기 87 Fr 88 Ra ♣ 104 Rf 105 Db 106 Sg 107 Bh 108 Hs 109 Mt 주기율표 http://home.hanmir.com/~nsh1795/html/main.html 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

문자와 숫자 수메르인 : 남자=1, 여자=2, 많다=3 A=1, B=2, C=3, D=4 서울대학교: A=4, B=3, C=2, D=1, F=0 一二三四五六七八九十百千萬億兆京 壹 貳 參 로마자: I II III IV V VI VII VIII IX X C M (XLII = 42) 인도-아라비아 숫자: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 104 108 1012 1016 ½, 1/3, …, 0.1, 0.2, … √2  26 – Sechs und Zwanzig 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

문명과 수학 (00325 002210 42312 # 832 88124) 1 ㅣ 2 ㆍ 3 ㅡ 4 ㄱㅋ 5 ㄴㄹ 6 ㄷㅌ 7 ㅂㅍ 8 ㅅㅎ 9 ㅈㅊ * ㅇㅁ # ___ 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

큰 숫자와 작은 숫자  3         3 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

장학생 18명 배정 과 원생수 정원 배정 요구 원생수(9진법) M 98 1.9 2 1 118 S 60 1.1 66 P 187 3.6 4 227 C 206 3.9 248 B 228 4.4 273 E 161 3.1 3 188 계 940 18.0 18 1254 2003년 2학기 학부별 대학원생 수 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

메소포타미아 설형문자 BC 1900 -1600 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

메소포타미아 – 강사이의 땅 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

바빌로니아 숫자 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

Yale Babylonian Collection 7289 http://www.math.ubc.ca/people/faculty/cass/Euclid/ybc/ybc.html J. Dauben, The Universal History of Numbers and the Universal History of Computing, Notices of Amer. Math. Soc. 49 (2002), 32-38; 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

√2 =1.41421356… 1 2 5 10 20 1 24 51 10 = 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 = 1.41421296 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

Babylonian Algorithm x =√a x2 = a x = a/x x = (x + a/x)/2 제단의 넓이를 두 배 하려면, 제단의 부피를 두 배 하려면… a/x 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

√2 =1.41421356… x0 = 1 x1 = x0/2 + 1/x0 = ½ + 1 = 3/2 =1.5 x2 = x1/2 + 1/x1 = 3/4 + 2/3 = 17/12 ≒ 1.41667 x3 = x2/2 + 1/x2 = 17/24 + 12/17 = 577/408 ≒ 1.41422 x4 = x3 /2 + 1/ x3 ≒ 1.41421 제단의 넓이를 두 배로 하려면 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

종이 음계 조리개 금리 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

연분수(Continued Fractions) 1 + 1/3 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

√2 1 2 = + … √2 = 1 +   = √2 –1 = 1/(√2 +1) = 1/(2 + ) 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, …, p/q, (p+2q)/(p+q), …, p2 – 2q2 = ± 1 x2 = 2 x2 –1 = 1 x-1 = 1/(x+1) x-1 = 1/(2 + (x-1)) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

연분수 √2 = 1 + 2 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

Rhind 파피루스 1650 BC 6m x 1/3 m 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

이집트 숫자 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

12진법 1 foot = 12 inches 연필 한 다스 가야금 12 현 12음계 천체 12궁 1년 12달 하루 12시 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

The Sacrament of the Last Supper S. Dali, 1955

마야 문명과 20진법 티카르 유적 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

60 진법 각도, 거리, 시간 1′15″ = 75″ = 1.25′ 4′33″ = 273″ 경도 1도 = 60 해리(海里, nautical mile) 360도 = 24시간, 1도 = 4분 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

십간(十干) 십이지(十二支) 갑(甲), 을(乙), 병(丙), 정(丁), 무(戊), 기(己), 경(庚), 신(辛), 임(壬), 계(癸) 자(子：쥐), 축(丑：소), 인(寅：호랑이), 묘(卯：토끼), 진(辰：용), 사(巳：뱀),  오(午：말), 미(未：양), 신(申：원숭이), 유(酉：닭), 술(戌：개), 해(亥：돼지) 갑자=1, 을축=2, …, 병진=53, …, 계해=60 60진법, 환갑, 을미=32, … 중국인 나머지 정리 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

1919년, 기미년 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ 1919년이 기미년이면 올해(2002년)는 무슨 년일까? 1979년이 기미년이고 2002-1979 = 23 이다. 그러므로 기미년에서 23년이 지난해가 어떤 년인지 알면 된다. 23 mod 10 = 3 이므로 첫 자는 “기” 이후의 세 번째 자인 “임”이고 23 mod 12 = -1 이므로 마지막 자는 “미” 직전의 자인 “오”이다. 따라서 2002년은 “임오년”이다. 언제가 갑자년일까? 2년후(2004)면 갑신년 거기에다 40년을 더하면 2044 년이 갑자년이다. 갑자 = 1 이면, 기미 = 56이다. 지금부터 30년 후는 무슨 년일까? 30 mod 10 = 0, 30 mod 12 = 6 이다. 그러므로 기축년이다. 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

2진법 G. Leibniz (1646-1716) 보편 언어, 0 과 1 참과 거짓, 전기회로 주역-팔괘, 64괘 A.G.C.T 참과 거짓, 전기회로 주역-팔괘, 64괘 A.G.C.T 자, 계산합시다. 에스페란토 (Esperanto) 유대계 폴란드인 안과의사 L.L.자멘호프에 의하여 1887년부터 공표·사용하게 되었다. 에스페란토란 ‘희망하는 사람’이란 의미를 지니고 있다. 에스페란토를 상징하는 것은 초록별로서 초록색은 평화를 나타내며, 별은 희망을 나타낸다. 에스페란토를 사용하는 사람들을 ‘에스페란티스토’라고 부른다. 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

∞ 하나 = 전체 = 무한 = 절대 = ∞ 신 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

또 다른 하나 없음 무 하늘, 공기, 공 (cf. Kaplan, p.63) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

영 서기 1년 – 1년 = 기원전 1년 21세기 = 2001 ~ 2100 년 二千三百三十三 = 2333 二千二 = 2002 건물의 층 수 사람의 나이 훈민정음과 ㅇ 무(無) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

R. Rauschenberg (1925- ) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ Robert Rauschenberg 72” x 36” (182.88 cm x 91.44 cm) 72” x 36” 1951 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

J. Cage (1912-1992) 1952, 4’33’’ 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ John Cage Http://www.azstarnet.com/~solo/4min33se.htm 섭씨-273도 = 절대온도 영도 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

Dalai Lama 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ 티베트불교(라마교) Why do you publish? (cf. Kranz, Review of Wolfram’s A New Kind of Science, BAMS vol.40, Jan. 2003, 143--150) 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

老 子, 道德經 11장 … 有 之 以 爲 利 無 之 以 爲 用 도올: 있음의 이로움은 없음의 쓰임이 있기 때문이다. 有 之 以 爲 利 無 之 以 爲 用 도올: 있음의 이로움은 없음의 쓰임이 있기 때문이다. 이경숙: 있는 것에서 이로움이 생기는 이유는 없는 것에서 쓰임이 나오기 때문이다. 바퀴, 방 그릇 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

악수 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

0 = { } 1 = {0} 2 = {0,1} 3 = {0,1,2} 4 = {0,1,2,3} . . . 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

마음의 표현 영원, 바탕, 본질 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

연습문제 실수의 제곱근을 구하는 `바빌로니아 알고리즘'을 설명하라. 주어진 직사각형과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 법을 설명하라. 직사각형을 반으로 접어서 처음과 닮은 직사각형을  얻는다면, 이 직사각형의 가로와 세로의 비는 얼마인가?  √2 를 연분수로 나타내어라.  ‘수’와 ‘숫자’는 어떻게 다른가? 정칠각형을 작도할 수 없는 이유는? 無에 대하여 논하라. 1024byte 이내로 서술할 수 있는 수 중 가장 크다고 생각하는 수를 서술하시오. 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ

참고문헌 J. Barrow, the book of nothing, Vintage, 2000. Bernard Werber, L’Arbre des possibles et autres histoires. (이세욱 역, 나무, 수의 신비, 열린 책들, 2003.) Devlin, 1장 J. Diamond, Guns, Germs, and Steel, 1997. (김진준 옮김, 총, 균, 쇠, 문학사상사, 1998) M. Gardner, Nothing Hoffman Mankiewicz, 1장 카를 메닝거, (김량국 옮김, 수의 문화사, 열린 책들, 2005) R. Lamm (이희재 옮김), 서양문화의 역사 I. M. Gardenr, “Nothing” in Scientific American, Feb. 1975; in Mathematical Magic Show (Math. Assoc. Amer. 1989); in The Colossal Book of Math. (W.W. Norton & Company, 2001) 등대 소리 문명과 수학 2004-1 ㄱㅎㅈ