Chapter 5 Flow Analysis Using Differential Methods (유체유동의 미분해석) 유체역학 Chapter 5 Flow Analysis Using Differential Methods (유체유동의 미분해석)

MAIN TOPICS Conservation of Mass(질량 보존) Conservation of Linear Momentum(운동량 보존) - Euler Equation - Navier-Stokes Equation - Vorticity Equation Conservation of Energy

Conservation of Mass(질량보존) 1/5 유동장에서 특성량들은 공간좌표와 시간의 함수로 나타낼 수 있다. 질량보존에 대한 미분방정식을 rectangular 와 cylindrical 좌표계에서 유도한다. 질량 보존을 미소 검사체적에 적용하여 관계식을 유동한다. With the control volume representation of the conservation of mass The differential form of continuity equation???

Outflow in x-direction Conservation of Mass 2/5 검사체적(CV)은 변의 길이가 x, y, 그리고 z 인 미소육면체로 선택하였다. Net rate of mass Outflow in x-direction

Conservation of Mass 3/5 질량의 x-방향 총 유출률 Net rate of mass Outflow in y-direction Net rate of mass Outflow in z-direction

Conservation of Mass 4/5 질량의 총유출률 (Net rate of mass Outflow) 질량보존법칙에 대한 미분방정식 Continuity equation(연속방정식)

Conservation of Mass 5/5 Incompressible fluid(압축성 유동) Steady flow(정상유동)

Example 연속방정식(Continuity Equation) 비압축성, 정상유동장의 속도성분이 다음과 같다 연속방정식을 만족하기 위한 z 방향 속도성분 w를 구하라.

Example Solution The continuity equation

Conservation of Mass Cylindrical Coordinate System Incompressible fluid(압축성 유동) Steady flow(정상유동)

Stream Function(유동함수) 1/6 Streamlines(유선) ? 모든 점에서 순간속도 벡터에 접하는 선. 유동함수 Ψ(x,y) [Psi] ? 이차원 압축성 유동의 속도성분 u(x,y,t) 와 v(x,y,t) 를 나타내는데 사용할 수 있는가? 유동함수라 불리는Ψ(x,y)는 그림에 나타낸 속도와 식과 같은 관계를 갖는다

Stream Function 2/6 유동함수 Ψ(x,y)는 비압축성 연속방정식의 이차원 형태를 만족한다 Ψ(x,y) ? 특정한 문제에 대해 모르지만, 적어도 두 개의 미지함수 u(x,y) 와 v(x,y)대신에 하나의 미지함수, Ψ(x,y) 를 구하는 것으로 단순화할 수 있다.

Stream Function 3/6 유동함수의 또 다른 장점은 Ψ(x,y) =일정한 선들이 유선이 된다는 것이다. 어떻게 증명하나? 유선의 정의로부터 유선을 따르는 임의의 점에서의 기울기는 Velocity and velocity component along a streamline

Stream Function 4/6 유동장의 한 점 (x,y) 에서 근처의 다른 점 (x+dx,y+dy) 로 옮겼을 때 Ψ(x,y) 의 변화는 다음의 관계식으로 구해진다 Ψ가 일정한 선을 따라 이것은 유선의 정의이다. 따라서 함수Ψ(x,y)를 안다면 유선이 되는 Ψ가 일정한 선들을 그릴 수 있고 이러한 선들은 유동 패턴의 가시화에 도움을 준다.

Stream Function 5/6 개개의 유선이 가지는 실제의 수치값이 중요한 의미를 갖지는 않지만, Ψ값의 변화는 체적유량과 연관된다. 단위 깊이당, BC를 가로지르는 유량은 단위 깊이당, AB를 가로지르는 유량은

Stream Function 6/6 두 유선 사이의 체적 유량은 두 유선을 정의하는 Ψ의 값(일정)의 차이로 쓸 수 있다 속도는 유선이 접근하는 위치에서는 커지게 되고, 유선이 멀리 떨어지는 곳에서는 속도가 상대적으로 작아진다.

Conservation of Linear Momentum (선형 운동량 보존) 검사체적에 Newton의 운동 제2법칙을 적용하면 질량 dm으로 구성된 미소 시스템에 대해, 선형 운동량 방정식의 미분형은 무엇인가?

Forces Acting on Element (요소에 작용하는 힘) 1/2 유체요소에 작용하는 힘은 체적력과 표면력으로 구분될 수 있다; 표면력은 수직력과 전단력으로 구분된다. Surface forces acting on a fluid element can be described in terms of normal and shearing stresses.

Forces Acting on Element 2/2 Equation of Motion

Equation of Motion 연속체 가정을 만족하는 임의의 유체에 대한 운동미분 방정식 u,v,w를 어떻게 구하나 ?

Double Subscript Notation for Stresses (응력의 이중첨자 표현) 응력의 방향 응력이 작용하는 평면의 수직방향

Inviscid Flow(비점성 유동) 전단응력은 유체가 움직일 때 유체의 점성으로 인해 발생한다. 공기와 물과 같은 유체의 점성은 작다. 따라서 점성의 영향을 무시한다고 가정하는 것이 바람직한 경우도 있다. 전단응력을 무시할 수 있다고 가정할 수 있는 유동장을 비점성(inviscid), 무점성(nonviscous), 또는 마찰이 없는(frictionless) 유동이라 한다. 압력, p, 는 수직응력의 음으로 정의한다

Euler’s Equation of Motion 마찰이 없는( frictionless condition)조건에서, 운동방정식은 Euler의 방정식이 된다:

Bernoulli Equation 1/3 정상상태에서 유선을 따라 Euler의 방정식은 z-축을 수직으로 하는 좌표축을 택하여 중력가속도를 벡터로 표현하면

Bernoulli Equation 2/3 : 방향에 수직 유선방향

Bernoulli Equation 3/3 적분하면 … 정상상태, 비압축성 유동에서 유선을 따라 Bernoulli 방정식

Viscous Flow(점성유동) 유체운동의 미분해석에서 점성효과를 고려하면 General equation of motion Stress-Deformation Relationship  General equation of motion

Stress-Deformation Relationship (응력과 변형의 관계) 1/2 응력이 속도와 압력장의 항으로 표현되어야 한다. (Navier-Stokes) Cartesian coordinates

Stress-Deformation Relationship 2/2 Cylindrical polar coordinates Introduced into the differential equation of motion….

The Navier-Stokes Equations 1/5 Cartesian coordinates

The Navier-Stokes Equations 2/5 Cylindrical polar coordinates

The Navier-Stokes Equations 3/5

The Navier-Stokes Equations 4/5 마찰이 없는 조건에서, 운동방정식은 Euler’s Equation이 된다:

The Navier-Stokes Equations 5/5 엄밀해(exact solutions)가 존재하는 경우는 층류유동으로 경계조건이 잘 정의되어 있고 시간에 무관한 정상유동(steady flow) 과 시간에 따라 변하는 비정상 유동(unsteady flow)이 있다.

Some Simple Solutions for Viscous, Incompressible Fluids Navier-Stokes 방정식이 잘 풀리지 않는 가장 큰 이유는 대류가속도항(convective acceleration terms)에 존재하는 비선형항 때문이다. 비선형 미분방정식을 푸는 일반적인 해석 방법은 존재하지 않는다. 대류 가속도항이 사라지는 특수한 경우가 존재한다. 이러한 경우 유동의 엄밀해(exact solution)를 구할 수 있다.