제 2 장 확 률
§ 2.1 표본공간과 사상 확률실험(random experiment) : 다음과 같은 속성을 지닌 자연·사회현상에 대한 관찰이나 인위적인 실험 • 실험의 결과는 미리 알 수 없다. • 실험에서 일어날 수 있는 모든 결과는 사전에 알려져 있다. • 이론적으로는 실험을 반복할 수 있다. <정의 2.1> 표본공간(sample space) : 확률실험에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합; S로 표기 표본점(sample point) : 표본공간 S 의 원소 -1-
<예제 2.1> 확률실험에서의 표본공간 (a) 주사위 한 번 던지기 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} <예제 2.1> 확률실험에서의 표본공간 (a) 주사위 한 번 던지기 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (b) 동전 두 번 던지기 S = {HH, HT, TH, TT} (c) 하루의 교통사고 수 S = {0, 1, 2, ···} (d) TV의 수명 S = (e) 인공위성의 공간속도 S = • 표본공간의 유형 • 유한 표본공간(finite sample space) : 표본점의 수가 유한한 표본공간 <예제 2.1>의 (a), (b) • 무한표본공간(infinite sample space): 표본점의 수가 무한히 많은 표본공간 셀 수 있는(countable) 무한 : <예제 2.1>의 (c) 셀 수 없는(uncountable) 무한 : <예제 2.1>의 (d), (e) 무한 -2-
• 같은 확률실험이라도 실험의 목적에 따라 표본공간을 달리 정의할 수 있다. <예> 주사위 한 번 던지기 • 같은 확률실험이라도 실험의 목적에 따라 표본공간을 달리 정의할 수 있다. <예> 주사위 한 번 던지기 S 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S 2 = {홀수, 짝수} <정의 2.2> 균등표본공간(equally likely sample space): 각 표본점이 나올 가능성이 동일한 표본공간 <예> 한 쌍의 부부가 아이 둘을 낳는다면 둘 중 아들이 하나 이상일 가능성은? (a) S 1 = {x: x 아들 수}={0,1,2} 가능성 2/3 (b) S 2 = {bb, bg, gb, gg} 가능성 3/4 S 1 S 2 1 2 gg bg,gb bb S 1은 균등표본공간이 아니다. 표본점에 가중치 부여 문제 발생 -3-
유한표본공간을 정의할 때, 가능하면 균등표본공간이 되도록 하는 것이 좋다 • 확률실험에서 개개의 표본점보다는 표본점들이 특정 속성을 갖고 있는지에 더 관심 <예> 동전 2번 던지기 : S = { HH, HT, TH, TT} 표본점 HH, HT, TH, TT 들 보다 H가 몇 번 나왔는가 즉 S 의 부분집합 {TT}, {HT, TH}, {HH} 들에 더 관심 <정의 2.3> · 사상(event) : 표본공간의 부분집합 · 확률실험의 결과 어떤 사상에 속한 표본점이 나왔으면 그 사상이 일어났다고 한다. -4-
<정의 2.4> A :표본공간 S 에서 정의된 사상 : A의 여집합 <예제 2.2> 주사위 한 번 던지기: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1}= 눈 1이 나올 사상 B = {1, 3, 5}= 홀수 눈이 나올 사상 <정의 2.4> A :표본공간 S 에서 정의된 사상 : A의 여집합 <예제 2.3> S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1}, B = {1, 3, 5} Ac = { 2, 3, 4, 5, 6 } Bc = { 2, 4, 6 } <정의 2.5> A, B: 표본공간 S 에서 정의된 사상들 = {x S ; x A 또는 x B} : A와 B의 합집합 = {x S ; x A , x B} : A와 B의 교집합 A－B = {x S ; x A , xB} : A와 B의 차집합 -5-
<예제 2.4> S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1}, B = {1, 3, 5} = { 1, 3, 5 } = { 1 } A－B = , B－A = { 3, 5 } -6-
<정의 2.6> 동시에 일어날 수 없는 두 사상을 상호배반사상(mutually exclusive)이라 한다 즉, 이면 두 사상 A와 B는 상호배반이다. <예제> S = {1,2,3,4,5,6}, A={2,4,6}, B={1,3,5} A와 B는 상호배반 <정리 2.1> 사상에 대한 연산법칙 i) 교환법칙 : ii) 결합법칙 : -7-
iii) 분배법칙: iv) DeMorgan의 법칙 : (연습문제 #11) <연습문제 #7> -8-
미래의 사건이 일어날 가능성에 대하여 각자가 갖는 믿음의 정도를 0~1 사이의 수치로 나타낸 것 § 2.2 확률(Probability) • 일상용어로서의 확률 : 미래의 사건이 일어날 가능성에 대하여 각자가 갖는 믿음의 정도를 0~1 사이의 수치로 나타낸 것 • 상대도수 개념의 확률 : 실험을 여러번해서 어떤 사상이 일어나는 비율 즉 상대도수 (relative frequency: RF)를 구해보면 이 값이 크게 변하지 않고 실험횟수가 커지면 일정한 수치로 수렴하는 경우가 많다. 수렴되는 이 수치를 확률로 정의하면 확률은 ∙ 이해하기 쉽고 ∙ 우리의 상대도수 개념과 일치 -9-
• 상대도수개념의 확률은 엄밀한 정의가 되지 못한다. <예> ∙ S =[0, 1] 인 실험 ∙ 북한정권이 10년 내에 붕괴될 확률 • 확률은 상대도수의 속성과 모순되지 않게 정의돼야 한다 상대도수 1, 확실하게 일어날 사상의 상대도수 = 1 상대도수 0 동시에 일어날 수 없는 두 사상 중 어느 하나가 일어날 상대도수는 각각의 상대도수의 합 <정의 2.7> (확률공리) 1. 2. 3. 이면 의 세 공리(axiom)를 만족하는 함수 P : 확률(probability) P(A) = 사상 A의 확률 -10-
<예제 2.6> 주사위 1번 던지기: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 함수 P1 과 P2를 P1(A) = (A에 속한 원소수) / 6, P2(A) = (A에 속한 원소들의 눈금의 합) / 21, 라 정의하면 P1 , P2 모두 확률공리를 만족 • 확률공리 : ∙ 사상들의 확률을 정해주는 것이 아니고, ∙ 우리가 사상들에 할당하는 확률들 간에 모순이 없고 일관성이 있도록 하는 규칙일 뿐 실제 A에 할당하는 확률 수치는 실험을 여러 번 했을 때의 상대도수, 주관적 판단 등으로부터 얻되 확률 공리에 모순되지 않아야 한다. -11-
<예제> <예제 2.6>에서 A = {1,3,5}=홀수가 나올 사상 어느 것? • 표본공간 S 가 표본점의 수가 유한한 균등 표본공간일 때 단 n(A) =A 에 속한 표본점의 수 <예제 2.7> <예제 2.6>에서 S 는 균등표본공간 P1 이 올바른 확률 -12-
(풀이 1): S = { cc, ch, hc, hh }, c : 감기약, h : 두통약 <예제 2.8> 모양과 색깔이 똑같은 감기약 2알과 두통약 2알이 한병에 들어있다. 갑과 을이 차례로 한 알씩 꺼낸다면 갑이 감기약, 을이 두통약을 꺼내게 될 확률은? (풀이 1): S = { cc, ch, hc, hh }, c : 감기약, h : 두통약 A = 갑이 감기약, 을이 두통약을 꺼낼 사상 = { ch } (풀이 2): 약 네 알 중 감기약을 1, 2, 두통약을 3, 4라 하면 S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}, A = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} -13-
<해설> (풀이 1)의 표본공간은 균등표본공간이 아니다. • cc → (1, 2), (2, 1) 2/12 <해설> (풀이 1)의 표본공간은 균등표본공간이 아니다. • cc → (1, 2), (2, 1) 2/12 • ch → (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4) 4/12 • hc → (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) 4/12 • hh → (4, 3), (3, 4) 2/12 이 타당 <연습문제 #2> -14-
§2.3 표본점의 셈법 유한표본공간 S 의 표본점 수가 많고, 이들을 일일이 열거하기 힘들때 ∙ S 와 관심사상 A에 들어있는 표본점의 수 n(S)와 n(A) 를 쉽게 세는 방법이 있고 ∙ S 가 균등표본공간이면 표본점의 수를 쉽게 세는 방법 필요 <정의 2.8> 두 조건 i) ii) 를 만족하는 사상 A1, …, Ak 를 표본공간 S 의 분할(partition) 이라 한다. -15-
S = {HHH, HHT, HTT, THH, HTH, THT, TTH, TTT}, <예제 2.10> 동전 세 번 던지기 A1 : 모두 같은 면이 나올 사상 A2 : 앞면이 두 번 나올 사상 A3 : 앞면이 한 번 나올 사상 S = {HHH, HHT, HTT, THH, HTH, THT, TTH, TTT}, A1 = {HHH, TTT}, A2 = {HHT, HTH, THH}, A3 = {HTT, THT, TTH} A1, A2, A3는 S 의 분할이다. <정리 2.2> 덧셈법칙 사상 A1, A2,…, Ak 가 표본공간 S 의 분할일 때, -16-
<예제> <예제 2.10>에서 n(S) = 8, n(A1) = 2, n(A2) = 3, n(A3)=3 이므로 n(S) = n(A1) + n(A2) + n(A3) <정리 2.3> 곱셈법칙 확률실험 #1 : 표본점의 수가 n1 확률실험 #k : 표본점의 수가 nk … … 독립적으로 행한다. k번 전체 실험에서의 표본점의 수 : <예제> 서울 부산 제주도 5 4 -17-
<예제 2.12> 주사위 한번, 동전 한번 던지기 <예제 2.12> 주사위 한번, 동전 한번 던지기 <예제> 1 부터 10 까지 번호가 매겨진 공 10개가 들어있는 상자에서 2개를 꺼낼 때의 표본점의 수 복원추출(sampling with replacement) : 1010=100 비복원추출 (sampling without replacement) : 109=90 -18-
확률실험의 표본점들은 일련의 기호의 묶음으로 나타낼 수 있다. <예> 동전 두번 던지기 § 2.3.1 순열(permutation) 확률실험의 표본점들은 일련의 기호의 묶음으로 나타낼 수 있다. <예> 동전 두번 던지기 표본점 : HH, HT, TH, TT 순열 (permutation) : 특정순서로 배열된 기호들의 묶음 <정리 2.4> 순열 서로 다른 n개의 기호 중 r개를 뽑아 한 줄로 나열하는 순열의 수: r개의 자리 1 2 … r-1 r n개의 기호 n -19-
<예제 2.13> 비슷한 실력의 육상선수 5명 <예제 2.13> 비슷한 실력의 육상선수 5명 모든 경우의 수 : 3등까지만 기록 할 때의 경우의 수 : § 2.3.2 조합 조합(combination) : 순서에 상관없이 뽑은 기호들의 묶음 n개의 기호 중 r개를 뽑아 한줄로 나열하는 방법의 수 n개의 기호 중 r개를 뽑는 방법의 수 뽑힌 r개의 기호를 한줄로 나열하는 방법의 수 = <정리 2.5> 조합 서로 다른 n 개의 기호 중 r 개를 뽑는 조합의 수 -20-
<예제 2.14> 흰돌(W) 5, 검은돌(B) 3 인 바둑통에서 2개 꺼낼 때, 전체 경우의 수: 둘 다 B일 경우의 수: <예제 2.15> <예제 2.13>에서 갑이 입상(3등 이내)할 확률 5명 중 3명을 뽑는 조합의 수 갑이 입상자 3명에 포함될 조합의 수 갑이 입상할 확률 <정리 2.6> i) ii) -21-
: 이항계수 (binomial coefficient) 이항정리 : 이항계수 (binomial coefficient) <예제> 의 전개에서 의 계수? -22-
§ 2.3.3 같은 것이 있는 경우의 순열 <예제> a, b, c, d, e 를 한줄로 나열하는 방법의 수 : 5! a, a, b, b, b 를 한줄로 나열하는 경우 aabbb baabb bbaab ababb babab bbaba abbab babba bbbaa abbba 2개의 같은 기호 a, a 가 자리 바꿈 하는 수 2! 3개의 같은 기호 b, b, b 가 자리 바꿈 하는 수 3! -23-
<정리 2.7> 같은 것이 있는 경우의 순열 서로 다른 k개의 기호가 각각 있을 때, 이들을 모두 한줄로 나열하는 순열의 수 : <예제 2.16> Mississippi 나오는 모든 글자를 배열하여 얻는 단어의 수 첫 글자가 M, 마지막 글자가 i인 단어의 수는? -24-
다항계수(multinomial coefficient) 는 다항식 의 전개에서 의 계수 다항계수(multinomial coefficient) 예 : 의 전개에서 의 계수는 다항계수에서 k = 2인 경우 이항계수 -25-
서로 다른 n개의 기호 중에서 중복을 허용하여 r 개를 뽑아 한 줄로 나열하는 순열의 수 : § 2.3.4 중복순열 <정리 2.8> 중복순열 서로 다른 n개의 기호 중에서 중복을 허용하여 r 개를 뽑아 한 줄로 나열하는 순열의 수 : r개의 자리 1 2 … r-1 r n개의 기호 n n n n <예제 2.17> 주사위 3번 던지기 -26-
서로 다른 n개의 기호 중에서 중복을 허용하여 r 개를 뽑는 조합의 수 : § 2.3.5* 중복조합 <정리 2.9> 중복조합 서로 다른 n개의 기호 중에서 중복을 허용하여 r 개를 뽑는 조합의 수 : * n개의 바구니에 r개의 공을 담는 경우 바구니를 막대(|) 사이의 공간으로, 공을 별(*)로 표시할 때 |****||*|||**| 는 n=6, r=7이고 바구니 6개에 각각 4,0,1,0,0,2가 들어간 경우 처음과 마지막은 반드시 막대, 나머지 (n-1)개의 막대와 r개의 별은 어느 순서로든 나타날 수 있다. -27-
<예제 2.18> 갑, 을 두 후보자에 대해 40명이 기권 없이 투표하여 나올 수 있는 경우의 수 같은 것이 있는 순열 <예제 2.18> 갑, 을 두 후보자에 대해 40명이 기권 없이 투표하여 나올 수 있는 경우의 수 기호 2 중에서 중복을 허용하여 40개를 뽑는 방법의 수 -28-
n 중 r (중복불허) (중복허용) (순서고려) (순서무시) (순서고려) (순서무시) 순열 조합 중복순열 중복조합 <연습문제 #1> -29-
§ 2.4 확률에 관한 덧셈법칙 복잡한 사상을 쉽게 확률을 구할 수 있는 간단한 사상들의 로 표현하면 확률을 쉽게 구할 수도 있다. <예> 이고 B와 C가 상호 배반이면 의 계산이 쉬워진다. • 확률연산에 도움이 되는 식들 : <정리 2.10> ~ <정리 2.15> <정리 2.10> (증) -30-
<예제 2.19> 생일이 1년 중 고르게 분포되어 있다고 가정 무작위로 뽑은 사람의 생일이 특정일일 확률 = <정리 2.11> 여사상의 확률 (증) 확률공리 #1 과 #3 <예제 2.19> 생일이 1년 중 고르게 분포되어 있다고 가정 무작위로 뽑은 사람의 생일이 특정일일 확률 = 모임에 참석한 r명 중 생일이 같은 사람들이 있을 확률은? : 적어도 둘 이상의 생일이 같을 사상 : 생일이 모두 다를 사상 -31-
10 23 50 60 0.129 0.507 0.970 0.994 <정리 2.12> 두 사상 A와 B에 대해 i) ii) -32-
이고, <정리 2.1>의 분배법칙에 의해 상호배반 (증) i) 이고, <정리 2.1>의 분배법칙에 의해 상호배반 ii) i)의 결과 <정리 2.13> 이면 i) ii) -33-
(증) i) <정리 2.12> ii)로부터 ii) 이므로 i)로부터 <정리 2.14> 확률의 덧셈법칙 확률공리 3에 의해 <정리 2.12> (ii) -34-
<예제 2.20> 부품 a가 불량일 사상 A 부품 b가 불량일 사상 B (연습문제 #13) • 일반적으로 여기서 들이 상호 배반이면 우변의 두째 항부터는 모두 0 -35-
<정리 2.15> 배반사상에 관한 확률의 덧셈법칙 이 상호 배반이면 -36-
§ 2.5 조건부 확률과 곱셈법칙 <예제> 흰공 둘, 검은공 하나가 들어있는 주머니에서 차례로 2개 흰공 1,2 검은공 3 사상 B가 일어났다는 것을 알면 주머니에는 흰공 1, 검은공 1 이므로 P(A) 는 1/3 에서 1/2로 바뀐다. 여기서 -37-
<정의 2.9> 사상 B가 일어났다는 조건 하에 사상 A가 일어날 조건부 확률(conditional probability of A given B) : A B S • 조건부 확률 는 확률공리를 모두 만족한다. (연습문제 #11) -38-
• 조건부 확률은 상대도수 개념에 부합한다. 상대도수 개념에 따르면 N 이 클 때 비슷하게 -39-
<예제 2.21> 갑과 을이 주사위 한번씩 던져 큰 눈이 나온 쪽이 이긴다. 갑이 먼저 던져 5가 나왔을 때 갑이 이길 확률은? S = {(x, y) ; x, y = 1, 2, ···, 6} A = {(x, y) ; x = 2, 3,···,6; y = 1, ···, x−1}, B = {(5, y) ; y = 1, 2,···,6} = {(5, y) ; y = 1, 2, 3, 4} n(S) = 36, n(B) = 6, <정리 2.16> 확률의 곱셈법칙 -40-
<예제 2.22> 양품 5개, 불량품 3개 있는 상자에서 2개 : 둘 다 불량일 확률은? 를 쉽게 구할 수 있을 때 를 구하는데 쓴다. <예제 2.22> 양품 5개, 불량품 3개 있는 상자에서 2개 : 둘 다 불량일 확률은? A : 첫번째가 불량품일 사상 B : 두번째가 불량품일 사상 <예제 2.23> 양품 불량품 판정 확률 0.02 불량품 양품 판정 확률 0.01 실제 불량률이 5% 일 때 한 제품이 불량판정 받을 확률은? 실제로 불량일 사상 A, 불량으로 판정할 사상 D 라 하면 -41-
(연습문제 #12) -42-
<예제 2. 24> 아이에게 붉은 색, 녹색, 회색 공을 각각 같은 색깔의 상자에 넣도록 가르친다 <예제 2.24> 아이에게 붉은 색, 녹색, 회색 공을 각각 같은 색깔의 상자에 넣도록 가르친다. 이 아이가 실제로는 이들 색깔을 구별 못하는 색맹이어서 무작위로 공을 하나씩 상자에 넣는다. 색깔이 하나도 맞지 않을 확률? 하나만 맞을 확률? A1 : 붉은 공이 붉은 상자에 들어갈 사상 A2 : 녹색 공이 녹색 상자에 들어갈 사상 A3 : 회색 공이 회색 상자에 들어갈 사상 B : 색상이 하나도 맞지 않을 사상 C : 색상이 하나만 맞을 사상 • -43-
• 두 색상이 맞으면 나머지는 맞는다. A1 A3 A2 S 벤다이어그램을 그려보면 -44-
<연습문제 #5> -45-
§ 2.6 독립사상 두 사상 중 어느 한 사상이 일어났다는 사실이 나머지 다른 사상이 일어날 확률에 전혀 영향을 미치지 못할 때 이 두 사상이 서로 독립(independent) 이라 한다. <정의 2.10> i) ii) iii) 중 어느 하나라도 만족하면 사상 A와 B는 서로 독립이라 한다. i) iii) ii) -46-
사상 A와 B의 독립성 정의 : i) ~ iii) 중 어느 것을 써도 된다. <예제 2.25> 동전 2번 던지기 A : 나오는 면이 같을 사상 B : 첫번째에 앞면이 나올 사상 C : 나오는 면이 다를 사상 -47-
A와 B 독립 B와 C 독립 A와 C 독립아니다. • 상호배반과 독립 <정리 2.17> • 상호배반과 독립 <정리 2.17> 이고 A와 B는 상호배반 A와 B는 독립일 수 없다. (증) 상호배반 : 둘 다 성립할 수 없다. 독 립 : 이면 A, B, C 는 서로 독립인가? -48-
<예제 2.26> : A, B, C는 서로 독립? <정의 2.11> 조건 i) ii) iii) iv) <정의 2.11> 조건 i) ii) iii) iv) 를 만족하는 세 사상 A, B, C 는 서로 독립 -49-
<예제 2.27> 동전 세번 던지기에서 첫번째, 두번째, 세번째에 앞면이 나올 사상: A, B, C -50-
• <정리 2.11>에서 조건 i), ii), iii)은 만족하나 조건 iv)는 만족하지 못할 경우 A, B, C 는 쌍독립(pairwise independent) <예제 2.28> 동전 두번 던지기 A : 첫번째 시행에서 앞면이 나올 사상 B : 두번째 시행에서 앞면이 나올 사상 C : 두 시행에서 나오는 면이 같을 사상 A, B, C 는 독립이 아니다 쌍독립이다. -51-
∙ n 번의 확률실험을 서로 독립적으로 행했을 때 사상 의 확률은 <예제 2.29> 정답을 모르는 사지선다형 문제 3개를 무작위로 답할 때, 그 중 적어도 하나를 맞출 확률은? A : 3 문제 중 적어도 하나를 맞출 사상 Bi : i 번 문제를 틀릴 사상, i = 1, 2, 3 각 문제를 독립적으로 푼다면 는 서로 독립 <연습문제 #6> -52-
§ 2.7 전확률의 법칙과 베이즈 정리 S • 는 S 의 분할 는 A의 분할 P(A)를 직접 구하는 것보다 를 구하는 것이 B S • 는 S 의 분할 는 A의 분할 P(A)를 직접 구하는 것보다 를 구하는 것이 더 쉬울 수도 있다. <정리 2.18> 전확률의 법칙 E1, E2, ··· , Ek 가 표본공간 S 의 분할이면 -53-
(증) -54-
<예제 2.31> 계산기 부품인 전자회로를 갑, 을, 병으로부터 공급 받는다. <예제 2.31> 계산기 부품인 전자회로를 갑, 을, 병으로부터 공급 받는다. 갑 을 병 공급비율(%) 불량률(%) 30 50 20 1 3 4 E1, E2, E3 : 부품이 갑, 을, 병에서 공급 받을 사상 D : 계산기가 불량일 사상 -55-
∙ 이미 발생한 결과의 원인을 확률적으로 찾는데 도움이 되는 방법 <정리 2.19> 베이즈(Bayes) 정리 E1, E2, ··· , Ek 가 표본공간 S 의 분할이되, (증) -56-
<예제 2.32> <예제 2.31>에서 부품 하나를 검사한 결과 불량품이었다. <예제 2.32> <예제 2.31>에서 부품 하나를 검사한 결과 불량품이었다. 이 부품이 각 납품업체로부터 공급되었을 확률은? 합계 0.3 0.01 0.003 0.5 0.03 0.015 0.2 0.04 0.008 1.0 0.026 -57-
<예제 2.33> <예제 2.32>에서 부품 하나를 더 검사한 결과 이것도 불량품이었 <예제 2.33> <예제 2.32>에서 부품 하나를 더 검사한 결과 이것도 불량품이었 다. 두 부품이 모두 납품업자 갑,을,병으로부터 공급되었을 확률 들은? <예제 2.32>에서 구한 를 로 하여 베이즈 정리를 한번 더 적용한다. (연습문제 #11) 합계 3/26 0.01 (3/26)(0.01) 15/26 0.03 (45/26)(0.01) 8/26 0.04 (32/26)(0.01) 1.0 (80/26)(0.01) <연습문제 #7> -58-