Chapter 4 Flow Analysis Using Control Volume(기본법칙의 적분형태) 유체역학 Chapter 4 Flow Analysis Using Control Volume(기본법칙의 적분형태)

MAIN TOPICS Control Volume and System Representation (검사체적과 계) The Reynolds Transport Theorem(수송정리) Conservation of Mass Newton’s Second Law – The Linear Momentum Equations The Moment-of-Momentum Equations First Law of Thermodynamics – The Energy Equation

Control Volume Formulation System and Control Volume Representation (검사체적과 계의 개념) 기본 법칙 계(System) 접근방법 검사체적 (Control Volume) 접근방법 지배방정식 System Formulation 지배방정식 Control Volume Formulation

Method of Analysis System(계) 접근 방법 고체역학. 쉽게 구별될 수 있는 강체를 다룰 때. Control volume(검사체적) 접근방법 유체역학. 고정된 구별이 가능한 질량을 다루기 어려울 때. 유체 유동을 다룰 때.

System Method(계 접근방법) 계(system) 는 고정된 구분되는 질량으로 정의된다 계는 주변(surrounding)과 경계(boundaries)에 의해 분리된다. 계의 경계는 고정되거나 움직일 수 있다. 계의 경계를 통해 질량이 통과할 수 없다.

System Representation 정역학이나 동역학에서 사용되는 자유물체도(free-body diagram) 개념은 대상물체를 정의하고 주변과 분리하여 주변의 영향을 등가적으로 물체에 작용하는 것으로 대체한다.

Control Volume Method (검사체적 접근방법) 검사체적은 유체가 흐르는 공간 상의 임의의 체적이다. 검사체적을 둘러싸는 기하학적 경계를 검사표면 (Control Surface; CS)이라 한다. 검사표면은 실제 존재하거나 상상일 수도 있다. 검사체적은 공간 상에 고정될 수도 또는 이동할 수도 있다.

Reynolds Transport Theorem Analytic Tool(해석적 도구) 시스템 개념으로부터 검사체적 개념으로의 변환 Reynolds Transport Theorem Reynolds transport theorem은 시스템에 대한 종량적 성질(extensive property)의 시간 변화율과 검사체적에 대한 시간변화율의 관계를 나타낸다

Reynolds Transport Theorem 모든 물리법칙은 물리적 변수의 항으로 표시된다. 속도, 가속도, 질량, 온도와 운동량은 유체역학에서 사용되는 대표적인 물리적인 변수이다. B (N)가 이러한 유체의 변수를 나타내는 종량적 성질(extensive properties ; mass, linear momentum, angular momentum, energy, and entropy)이고, 변수 b(η) 는 강성적 성질(intensive property ;extensive property per unit mass ) 이라 한다

Reynolds Transport Theorem If B=m (질량), b=1. If B=mV2/2 (운동에너지), b= V2/2 . If B=mV (운동량), b=V.

Reynolds Transport Theorem 유체의 움직임을 지배하는 대부분의 법칙들은 유체 시스템의 종량적 성질의 시간 변화율로 표현된다– 즉, 시스템 운동량의 시간 변화율, 시스템 질량의 시간 변화율 등이다.

Reynolds Transport Theorem 검사체적 접근방법으로 표현하기 위해서는, 시스템이 아닌 검사체적의 종량적 성질인, Bcv, 에 대한 시간 변화율로 표현해야 한다. The Reynolds transport theorem provides the relationship between the time rate of change of an extensive property for a system and that for a control volume

Derivation of Reynolds Transport Theorem 일반화된 조건에서의 수송정리. 일반화된 고정된 검사체적과 이를 통해 흐르는 유체유동. 임의의 고정된 검사체적을 지나는 유동에 대한 검사체적과 시스템. 13

Derivation of Reynolds Transport Theorem At t ：BSYS(t) ≡BCV(t) At t+δt ： BSYS (t+δt ) ≡BCV (t+δt ) - BⅠ (t+δt ) + BⅡ (t+δt ) δt 시간 동안 시스템 내 B의 양의 변화는 3 1 2 14

Derivation of Reynolds Transport Theorem 1 첫째 항은 검사체적 내에서 B의 시간당 변화율이다. 15

Derivation of Reynolds Transport Theorem 2 둘째 항은 검사체적으로 들어오는 유체성질 B의 유입률.

Derivation of Reynolds Transport Theorem 세 번째 항은 검사체적으로부터 나오는 유체 성질 B 의 유출률. 3

가능한 속도 형상 검사표면 부분에서 가능한 속도형상: (a) 유입 유동, (b) 표면을 통과하는 유동이 없는 경우, (c) 유출 유동.

Derivation of Reynolds Transport Theorem 전체 검사표면을 통과하는 변수 B 의 정미 플럭스( net flux or flowrate) 는 다음과 같다 The Reynolds Transport Theorem 이것은 시스템의 임의의 종량적 성질 B의 변화율과 관련된 검사체적에서의 이 성질의 변화와 관련된 기본 관계식이다.

Physical Interpretation(물리적 해석) : 시스템에 대한 임의의 종량적 변수의 시간 변화율이며 변수 B 의 선택에 따라 시스템 내의 질량, 운동량, 에너지 및 각운동량의 변화율을 의미한다. : 유체가 검사체적을 통해 흐르면서 검사체적 내부에서 B의 시간변화율을 의미한다. : 전체 검사표면을 통과하는 변수 B의 정미율(net flux).

Relationship with Material Derivative (물질 도함수와의 관계) 대류 효과(Convective effect): 입자의 움직임과 관련된 효과. 비정상 효과 (Unsteady effect)

Moving Control Volume1/2 (움직이는 검사체적) 움직이는 검사체적의 예 Vcv 는 검사체적의 속도이고, V는 관성좌표계에 대해 측정된 절대속도이다. W 는 움직이는 검사체적에 대해 측정된 속도 – 움직이는 검사체적과 함께 움직이는 관찰자가 보는 유체속도이다.

Moving Control Volume2/2 일정속도로 움직이는 검사체적에 대한 Reynolds transport equation 은 검사체적과 같이 움직이는 관찰자에 따른 검사체적과 시스템.

Conservation of Mass(질량보존) – The Continuity Equation(연속방정식) 질량보존에 대한 기본 법칙 시스템이 어느 순간에 고정되고 변형이 없는 검사체적과 일치할 때 B=M and b =1 일치된 시스템의 질량의 시간 변화율 일치된 검사체적에 포함된 질량의 시간 변화율 검사표면을 통한 정미 질량 유동률 + =

Conservation of Mass – The Continuity Equation 고정된 변형이 없는 검사체적에 대해, 질량보존에 대한 검사체적 접근방법은: 연속 방정식 검사체적 내의 질량 증가율 질량의 정미 유입률

Conservation of Mass – The Continuity Equation Incompressible Fluids(압축성 유체) For Steady flow (정상 유동) 검사체적으로 들어오는 질량 유량은 검사체적으로부터 나가는 질량유량과 반드시 같다.

Other Definition 검사표면의 단면을 통해 지나는 질량유량(mass flowrate) 평균속도(average velocity)

Fixed, Nondeforming Control Volume 유동이 정상상태일 때 유동이 정상상태이고 비압축성일 때 유동이 비정상상태일 때 “+” : 검사체적 내의 질량이 증가. “-” : 검사체적 내의 질량이 감소.

Fixed, Nondeforming Control Volume 유동이 검사표면에서 균일하게 분포할 때(일차원 유동) 유동이 검사표면에서 비균일하게 분포할 때(비균일 유동)

Example Conservation of Mass – Nonuniform Velocity Profiles 물이 비압축성 층류 유동으로 그림과 같이 반경 R인 직관을 흐르며 발달된다. 단면 (1)에서 속도분포는 균일하며 축방향으로 상수 값 U와 같다. 단면 (2)에서 속도분포는 축대칭이며 포물선 형태로 관 벽에서 속도는 0이고 중심선에서 최대속도 umax 를 갖는다. U 와 umax 의 관계는? 단면 (2)에서 평균속도 와 umax 의 관계를 구하라?

Example Solution 연속방정식 정상유동 비압축성 조건에서

Moving, Nondeforming Control Volume 움직이는 검사체적이 사용될 때, 움직이는 검사체적에 대한 유체의 속도가 중요한 변수이다. W 는 검사체적과 같이 움직이는 관찰자가 본 상대속도이다. Vcv 는 고정된 관성 좌표계에서 본 검사체적의 속도이다. V 는 고정된 관성 좌표계에서 관찰자가 본 유체의 절대속도이다.

Deforming Control Volume 변형되는 검사체적이란 체적의 크기가 변하며 검사표면이 움직이는 것을 의미한다. The Reynolds transport theorem for a deforming control volume can be used for this case. Vcs 는 고정된 관찰자에 의해 관측된 검사표면의 속도이다. W 는 검사표면에 대한 상대속도이다.

Example Conservation of Mass – Deforming Control Volume 1/2 소의 예방접종을 위한 주사기가 그림과 같다. 플런저는 단면이 500 mm2이다. 주사기 내부의 액체가 300 cm3/min 의 유량으로 정상상태로 주입될 때, 플런저의 진행속도는 얼마인가? 플런저를 통과하는 누수율은 주사바늘 밖으로 유출되는 체적유량의 0.10 배이다. Leakage rate Determine the speed of the plunger be advanced

Example Solution 연속방정식

The Linear Momentum Equations ¼ (선형 운동량방정식) 관성 좌표계에 대해 움직이는 시스템에 대한 Newton 의 제2법칙은 시스템의 선형 운동량의 시간 변화율 시스템에 작용하는 모든 외력의 합 =

The Linear Momentum Equations 2/4 고정되고 변형이 없는 검사체적에 대해, Reynolds Transport Theorem을 적용하면 다음과 같다. B=P and 시스템의 선형 운동량의 시간변화율 = 검사체적 내부의 물질에 대한 선형 운동량의 시간 변화율 검사표면을 통한 선형 운동량의 정미 유동률 +

The Linear Momentum Equations 3/4 어느 순간 검사체적이 시스템과 일치할 때, 시스템에 작용하는 외력과 일치된 검사체적에 작용하는 외력은 순간적으로 동일하다. External forces acting on system and coincident control volume

The Linear Momentum Equations 4/4 고정되고 변형이 없는 검사체적에 대해, Newton의 제2법칙에 대한 검사체적 접근방법은 Linear momentum equation (선형운동량 방정식) Contents of the coincident control volume

Example Linear Momentum – Weight, Pressure,… 유동이 수직으로 위로 흐를 때, 단면 (1) 과 (2) 사이에서 발생하는 유체의 압력강하에 대한 식을 구하라.

Example Solution 선형 운동량 방정식의 축방향 성분은

Example Linear Momentum – Nomuniform Pressure 폭이 b인 수로에 설치된 수문이 닫힌 상태와 열린 상태가 그림에 나타나 있다. 어느 경우가 수문을 고정시키기 위한 힘이 더 큰가?

Example Solution 수문이 닫혀 있을 때, 검사체적 내부에 작용하는 수평력은 수문이 열려 있을 때, 검사체적에 작용하는 수평력은

Moving, Nondeforming Control Volume1/3 일정속도로 움직이는 검사체적에 대한 Reynolds transport equation 은 Contents of the coincident control volume Contents of the coincident control volume

Moving, Nondeforming Control Volume2/3 검사체적이 일정속도 Vcv로 움직이고, 검사체적 좌표계에서 steady flow(정상유동)인 경우 =0 정상유동의 경우, 연속방정식은

Moving, Nondeforming Control Volume3/3 관성계, 변형이 없고 움직이는 검사체적에 대해 정상유동의 선형운동량 방정식은 Contents of the coincident control volume

For moving or rotating control volume(비관성좌표계), 검사체적이 회전하거나 이동할 때 47

Moment-of-Momentum Equation1/4 (운동량 모멘트 방정식) 유체 입자에 Newton의 운동 제2 법칙을 적용하면 관성 좌표계의 원점에 대하여 양 변에 모멘트를 취하면

Moment-of-Momentum Equation2/4 시스템의 운동량 모멘트(the Moment-of-momentum)의 시간 변화율 시스템에 가해지는 외부 토크의 합

Moment-of-Momentum Equation3/4 시스템과 고정되고 변형되지 않는 검사체적이 일치하는 경우, The Reynolds transport theorem 은 시스템의 운동량 모멘트의 시간 변화율 검사표면을 통과하는 운동량모멘트의 정미 유동률 검사체적 내의 운동량 모멘트의 시간 변화율 = +

Moment-of-Momentum Equation4/4 순간적으로 시스템과 일치하는 검사체적에 대해서 시스템에 가해지는 토크는 정확히 일치하므로 고정되고 변형이 없는 검사체적에 대해, 운동량 모멘트 방정식은: Contents of the coincident control volume

For moving or rotating control volume, 검사체적이 회전하거나 이동할 때

Moving control volume 사용하는 경우 연속방정식으로부터

First Law of Thermodynamics – The Energy Equation1/4 시스템에 저장된 총 에너지의 시간 증가율 열전달에 의해 시스템 내부에 더해지는 에너지의 정미 시간 변화율 일에 의해 시스템 내부에 더해지는 에너지의 정미 시간 변화율 + = “+” going into system “-” coming out 시스템 내부에 가해진 정미 일률 시스템 내부의 각각의 입자에 저장된 단위질량당 총에너지 시스템 내부로 전달된 정미 열전달률

First Law of Thermodynamics – The Energy Equation2/4 시스템과 고정되고 변형되지 않는 검사체적에 대해-- Reynolds Transport Theorem은 시스템에 저장된 총에너지의 시간에 재한 증가율 검사체적에 저장된 총에너지의 시간에 대한 증가율 검사표면을 통과하는 총에너지의 정미 유동률 = +

First Law of Thermodynamics – The Energy Equation3/4 어느 순간 시스템과 일치하는 검사체적에 대해 검사체적에 대한 열역학 제1법칙은:

Rate of Work done by CV Shaft work : 회전축에 의한 일에 의해 검사표면을 통해 전달되는 축일 ( negative for work transferred out, positive for work input required) 검사표면에서 수직응력에 의한 일은: 검사표면에서 전단응력에 의한 일은: Other work  Negligibly small

First Law of Thermodynamics – The Energy Equation4/4

Application of Energy Equation1/2 정상유동의 경우 The integral of ??? Uniformly distribution 검사체적이 각각 하나의 입출구를 가지고 흐를 때

Application of Energy Equation2/2 축일이 포함되는 경우…. 평균적 정상유동에 대한 일차원 에너지 방정식 Enthalpy 에너지 방정식은 엔탈피를 사용하면

Energy Equation vs. Bernoulli Equation 1/4 정상, 비압축성 유동의 경우… 일차원 에너지 방정식은 열과 관련: 마찰 where 정상, 비압축성, 점성이 무시되는 경우… Bernoulli equation Frictionless flow…

Energy Equation & Bernoulli Equation 2/4 정상, 비압축성, 마찰 유동의 경우… Frictional flow… 유용 또는 가용에너지 (useful or available energy) 유용 또는 가용에너지의 손실

Energy Equation & Bernoulli Equation 3/4 마찰과 축일을 동반하는 정상, 비압축성 유동… Shaft head Head loss (수두손실)

Energy Equation & Bernoulli Equation 4/4 터빈의 경우 펌프의 경우 The actual head drop across the turbine 터빈 양정 The actual head drop across the pump 펌프 양정 hT is turbine head hp is pump head

Application of Energy Equation to Nonuniform Flows 1/2 검사표면을 통과하는 유량이 그 단면에서 속도분포가 균일하지 않다면… ???? 검사체적에서 입출구가 하나일 때….  는 운동에너지계수(kinetic energy coefficient) 는 평균속도 c.f. 운동량 수정계수:

Application of Energy Equation to Nonuniform Flows 2/2 비균일 속도분포를 갖는 경우

Example Energy – Effect of Nonuniform Velocity Profile 1/2 그림과 같이 소형 팬이 질량유량 0.1 kg/min으로 송풍한다. 팬의 상류에서는 관의 직경이 60 mm이며 층류유동으로 속도분포는 포물선 형태를 갖고 운동에너지 계수 α1는 2.0이다. 팬의 하류에서는 관의 직경이 30 mm이며 난류유동으로 운동에너지 계수α2 는 1.08이다. 팬의 전후로 정압이 0.1 kPa 만큼 상승하고 팬 모터가 0.14 W의 동력을 소비할 때 다음의 두가지 경우에 대한 손실값을 비교하라. (a) 균일 속도분포로 가정할 경우 (b) 실제적인 속도분포로 생각할 경우

Example Energy – Effect of Nonuniform Velocity Profile 2/2

Example Solution1/2 The energy equation for nonuniform velocity profile…….

Example Solution2/2