5장 비순환 디지털 필터의 설계 1

서 론 디지털 필터란? FIR 필터 : 유한 임펄스 응답  비순환 필터 IIR 필터 : 무한 임펄스 응답  순환 필터 2

필터 식 필터의 일반적인 식 가능한 한 계수 를 적게 쓰는 것 : 10~150 정도의 계수 - FIR - Convolution 비순환 필터출력 : 현재와 이전의 입력에 의해 결정 주파수응답 전달함수 가능한 한 계수 를 적게 쓰는 것 : 10~150 정도의 계수 3

비순환 필터 단점 : 대부분의 순환설계보다 느리게 수행된다. 시간 지연(시간 영역)  위상 영향(주파수 영역)  선형 위상 장점 - 안정적 : 영점들로만 표현 - 이상적인 선형 위상 특성 (위상왜곡이 없다) : 모든 주파수 성분에 동일한 phase shift (pp. 74, 75, 89) (a) 우함수 (phase=0) (b) 시간 지연(시간 영역)  위상 영향(주파수 영역)  선형 위상 4

간단한 이동-평균 필터 저역 필터 2M+1개의 계수, n=0에 대칭, 위상=0 신호의 부드러운 정도  M 인자의 증가와 비례 저역 필터 2M+1개의 계수, n=0에 대칭, 위상=0 신호의 부드러운 정도  M 인자의 증가와 비례 주엽의 폭  M의 값에 반비례 M 이 크면  | H()|는 싱크 함수  좁은 대역의 저역 필터 5

저역 이동 평균 필터의 주파수 응답 6 5-point M = 2 21-point M = 10 주엽의 폭은 M에 반비례 Z=1 에서는 영점이 없음 주변이 통과대역이므로 6

저역 이동 평균 필터의 주파수 응답 ex)  = 0  피크 값 = 1 원하지 않는 부엽  첫번째 부엽이 주엽의 22% 를 차지 5 항  4 영점들 z = 1에서 영점이 없다 21 항  20 영점들 통과대역이  = 0 를 포함한다. 실제적으로 영점들은 단위 원 위에 놓여 있다.  영점의 주파수 위치에서 주파수 응답이 0 ex) 7

저역 필터로부터 고역 또는 대역 필터의 설계 간단한 고역 필터와 대역 필터 - 저역필터의 임펄스 응답  cos(n0) (0 : 새로운 필터가 요구하는 중심 주파수) - 주파수영역에서 컨벌루션(주파수영역에서의 저역 통과 함수와 코사인 스펙트럼 : 통과 대역을 에서 로 변화)은 시간 영역에서의 곱 - 예: = π/3에서 최대응답을 갖는 대역 필터 고역통과 필터: 근본적인 임펄스  cos(n) 필요에 따라 진폭에 2를 곱함 Otherwise 8

푸리에 변환 방법 기본적인 방법 ㄴh[n]의 샘플값  이상적인 필터 접근방법 이용 계수의 개수 비 순환 필터의 곱셈계수 ㄴh[n]의 샘플값 만약 H()가 복잡하다면 풀기 어려우므로  이상적인 필터 접근방법 이용 계수의 개수 큰 수  비경제적 필터  계수의 수를 제한해 주어야 한다. 0<Ω<2π 가 아닌 -π<Ω<π 로 정의 : 간단한 적분을 위해 10

이상적인 저역 통과 필터 방법 1.0 11

예제 5.1 차단 주파수가 (a) Ω1=π/5인 (b)Ω1 =π/2인 이상적이고 위상 변화가 없는 저역 필터의 임펄스 응답을 구하고 그려라. 풀이 분자와 분모가 모두 0이기 때문에 계수 h[0]은 찾을 수 없으므로 l'Hospital의 정리를 사용하면 (a) (b) 12

13 - 대역제한과 시간 제한 사이에는 정 반대의 효과 발생 - 특정한 방법으로 임펄스 응답 제한 - 양 끝단의 작은 샘플 값 무시 - 코절 시스템을 위해 h[n]을 n=0에서 시작 13

2M+1 항으로 제한하고, n=0 에서 시작하도록 이동시키면 저역 필터로부터 고역 또는 대역 필터의 설계 (대역폭: 중심 주파수: ) 저역통과 필터 식(5.5)의 를 으로 대치 2M+1 항으로 제한하고, n=0 에서 시작하도록 이동시키면 중심주파수 : 대역폭 : 16

주파수 분할 다중 (frequency-division multiplexing) 주파수 분할다중 : 다수의 신호를 약간씩 다른 대역의 주파수를 이용해 전송 예: 와 두개의 이산 주파수 성분을 가진 신호를 전송하기 위해 다른 신호주파수(전송주파수) 와 가 결합 대역 필터를 사용하여 원하는 신호를 복원 ΩA와 ΩB : 통과 대역 ΩC와 ΩD :차단 대역 17

주파수 분할 다중 (frequency-division multiplexing) ΩA와 ΩB 의 코사인 신호 ΩC와 ΩD : 성분첨가 대역 필터에 의해 ΩC와 ΩD제거 과도응답 18

최소제곱 푸리에 변환 설계 방법: 최소 제곱 방법으로 최상의 근사값 도출 가능 : 최소제곱방법 : 원하는 주파수 응답, : 제한된 계수를 통하여 실제로 얻은 주파수 응답 중요한 고려사항 : 필터의 부엽크기 혹은 통과 대역과 정지대역 사이의 차단 특성 계수제한 창문기법 (windowing) 19

Lowpass Filter Design Cutoff frequency : Sampling rate : 19

Highpass Filter Design Cutoff frequency highpass filter 19

Bandpass Filter Design Cutoff frequency : Sampling rate : Duration of impulse response : 중심주파수 : 대역폭 : 19

Frequency Transformations 19

관찰 창(observation window) 절단 창문 기법: 직사각형 창과 삼각 창 무한한 길이의 임펄스 응답을 제한 하는 방법은 유한한 길이의 창 함수를 임펄스 응답에 곱하는 것 관찰 창(observation window) 직사각형창 제한된 임펄스 응답 20

직사각형 창 HA(Ω) 내의 맥류는 차단주파수 주변에 몰림 통과 대역에서 저지대역으로 천이가 더 급해짐 21 ■ ■ HD(Ω)와의 컨벌루션은 파동이나 맥류를 포함하는 근사값. ■ 통과대역의 모양을 왜곡시키고 원하지 않는 부엽을 생성. ■ 직사각형 창의 길이를 증가시키면 주파수 대역이 좁아짐. HA(Ω) 내의 맥류는 차단주파수 주변에 몰림 통과 대역에서 저지대역으로 천이가 더 급해짐 21

직사각형 창 갑작스런 변화 구역에서 최대 맥류의 진폭크기는 대략 9퍼센트 정도 → HA(Ω) = HD(Ω) 22 ■ 깁스 현상 ■ HA(Ω)에서 맥류의 형태와 크기 → W(Ω)의 형태에 의존. ■ 만일 w(Ω)가 주파수 영역에서의 임펄스 함수라면: → HA(Ω) = HD(Ω) ■ 주파수 영역 → dB(데시벨) → 20log10G 22

직사각형 창 M = 10 → 21개 항 M = 25 → 51개 항 ■ 첫번째 부엽 → 주엽에서 13.5 dB 아래에 위치. ■ 모든 부엽이 -30dB보다 큼. 23

삼각 창 스펙트럼 :  = 0 에서 최대값 창 스펙트럼 모든 계수를 (M+1)2으로 나누면 Bartlett 창 창 스펙트럼 삼각 창 (2M+1개의 항) = 직사각형창 *직사각형창 : (M+1개의 항) 24

삼각 창 삼각창의 부엽의 크기는 직사각형 창의 절반 정도의 부엽을 가짐 삼각창의 첫 부엽 : 약 -27dB 직사각형의 첫 부엽 : -13.5dB 단점 : 직사각형 창보다 2배 넓은 주엽 장점 : 직사각형 창보다 작은 부엽 부엽과 맥류를 무시해도 되는 경우는 직사각형 창이 BEST 25

Von Hann창 & Hamming 창 - 창의 일반적 경향 (절충안 필요) 26 좁은 주엽 넓은 부엽, 넓은 주엽 작은 부엽 좁은 주엽 넓은 부엽, 넓은 주엽 작은 부엽 - HA(Ω)에서 천이 영역 폭은 W(Ω)의 주엽의 폭에 의존. 예 : 가파른 천이 영역은 주엽의 폭이 좁아질 때 발생 (부엽이 작아지면 맥류 성능이 향상) Hanning 창 Hamming 창 일반화 p.150 Fig.5.15 26

Von Hann창 & Hamming 창 A= 0.5 B= 0.5 C=M+1 Von Hann창 A= 0.54 B=0.46 C= M Hamming창 스펙트럼 함수 Hamming창이 가장 우수 28

대역필터 (Von Hann창 & Hamming 창) 중심주파수 : 대역폭 : 29

Hamming 필터 대역폭 : 101개(M=50)의 계수 30 Von Hann과 Hamming창의 단점 : 주엽의 대역폭 크기가 주어진 100보다 큼 처음부터 대역폭을 더 좁게 설계 Hamming 창에 기초한 계수가 101인 저역 필터의 주파수 응답 대역폭 : 101개(M=50)의 계수 30

Kaiser창 I0 : 0 차의 첫번째 종류의 수정된 Bessel 함수 (=0 :직사각형 창, =5.44 : Hamming 함수) : 천이폭 +δ : 맥류의 크기 31

Kaiser창 매개변수 α는 맥류값 δ에 따라 변한다 (α가 창을 가늘게 만들어 주고 부엽의 크기를 조절하기 때문) 주어진 맥류값에 대해 천이폭 Δ는 창의 길이와 관계가 있다 (Δ값이 정해지면 매개 변수 M의 값을 찾을 수 있다) 맥류의 크기 A와 천이폭 Δ를 사용하여 M을 구함 식 (5.28), 그림 5.20 32

등맥동 필터 - 천이 영역으로부터 멀어질수록 원하는 신호와 실제 응답 사이의 오차가 작아진다 - 오차가 0     인 모든 구간에서 동일하게 분포된다면 맥류 크기와 천이 폭, 필터의 차수 사이에 더 나은 식을 구할 수 있다 다른 형태의 필터 등맥동 필터 : 통과 대역 또는 저지 대역 중 어느 하나에 맥류가 분포하는 것이 아니라 통과 대역과 저지 대역에 동시에 적절한 크기의 맥류를 갖는 근사값을 찾는다 33

저역 등맥동 필터 34

등맥동 필터 Hermann과 Schuessler는 Ωp와 Ωs를 변화 시키면서 M, δ1, δ2를 설정 (그림 5.21의 등맥동 필터가 비선형식으로 나타남) Hofstetter, Oppenheim, Siegel은 필요한 특성으로 삼각 다항식을 찾기 위해 반복 알고리즘을 개발하여 M이 큰 값을 가질 때 비선형 방정식을 해결 Parks와 McClellan은 실제 δ1의 값을 변화시키면서 M,Ωp와 Ωs 와 맥류비율 δ1/δ2를 설정 - 실제 필터 설계시 매우 중요한 부분인 천이영역이 잘 조절된다는 장점 - 설계 문제는 비교차 집합에 대해 Chebyshev 근사값으로 해결 35

 2 디지털 미분기 일차이산(FOD, first-order difference) 이상적 FOD 우함수 기함수 우함수 기함수 허수의 주파수 응답, n=0 부근에서 비대칭 36

디지털 미분기의 주파수 응답 37

예제 5.2 38 그림 5.23(b)에서 보여지는 B(Ω)에서 H(Ω)=j B(Ω)일 때 주파수 응답에 상응하는 임펄스 응답 h[n]을 구하고, 21항의 코절 미분 필터에 해당하는 h[n]의 형태를 그려라. 풀이 푸리에 역변환 : 윗 식을 부분적으로 적분하면 n이 기수라면 exp(jnπ) = exp(-jnπ) = -1, n이 우수라면, exp(jnπ)= exp(jnπ)=1 38

- n=0인 경우는 위의 수식에서 공통 요소인 n 과 n2 때문에 거의 다루기가 힘들다. - 식(5.40)에서 n=0일때, 쉽게 h[0]=0인 것을 알 수 있으며, 이러한 결과는 n=0에 대하여 h[n]의 중간 값인 h[0]가 0인 비대칭적임을 나타낸다. - n=0에서의 어느 한쪽으로 감소할지라도 ‘종단’은 영원히 길게 이어진다. - 그림 5.24 : 21 계수로 제한된 임펄스 응답 - n=0에서 시작되도록 이동되었고, 중간 값이 0이기 때문에 20항으로 표현 - 코절형 미분기는 최소 제곱 근사로 원하는 주파수 응답을 구할 수 있고, 열 개로 샘플링한 순수 지연을 보여준다. 40

HW #4 1분반 : due 11/6, Wednesday CHAPTER 5 Problems Q5.1 Q5.3 Q5.7 Q5.11 Q5.14