제 6 장. 수치미분과 수치적분

1. 수치 미분 미분의 정의 : 도함수는 미분을 위한 기초 수단을 제공. 차(difference)에 의해 구별한다. 사이의 차이를 인식한다. 도함수는 미분을 위한 기초 수단을 제공. 도함수는 독립변수에 대한 종속변수의 변화율 차의 근사값으로 정의 됨

도함수의 정의 (a)에서 (c)로 가면서 x의 차이가 0으로 접근할 때 차분 근사값은 도함수가 됨

1. 수치 미분(cont.) 미분함수의 유형 : 다항식, 지수함수, 삼각함수와 같은 간단한 연속함수. 직접 미분하기 어렵거나 불가능한 연속함수 실험적인 데이터와 같은 불연속적인 점들에서 주어진 x와 f(x)값을 도표화 시킨 함수.

1. 수치 미분(cont.) 미분은 물리적 세계에서 변화 자체를 나타내는 예측 가능한 방법으로 공학문제에 널리 적용되고 있음 예) 공간과 시간에 대해서 어떤 변수를 특성화 시키는 내용 예) 열전도 Fourier 법칙에서 도함수는 열의 전달을 유도하는 온도변화의 크기를 나타내는 척도로 사용  정확하게 도함수를 추정하는 능력이 필요함

1. 수치 미분(cont.) 수치 미분은 도함수 추정을 위해 유한 제차분 사용. 미분 규칙 보간 기법으로 데이터들에 완만한 곡선을 적합 시키고, 도함수를 산출하기 위해 이 곡선을 미분. 미분 규칙

1.1 1 차 미분법 보간법을 사용하여, 보간 함수를 구하고 미분하여 미분값을 구함. x가 등 간격이면, Newton의 전향 보간 공식 등 간격이 아니면, Lagrange의 보간 공식

1.1 1차 미분법(cont.) Newton의 전향 보간 공식을 이용.

1.1 1차 미분법(cont.) x = x0에 대한 미분을 생각하면, u = 0이 되므로 위의 수치 미분공식을 사용하여, 항을 하나씩 증가시켜 가다가 허용 오차 안에 들어오면, 계산을 중지 이 미분공식은 좋은 근사값을 구하지 못함 점(x0, y0)와 그 오른쪽 점들을 통과하는 보간함수로 표현 f ’(x0)는 보간 구간의 끝점  가운데 지점에서 구하자

1.1 1차 미분법(cont.) 중심 차분 미분 공식: 전향 차분 값과 후향 차분 값을 더해서 평균한 것과 같다.

예제6.1 & 6.2 전향차분 미분 pn’(1.7) = 1/h ( y0) = 6.060 중심차분 미분 x y 1.3 3.669 1.5 4.482 1.7 5.474 1.9 6.686 2.1 8.166 2.3 9.974 전향차분 미분 pn’(1.7) = 1/h ( y0) = 6.060 중심차분 미분 pn’(1.7) = 1/(2h) ( y0+ y0) = 5.510

1.2 고차 미분법

1.2 고차 미분법 (cont.) 교재 251, [예제 6.3] n차 미분에 대하여 첫 번째 항을 취하는 경우

a에서 b까지 범위에 대한 f(x)dx 의 누적 2. 수치 적분 적분의 정의 : 부분들을 모아서 전체가 되는 것. 전체 양을 나타내는 것 a에서 b까지 범위에 대한 f(x)dx 의 누적

2. 수치 적분 적분의 수학적인 표현 : 초기 조건 y(a)=0이 주어졌을 때 y(b)에 대해서 미분 방정식의 해를 구하는 것과 같다. f(x)가 매우 복잡하여, F(x)를 구할 수 없는 경우나, 관측 값이 주어져 f(x) 를 모르기 때문에 F(x)를 구할 수 없는 경우는 보간법을 이용한다.

2. 수치 적분(cont.) Newton-Cotes 적분법 : 함수를 보간 다항식 pn(x)로 대신하여, 근사 적분 값을 구할 수 있다. 수치 적분 : 적분 구간[a, b]를 n개의 소 구간으로 나누고, 그 간격을 h라고 하면, 각 소 구간의 적분 값을 구해서 더하면 전체에 대한 근사값을 얻게됨 직각사각형 적분법, 사다리꼴 적분법 Simpson적분법 Romberg 적분법 Gauss 적분법

2.1 직각사각형 적분법 (Rectangular Rule) Newton의 전향 보간 공식에서 상수항만 취한다

2.1 직각사각형 적분법(cont.) Taylor 급수 전개 직각 사각형 적분의 오차 오차는 구간의 개수에 반비례 (1/n)

2.2 사다리꼴 적분법 (Trapezoidal Rule) Newton의 전향 보간 공식에서 1차 항까지 취한다 한 소구간에서 적분 값은 x0 x0 + h f(x0)=y0 f(x1)=y1 사다리꼴 면적

2.2 사다리꼴 적분법 (cont.)

2.2 사다리꼴 적분법(cont.) 사다리꼴 적분법의 오차 오차가 1/n2 : 구간의 개수가 2배로 늘어나면, 오차는 ¼로 줄어 듬

Exercise 1 [0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라. n = 2일 때, 직각 사각형 적분법을 이용하여라. i xi f(x) 0.2 1 0.4 2.456 2 0.8 0.232

Exercise 2 [0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라. n = 2 일 때, 사다리꼴 적분법을 이용하여라. i xi f(x) 0.2 1 0.4 2.456 2 0.8 0.232

Simpson 1/3 공식 Simpson 3/8 공식 보다 정확한 적분 값을 얻기 위하여, 점을 연결시키는 고차 다항식을 이용한다. Simpson 1/3 공식 Simpson 3/8 공식

2.3.1 Simpson1/3 공식 2차 보간 다항식을 이용 세 점 x0, x1, x2을 이용하므로

2.3.1 Simpson1/3 공식(cont.)

2.3.1 Simpson1/3 공식(cont.) 전 구간에서의 적분 값은 Simpson의 1/3 적분법 공식

2.3.1 Simpson1/3 공식(cont.) Simpson 공식의 오차 등 간격인 짝수개의 간격과 홀수개의 자료 점에 대한 적분 법으로 많이 사용

2.3.2 Simpson3/8 공식 보간 다항식의 3차 항까지 취하여 구간의 개수가 홀수개인 경우 유용하게 사용할 수 있다. 일 때,

2.3.2 Simpson3/8 공식(cont.) 3/8 공식의 오차(한 구간에서의 오차)

Exercise 3 [0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라. (n=4일 때)

Exercise 4 [0, 0.8]구간에서 다음을 수치 적분하라. 1. n = 3 일 때 : Simpson 3/8 공식을 이용

2.4 Romberg 적분법 함수의 수치 적분을 효과적으로 구하기 위하여 설계된 기법 연속적으로 사다리꼴 적분 공식을 적용 대각선 요소들의 값의 차이가 허용 오차 만족할 때 계산을 중지  사다리꼴 적분법의 값  제 1차 Romberg 적분값 제 2차 Romberg 적분값

2.4 Romberg 적분법(cont.) 제 1차 Romberg 적분법 공식 제 2차 Romberg 적분법 공식 여기에서, k는 소구간의 개수 k = 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

2.5 Gauss 적분법 고정된 양 끝점을 연결하는 적분공식 적절하게 위치시킨 두 점으로 양의 오차와 음의 오차가 균형을 이루게 하여 적분값을 개선

2.5 Gauss 적분법 (cont.) n개의 미지수를 이용하면, n – 1차 보간 다항식 적분 구간이 [–1, 1]이라면, 4개의 미지수(a, b, t1, t2)를 가지는 다음식은 3차 다항식에 대하여 성립 Gauss 적분법은 위 방정식의 계수들을 결정 f(t2) f(t1) -1 t1 t2 1

2.5 Gauss 적분법(cont.) 3차식에 대하여 성립한다면, f(x)=x3인 3차식에 대해서도 성립해야 하므로, -----(1) -----(2) -----(3) -----(4)

2.5 Gauss 적분법(cont.) 식 (3)에서 : 식 (1)에 대입하면, 위 식이 성립하기 위해서는

2.5 Gauss 적분법(cont.) 이 경우, 에만 식을 만족할 수 있게 되므로, 식(3)과 식(4)로부터 이 경우, 에만 식을 만족할 수 있게 되므로, 식(3)과 식(4)로부터 식(2)에 대입하면, 적분 공식은 다음과 같아진다 b=0이면, 우변함수가 한 개 t2 =0, t1 = t2 이면 적분구간이 틀려짐

2.5 Gauss 적분법(cont.) 적분 구간 변수를 변환하여, 구간 [a, b]를 [-1, 1]이 되게 해야 한다 x=a0+a1 t t -1 1

2.5 Gauss 적분법(cont.) 따라서, 적분 공식은 다음과 같아진다 예제 6.6