Medical Instrumentation HW#2 동서의료공학과 6조

목 차 1. 과제 순위 2. Calibration이란? 3. Least Square Method란? 목 차 1. 과제 순위 2. Calibration이란? 3. Least Square Method란? 4. Least Square Method –Linear(1) 5. Least Square Method –Linear(2) 6. Least Square Method –Curve

과제 순위 2004200456 임명준 2005200439 이지민 2004200459 장재필 2007102856 임영민 2007102854 이준관

Calibration이란? Calibration 이란? 사전적인 의미로 교정, 보정의 의미를 가지고 있다. 이번 과제에서 우리가 알아보고자 하는 Least Square Method를 사용하는데 쓰이는 가장 중요한 개념이다. 2. Calibration Curve란? 임의의 자료값이 일정한 형태로 분산되어 있을 때, 그 값들이 어떠한 분포를 가지고 있는지 대략적인 형태를 알아보기 위한 표준화된 곡선을 Calibration Curve라고 한다.

Least Square Method란? Least Square method란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x)를 그에 따른 실험값 y (종속변수)의 쌍 (x, y)을 얻는다. 실험을 N회 반복하여 (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn)의 데이터를 확보한 뒤에 이 수많은 데이터들이 일정한 규칙성을 갖지 못한다면, 이 실험은 아무런 의미를 갖지 못한다. Least Square method란, 이 상관관계를 나타내는 함수 y=f(x)를 찾는 하나의 도구라고 할 수 있다. 따라서, 데이터들의 유용성을 판단하기 위해서 가장 먼저 해야 할 작업은, 두 변수 간에 상관관계가 있는지, 만약 있다면 어떤 상관관계를 갖고 있는지 찾아보는 것이다. 상관관계를 함수로 표현할 수 있다면, "이 실험에서 나온 데이터를 분석했더니 이런 규칙이 있더라.”라고 말할 수 있으며, 여기서 하나의 공식이 탄생하는 것이다.

Least Square Method의 원리는? 오른쪽 그림에서 각 데이터 좌표에서 최적 함수까지의 거리를 고려해보자. 이 직선이 최적함수라면, 이 차이가 가능한 최소의 값을 가질 것이다. Least Square Method 은 이 편차의 제곱을 최소화 하기 위한 방법이다. n회 측정한 측정값 y1, y2, …, yn이 어떤 다른 측정값 x1, x2, …, xn의 함수 라고 추정할 수 있을 때, 측정값 yi 와 함수값f(xi)의 차이를 제곱한 것의 합이 최소가 되도록 하는 함수 f(x)를 구하는 것이 Least Square Method의 원리이다.

Least Square Method-Linear(1) X Y E X1 Y2 Y1-(aX1+b) X2 Y2-(aX1+b) . Xn Yn Yn-(aXn+b) 1. Least Square Method를 사용함에 있어서 자료값과 Calibration 의 차이를 Ei라고 하고, 각각의 데이터에서 Ei 값을 계산하는 과정을 보여보자. 2. 직선형태의 Calibration Line을 그리고 싶다면, 최적의 함수 y=f(x)를 y=a+bx의 형태로 유도하여 보자. 그러기 위해서 먼저 데이터 테이블을 만들어 보면, 오른쪽과 같은 표를 만들 수 있다.

Least Square Method-Linear(1) 3. 오차의 제곱을 더하는 연산을 식으로 나타내면, 다음의 식을 얻을 수 있다. 이 함수식을 Objective Function이라고 부른다. 왜? 제곱을 더하는가? 그대로 더할 경우에 양의 값과 음의 값이 합해져 적합한 결과를 얻지 못한다. 절대값 또한 나중에 합할 경우에 미분계수 계산에 문제가 생길 수 있으므로 편차의 제곱을 계산한다. 4. 앞장에서 나온 식을 정리하면, 이 된다.

Least Square Method-Linear(1) 5. 방정식의 양쪽을 편미분하게 되면, 이 된다. 6. 이제 각각의 식을 정리하여 우리가 원하는 직선의 계수값인 a, b값을 정리해 주면, 의 형태로 정해줄 수 있다.

Least Square Method-Linear(2) (N×2)*(2×1)= (N×1) A p = q AT A p = AT q P = (AT A )-1 AT q 다음 식을 사용하여 곡선형에도 적용할 수 있다.

Least Square Method-Linear - Least Square Method-Linear의 MS Excel을 통한 실행 이전까지의 방법을 직접 데이터 값을 입력한 뒤에 그 값을 뿌려주고 그에 따른 추세선추가(우리가 구하고자 하는 f(x)와 비슷한 형태를 보여줌)라는 기능을 이용하여 y=f(x)를 그려주고 R2의 값을 계산하여 구해주도록 설정해 주었다.

Least Square Method-curve 이제 직선이 아닌 m차 다항식의 곡선에서의 Least Square Method 을 구해보자. 만약에 식을 구한다고 한다면 구하는 연립식의 숫자를 m+1이상이 되어야 한다. 먼저 구하고자 하는 식을 적어보면, 로 m차 다항식을 구해볼 수 있다. 이제 최소 자승 오차를 구해보면, 그런 다음에 변수 앞의 계수들의 값을 구하기 위해 식을 정의해 보면,

Least Square Method-curve 미지항으로부터 끌어낸 첫 번째 미분계수를 구하는 과정이다. 그리고 그 식을 확장하여, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Least Square Method-curve 이제 이 식들을 정리하여 밑의 주어진 절차에 따라 풀어주면, -> X A = Y -> XT X A = XT Y -> A = (XT X)-1 XT Y

Least Square Method-curve 행렬의 계산과정을 보면 다음과 같다. 각각의 행렬의 곱을 이용하여 a0, a1, …, am을 구할 수 있다.

Least Square Method-curve - Least Square Method-Curve의 MS Excel을 통한 실행 이번에는 지수함수 형태의 데이터 값을 입력한 뒤에 그 값을 뿌려주고 그에 따른 추세선추가(구하고자 하는 f(x)와 비슷한 형태의 선을 보여줌)라는 기능을 이용하여 y=f(x)를 그려주고 R2의 값을 계산하여 구해주도록 설정해 주었다.

감사합니다.