헤론의 생애와 업적 수학과 3학년 박 경 진

목 차 1. 헤론의 생애 2. 헤론의 저작 3. 유클리드 원론에서의 헤론 공식 4. 삼각함수에서의 헤론 공식

헤론(2세기경)의 생애 고대 그리스의 수학자 알렉산드리아에서 활동했다는 것 이외에는 어느 시대 사람인지 불분명. 대체로 기원전 150년경부터 250년 사이에 산 것으로 보임. 최근에 들어와서는 그가 1세기의 약75년경에 살았던 것으로 추정. 그가 이집트인으로서 그리스 고육을 받았을 것이라고 추측되기도 함.

수학과 물리학 분야에서의 저작은 많고, 다양해서 흔히 그를 이 분야에서의 백과사전적 작가라고 일컫기도 한다. 실용적인 이용에 목적을 크게 두었음 ☞ 그리스 문명과 오리엔트 문명의 진기한 혼합체 공학과 측지에 대한 많은 과학적 기초를 제공

헤론의 저작 분류 기하학 - 측정의 문제를 다룸 (헤론의 작품 중 가장 중요한 것은 <측정론,Metrica>으로써 (세 권) 최근 1896년에 콘스탄티노플에서 쇠네(R.Schone)가 발견) 역학 - 기계적 고안품에 관한 설명 (ex. 지레와 나사의 단일 기계, 증기력…) 그외에도 <측량술>,<조준의에 대하여>,<기체장치>,<자동장치의 제작법에 대하여>,<발사무기의 제작술>,<구적법>,<입체기하학> 등이다.

헤론의 수학에서의 업적은 산술에 의한 2차 방정식의 해법, 삼각형의 변의 길이로 면적을 구하는 '헤론의 공식'이 유명하다.

유클리드 원론에서의 헤론 공식 명제 1. 삼각형의 각의 2등분선들은 한 점에 서 만나고 그 점은 삼각형에 내접하는 원의 중심과 같다. 명제 2. 직삼각형에서, 직각의 꼭지점으로부 터 밑변으로 수선을 그리면, 이렇게 해서 만들어진 이웃하는 두 삼각형은 원삼각형과 각각 닮은꼴이며, 이웃하 는 삼각형도 또한 서로 닮은꼴이다. 

명제 3. 직각 삼각형에서 빗변의 중점은 세 꼭 지점에서 같은 거리에 있다. 명제 4. 만일 AHBO가 대각선을 각각 AB와 OH로 하는 사각형으로, ∠HAB와 ∠HOB가 직각이면, 네 점 A, O, B와 H를 모두 지나는 원을 그릴수가 있다. 명제 5. 원에 내접하는 사각형의 맞각의 합은 2직각이다.

삼각함수에서의 헤론 공식 정리: 삼각형에서, K를 삼각형의 넓이 a, b, c를 각각 세변의 길이 s를 반둘레

증명 ① 먼저 명제 1을 이용하여 삼각형의 내심을 구해 그 점을 O라 하면 OD=OE=OF=r를 얻 는다. ② 다음, 삼각형 △AOB, △BOC, △COA의 넓이를 구하면 다음과 같다.          △AOB = (1/2)(AB)*(OD) = (1/2)cr.      따라서 △BOC = (1/2)ar, △COA = (1/2)br

 K = △ABC = △AOB+△BOC+△COA = (1/2)cr+(1/2)ar+(1/2)br        = r((1/2)(a+b+c)) = rs   ③ 명제 1에서 내심과 꼭지각을 이어주면 이 선분은 꼭지각을 각각 2등분하므로 세 쌍의 닮은꼴인 삼각형을 얻게 되는데 즉, 이 삼각형들의 각 변과 각을 조사 하면 다음과 같다.      AD = AF, BD = BE, CE = CF  또한 ∠AOD = ∠AOF, ∠BOD = ∠BOE, ∠COE = ∠COF.

이제 헤론은 AB를 연장하여 AG = CE가 되도록 G점을 잡게 되는데 그러면 BG = BD+AD+AG = BD+AD+CE =(1/2)(2BD+2AD+2CE) = (1/2)((BD+BE)+(AD+AF)+(CE+CF))        = (1/2)((BD+AD)+(BE+CE)+(AF+CF)) = (1/2)(AB+BC+AC) = (1/2)(a+b+c) = s 를 얻게되어 반둘레 s를 볼 수 있게 된다.

s-c = AG, s-b = BD, s-a = AD 의 길이도 특별한 선분으로 나타내었다

④ BO에 수직이 되게 O점에서 직선 OL를 긋는다.   ⑤ 다음 ABDP 수직이 되게 A점에서 수선 AM을 긋고 OL과 만나는 점을 H라 한다. ⑥ 마지막으로 BH를 이어주면 사각형 AHBO는 직각을 두 개 가진 사각형이 된다. 따라서 명제 5에 의하여 맞각의 합은 2직각이 된다. 그리고 내심 주변의 각을 같은 각끼리는  같은 이름을 붙여 α,β,γ로 하면    2직각 = α+β+γ = α+ ∠AOB = ∠AHB+∠AOB 이므로 α = ∠AHB  

이 두각이 같으므로 △COF와 △BHA가 닮은꼴임을 알 수있다. 여기서 다음과 같은 비례식을 얻을 수가 있다. AB / AH = CF / OF = AG / r 또는 AB / AG = AH / r ---------- (1) 이와 같이 △KAH와 △KDO도 닮은꼴이므로 다음 비례식을 얻는다.   AH / AK = OD / KD = r / KD 또는 AH / r = AK / KD ---------- (2) (1)과 (2)를 종합하면 AB / AG = AK / KD ---------- (3)

헤론은 직각삼각형 BOK에서 명제 2를 이용하여 또 한쌍의 닮은 삼각형을 들고 있는데 △KDO는 △ODB와 닮은꼴이므로 다음 관계식을 갖게 된다. KD / r = r / BD 또는 (KD)(BD) = r²---- (4) 여기서 (3)식의 양변에 각각 1을 더해 주면 AB / AG+1 = AK / KD+1가 되고 이를 통분하 면 AB+AG / AG = AK+KD/KD 또는 단순히 BG / AG = AD / KD가 된다. 그러므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. 

BG / AG * BG / BG = AD / KD * BD / BD (BG)² / (AG)(BG) = (AD)(BD) / r² -----------((4)식 이용) 분모를 없애고 간단히 하면 다음과 같이 된다.    r²(BG)² = (AG)(BG)(AD)(BD)    ----------(5) 앞에서 K = rs 임을 보였고 또한 각 선분의 길이를 s, s-a, s-b, s-c 등으로 나타냈으므로 이 결과들을 대입하면 (5)식은 다음과 같이 표시된다

r2s2 = (s-c)(s)(s-a)(s-b) = s(s-a)(s-b)(s-c) 따라서, K = rute {s(s-a)(s-b)(s-c)}