Chapter 2 Formulation of the Continuum Mechanics 2012년 2학기 강의노트 비선형유한요소해석 Chapter 2 Formulation of the Continuum Mechanics

Internal virtual work = External virtual work 2-1. Formulation of the Continuum Mechanics Incremental equations of Motion   다음과 같은 경우를 고려하는 변위기준 유한요소 해법을 위한 연속지배방정식을 살펴본다. - 대변위 & 대회전 (large displacements & rotations) - 대변형율 (large strains) - 비선형 응력-변형율 관계식 (nonlinear stress-strain relations)   이 지배방정식은 선형부분에서 언급한 식의 연장이라 할 수 있다. (2.1) Internal virtual work = External virtual work

Figure 2.1 Motion of body in Cartesian coordinate frame 2-2. Lagrangian(or material) formulation Lagrangian(or material) formulation : We follow all particles of the body in their motion from the original to the final configuration of the body. Figure 2.1 Motion of body in Cartesian coordinate frame

Internal virtual work = External virtual work 2-2. Lagrangian(or material) formulation 텐서 표기법을 이용한 가상변위의 원리 (Principle of virtual displacements) 여기서, Cartesian of the Cauchy stress tensor (forces per unit areas in the deformed geometry) Cartesian coordinates of material point at time volume at time (2.2) Internal virtual work = External virtual work strain tensor corresponding to virtual displacements components of virtual displacements vector imposed on configuration at time , a function of ,

2-2. Lagrangian(or material) formulation (2.3) 여기서, components of externally applied forces per unit volume at time components of externally applied surface traction per unit surface area at time surface at time on which external tractions are applied evaluated on the surface (the components are zero at and corresponding to the prescribed displacements on the surface ) ※ The virtual displacements may be thought of as a variation in the real displacements (subject to the constraint that these variations must be zero at and corresponding to the prescribed displacements). These displacement variations result in variations in the current strains of the body, and we shall later, in particular, use the variation in the Green-Lagrange strain components corresponding to

2-2. Lagrangian(or material) formulation ▷ 단순하게 (2.2)에서 언급한 가상변위의 원리는 선형해석에서 사용한 (2.1)식을 시간 에서 고려한 물체에의 응용이며, 매우 중요한 사실이다. 따라서 선형에서 언급한 모든 논의와 결과는 현재 구성, 여기에서도 유효하고, 적용 가능하다. It is most important to recognize that the virtual work principle stated in (2.2) is simply an application of the equation in (2.1) (used in linear analysis) to the body considered in the configuration at time . Therefore, all previous discussions and results pertaining to the use of the virtual work principle in linear analysis are now directly applicable, with the current configuration at time being considered.

Example 2.1 Derive the principle of virtual displacements for the general three dimensional body in Fig 2.2 <General three-dimensional body with an 8-node three-dimensional element>

Example 2.1 To simplify the presentation we use indicial notation with the summation convention, with denoting the coordinate axis ( , , ), denoting the th displacement component ( , , ), and a comma denoting differentiation. The given displacement boundary conditions are on , and let us assume that we have no concentrated surface loads, that is, all surface loads are contained in the components . The solution to the problem must satisfy the following differential equations. (see, for example, S. Timoshenko and J.N. Goodier [A]): throughout the body (a) with the natural (force) boundary conditions on (b) and the essential (displacement) boudary conditions on (c)

Example 2.1 where , , and the are the components of the unit normal vector to the surface of the body. Consider now any arbitrarily chosen continuous displacements satisfying on Then and therefore (d) (e)

Example 2.1 We call the virtual displacements. Note that since the are arbitrary, (e) can be satisfied if (and only if) the quantity in the parentheses vanishes. Hence (e) is equivalent to (a). Using the mathematical identity ( ) , we obtain from (e), Next, using the identity , which follows from the divergence theorem, we have (f) In light of (b) and (d), we obtain (g) Also, because of the symmetry of the stress tensor ( ), we have and hence we obtain from (g) the required result, (2.1), (h)

2-3. 선형 해석과의 비교 ⅰ) A fundamental difficulty in the general application of (2.2) is that the configuration of the body at time is unknown. ⅱ) In Linear analysis, it is assumed that the displacements are infinitesimally small so that in (2.2) to (2.3) the original configuration is used. ⅲ) The Cauchy stresses at time cannot be obtained by simply adding to the Cauchy stresses at time a stress increment that is due only to the straining of the material. Namely, the calculation of the Cauchy stresses at time must also take into account the rigid body rotation of the material because the components of the Cauchy stress tensor also change when the material is subjected to only a rigid body rotation.

2-4. 유한 변형 연속체 역학의 기초 소성가공을 받는 재료와 연성파괴과정에 있는 재료의 변형 문제 등과 같은, 재료 및 기하학적 비선형을 수반하는 대변형율, 대변형 문제의 해석에서는, 변형의 기술이나 재료의 특성을 나타내는 구성식의 표현에 관하여 엄밀성이 요구되며, 변형 과정에서 발생하는 소성불안정, 변형의 국소화(localization), 소성변형율의 비압축성에 따른 과잉변형구속 등의 취급이 어렵다 시판의 유한요소 범용 프로그램을 포함하여, 많은 연구실에서 개발된 개개의 프로그램을 이용할 경우, 정돈된 해석 조건하에서 이용되면 타당한 결과를 얻는 것이 가능한 반면, 같은 프로그램도 해석하기에 따라서는 많은 문제점을 포함한 결과가 얻어지는 경우가 있다. 따라서 해석을 효율적으로 실시하기 위해서는, 해석자가 해석법에 대한 기초지식을 갖고, 해석과정 혹은 얻어진 결과에 어떠한 문제가 발생하였을 때, 그것에 대응하지 않으면 안된다..

2-5. 변형과 운동학 물체의 운동 물체 의 입자 를 식별하기 위하여 기준배치(reference configuration)라고 불리는 의 특정 배치(configuration) 를 선택하여 에 있어서 점유하는 점으로 표시하도록 특정입자 를 선택한다. 즉, 시각 의 기준배치 에 있어서 좌표값 로 표시되는 위치 에 있던 입자가 운동 혹은 변형에 의하여, 생각하고자 하는 시각 의 현재배치(current configuration) 에 있어서 좌표값 로 표시되는 위치 로 이동한 것으로 생각한다. (1) (2) < 기준 배치 와 현재 배치 >

2-5. 변형과 운동학 와 의 대응이 1: 1이 되기 위한 필요충분조건은 (3) 와 의 대응이 1: 1이 되기 위한 필요충분조건은 (3) 식 (1)은 에서 로의 좌표변환을 나타내나, 이 변환이 1: 1의 대응을 가져 그 역변환인 식 (2)가 존재하기 위한 필요충분조건은 를 성분으로 하는 함수 행렬식(Jacobian)이 0(zero)이 되지 않는 것이다. 물체 의 운동을 기술하는데 있어서 와 를 독립변수로 사용하는 (1)식의 경우를 물질표시(material description) 또는 Lagrange 표시라 하고, 와 를 독립변수로 사용하는 (2)식의 경우를 공간표시(spatial description) 또는 Euler 표시라고 한다.

2-5. 변형과 운동학 다음장의 Fig.2 그림에서와 같이 시각 에서 무 변형 상태 에 있던 물체가 외력을 받아 변형하여 시각 에서 변형상태 로, 나아가 시각 에서는 로 변형하였다. 에서 임의의 점 가 , 에서 , 로 움직였고, 각각 점의 공간 고정 직교 데카르트 좌표계에 대한 좌표를 , , ( )에 의하여 표시한다. 탄소성 변형을 지배하는 속도형의 기초식은 에서 모든 량이 주어진 것으로서 표시되지만, 그것을 를 기준으로 하는가, 를 기준으로 하는가에 따라 다른 표현이 얻어진다. 전자를 기준으로 하는 경우, Total Lagrange법, 후자를 기준으로 하는 경우 기준상태가 시시각각으로 변화함으로 Updated Lagrange법 이라고 구별한다. < 기준 상태와 기준 좌표계>

2-6. 변형구배 및 변형률 텐서(tensor) 선소(線素) 벡터 (기준배치 ) , (현재배치 ) 에서 다변수 함수의 미분 공식을 사용하면, 식 (1), (2)로부터 변형구배 텐서를 정의 할 수 있다. (4) (5) (6) 변형구배 텐서(deformation gradient tensor) : 현재배치 , 즉 시각 에 있어서의 입자 부근의 변형(국소적 변형)을 결정짓는 텐서. Fig. 2.2 선소 벡터의 변환과 변형구배 텐서

2-6. 변형구배 및 변형률 텐서(tensor) ※ Polar decomposition : Orthogonal rotation tensor : Symmetric and Positive definite right stretch tensor ※ Kronecker delta

Example 2.2 Consider the element in Fig. 2.3. Evaluate the deformation gradient and the mass density corresponding to the configuration at time . The displacement interpolation functions for this element is given below. Since the , axes corresponding to the , axes, respectively, we have and

Figure 2.3 Four-node element subjected to large deformations Example 2.2 Figure 2.3 Four-node element subjected to large deformations Now we use and hence, The nodal point coordinates at time are

Example 2.2 Hence, and so that the deformation gradient is and using , the mass density in the deformed configuration is

Example 2.3 Example 2.3 Show that the deformation gradient can always be decomposed as follows : (a) where, is an orthogonal (rotation) matrix and is a stretch (symmetric) matrix. To prove the relationship in (a), we consider the Cauchy-Green deformation tensor and represent this tensor in its principal coordinate axes. For this purpose we solve the eigenproblem (b) The complete solution of (b) can be written as where the columns of are the eigenvectors of and is a diagonal matrix storing the corresponding eigenvalues. We also have (c) and is the representation of the Cauchy-Green deformation tensor in its principal coordinate axes. The representation of the deformation gradient in this coordinate system, denoted as , is similarly obtained (d) where we note that(c) and (d) are really tensor transformation from the original to a new coordinate system.

Example 2.3 Using these relations and , we have and we note that the matrix is an orthogonal matrix; i.e., . Hence, we can write (e) where and to evaluate we use the positive values of the square roots of the diagonal elements of . The positive values must be used because the diagonal values in represents the stretches in the new coordinate system. The relation in (e) is the decomposition of the deformation gradient into the product of the orthogonal matrix and the stretch matrix . This decomposition has been accomplished in the principal axes of but is also valid in any other coordinate system because the deformation gradient is a tensor. Indeed, we can now obtain and directly corresponding to the decomposition in (a); i.e., where we used the inverse of the transformation employed in (d).

Example 2.4 Exmaple 2.4 Consider the four-node element and its deformation shown in Fig. 2.4. (a) Evaluate the deformation gradient and its polar decompositoin at time . (b) Assume that the motion from time to time consists only of a counterclockwise rigid body rotation of 45 degrees. Evaluate the new deformation gradient. 선소 길이의 제곱의 변화에 의하여 변형율 텐서(strain tensor)를 정의 할 수 있다. , 에서의 선소 길이를 각각 , 라 하면 (11) Fig 2.4 Four-node element subjected to stretching and rotation

Example 2.4 (12) 선소의 제곱의 차를 (11)식에 의해 표현하면 다음과 같다. (13) 윗식을 이용해 다음과 같은 변형율 텐서 를 정의할 수 있다. (14) → Green-Lagrangian strain tensor (symmetric) 변위벡터 를 사용하여 다시 정의하면 다음과 같다. (15) (16)

Example 2.4 (17) (18) 또한, 선소 제곱의 차를 (12)식에 의해 표현하면 다음과 같다. (19) 위의 식에서 또 다른 변형율 텐서를 정의 할 수 있다. (20) 이를 Almansi-Euler strain tensor라 한다. 변위 성분 표시는 다음과 같다.

Example 2.4 만약, 가 아주 작고, 미소 변위 라 가정하면 만약, 가 아주 작고, 미소 변위 라 가정하면 는 미소 변형이론에 있어서의 Cauchy의 미소 변형율 텐서이다. 식에서 보면 Cauchy 변형율 텐서는 대칭텐서인 것을 알 수 있다. ※ 미소 변형율 텐서 는 단위 길이당의 신장(伸張)과 각도 변화라는 기하학적 의미를 가지므로 이해하기가 쉽다. 그러나 유한 변형에 의한 Green-Lagrange 변형율 텐서 에 관하여는 물리적 의미를 이해하기가 쉽지 않다. 가령 인장에 의하여 봉의 길이가 에서 로 변화하는 경우 각각의 변형율을 라 하면, Green-Lagrange 변형율 텐서와 Almansi-Euler 변형율 텐서는 선소(線素)의 2승 이 좌표계의 선택방법에 의존하지 않는 스칼라(scalar)량 이므로 도입된 텐서이다. 직교 데카르트 좌표계가 아닌 일반 곡선 좌표계에서 와 는 그 좌표계로 나타내는 공간내의 길이와 각도를 측정하기 위하여 중요한 계량(計量)텐서의 변화로서 표시되므로 실제로는 와 의 방법이 극히 자연히 정의된 변형율 텐서가 된다.

Example 2.5 Example 2.5 Consider a body in its deformed configuration at time (see Fig. 2.5). The current coordinates of the material particles of the body are , = 1, 2, 3, and the current displacements are . Assume that a virtual displacement field is applied, which we denote as (see Fig 2.5). This virtual displacements field can be thought of as a variation on the current displacements; hence, we may write . However, the variation on the current displacements must correspond to a variation on the current Green-Lagrange strain components, , and also to a small strain tensor referred to the current configuration. Evaluate the components and show that (a) Figure 2.5 Body at time subjected to virtual displacement field given by . Note that is a function of , = 1, 2, 3, and we can think of , as a variation on .

Example 2.6 Example 2.6 A four-node element is stretched until time and then undergoes without distortion a rigid body rotation from time to as depicted in Fig. 2.6. Show explicitly that for the element the components of the Green-Lagrange strain tensor at time and time are exactly equal. Figure 2.6 Element subjected to large rigid body rotation after initial stretch

2-7. 속도구배 텐서 (Velocity gradient tensor) 현재배치 에 있어서 입자 의 속도는 (22) 로 표시되며, 그 에 관한 구배인 속도구배텐서 는 (23) (24) 변위구배텐서 의 물질 도함수(material time derivative)를 생각하면, (25) (26) Second order tensor 은 대칭부분 와 반대칭 부분 의 合으로 분해된다. (27) (28)

2-7. 속도구배 텐서 (Velocity gradient tensor) (29) ※ 물질 도함수 운동하고 있는 물체 의 입자 가 가지는 물리량의 시간적 변화율을 물질 도함수(material time derivative)라 한다. (30) 식(14)의 Green-Lagrangian Strain tensor 의 물질 도함수를 고려하면, (31) (32) : Green-Lagrangian strain rate 와 deformation rate tensor 와의 관계식

2-7. 속도구배 텐서 (Velocity gradient tensor) 미소변위 (33) (34) ; Cauchy infinitesimal strain tensor 의 증분 ∴ 는 의 시간적 변화율

2-8. 응력 (Stress) 1) 응력 텐서의 정의 현재배치 에 있어서 체적 를 점하는 영역에 작용하는 힘으로서 다음의 2종류의 것을 생각한다. 즉, 영역 내에 연속적으로 분포하는 body force 와 영역의 경계 A면상에 연속적으로 분포하는 surface force (35) 에 대하여 단위 질량당의 body force를 라 하면, (36) 한편, 현재배치 에 입자 를 포함하고, 단위 법선 을 가지는 미소 면적 상에 작용하는 surface force를 라 하고, 단위 면적당의 surface force vector를 라 하면, → : stress vector

현재 배치 에 있어서 surface force vector 2-8. 응력 (Stress) 이때, 는 (38) ∴ 현재배치 에 있어서 체적 를 점하는 영역에 작용하는 합력(合力)과 합모멘트(合moment)는, (39) (40) 식(37)에 정의된 응력벡터 은 위치 vector 와 면법선(面法線)벡터 에 의존하는 벡터이지만, 를 면법선 방향과 그에 직교하는 방향으로 분해한 vector는 각각, 수직응력(normal stress), 전단응력(shearing stress)이라 한다. 현재 배치 에 있어서 surface force vector

2-8. 응력 (Stress) * 진응력텐서(true stress tensor) (41) → Cauchy의 기본 정리 : 면 법선 벡터 가 선형 변환(Linear Transformation) 의 작용을 받아서 stress vector 으로 변환되는 것을 보여준다. 따라서 는 2차 텐서이며, 진응력텐서라 불린다. * 진응력텐서 는 문헌에 의해서는 Euler stress or Cauchy stress 이라 한다. Chadwick의 “연속체 역학”에 의하면, 가 변형하는 convected Coordinate를 근거로 할 때는 Cauchy stress라 불려지고, 공간에 고정된 직교 Descartes 좌표에 의하여 그 성분을 표시하는 경우에는 Euler stress라 불려진다. 이런 의미에서, 본고에서 취급하는 진응력텐서 는 Euler stress tensor라 불려져야 할 것이다.

2-9. 각종 stress tensor와 그 관계식 진응력텐서 는 식 (37), (41)로 부터 (42) 즉, 현재배치 에 있어서 단위 면적당의 surface force인 stress vector 를 좌표축 방향으로 분해한 것으로서 진응력의 성분 가 정의된 것이다. 이에 대하여 기준배치 의 단위 면적당의 힘으로서 응력텐서를 정의할 수도 있다. 즉, 입자 를 포함하는 면적요소 vector를 라 하면, (43) 에 의하여 겉보기 응력텐서 가 정의된다. 이 때 와 의 대응관계는 임의이며, 수학적인 모순이 없는 것이면 된다.

2-9. 각종 stress tensor와 그 관계식 상에서 작용하는 힘을 상에서 평가하고 싶을 때, 다음의 2가지 방법이 사용된다. ⅰ) Lagrange 법 ⅱ) Kirchhoff 법 Lagrange 법은 현재배치 의 surface force vector 를 그대로 기준배치 로 평행 이동시킨 것이며, Kirchhoff 법칙은 선소(線素)의 변환 와 동일한 변환법칙을 surface force vector에 대하여도 적용한 것이다. 식 (44)을 (43)에 대입하여 에 의하여 얻어진 응력텐서 를 제1종 Piola-Kirchhoff stress 혹은 공칭응력(nominal stress)라 부른다. Lagrange 법 Kirchhoff 법 (44) (45) (46) <Lagrange 법칙과 Kirchhoff 법칙의 비교>

2-9. 각종 stress tensor와 그 관계식 한편, 식(45), (43)에서 (47) 에 의하여 얻어진 응력텐서 를 제 2종 Piola-Kirchhoff stress라 부른다. * 제1종 및 제2종 P. K. 응력텐서 와 는 각각 Lagrange stress 및 Kirchhoff stress로 불려지기도 한다. 3종류의 응력텐서 , , 를 정의하였으며, 다음에 이들 간의 관계식을 나타내 보기로 한다. 식 (42), (46)에 Nanson의 식( )을 대입하면, (48) (49) (50)

2-9. 각종 stress tensor와 그 관계식 한편, 식 (47)에서 (51) 식 (48), (51)로부터, (52) (53) (54) (55) * 식 (52)에서 분명한 것처럼 제2종 P-K stress 는 symmetric tensor이나, 식 (49)에서 제1종 는 symmetric tensor가 아니다. 물론 true stress tensor 는 symmetric tensor이다.

※Nanson의 식(면적요소의 변환법칙) : linearly independent ← 체적요소의 변환법칙 ) ← 질량보존법칙 < 면적요소의 변환법칙>

Example 2.7 Figure 2.7 shows a generic body in the configurations at times and Let be the actual force on a surface area in the configuration at time , and let us define a (fictitious) force (a) which acts on the surface area has become and is the inverse of the deformation gradient, . Show that the second Piola-Kirchhoff stresses measured in the original configuration are the stress components corresponding to . Let the unit normals to the surface areas and be and , respectively. Force equilibrium (of the wedge in Fig. 2.7) in the configuration at time requires that (b) and similarly in the configuration at time 0 (c)

Example 2.7 The relations in (b) and (c) are referred to as Cauchy's formula. However, it can be shown that the following kinematic relationship exists: (d) This relationship is referred to as Nanson's formula. Now using (a) to (d), we obtain or Figure 2.7 Second Piola-Kirchhoff and Cauchy stresses in two-dimensional action

Example 2.7 However, this relationship must hold for any surface area and also any "Interior surface area" that could be created by a cut in the body. Hence, the normal is arbitrary and can be chosen to be in succession equal to the unit coordinate vectors. It follows that where we used the property that the matrices and are symmetric. Finally, we may interpret the force defined in (a). We note that the force , which is balanced by the second Piola-Kirchhoff stresses on the wedge ABC , is related to the actual force in the same way as an original fiber in is deformed we may therefore say that in using (a) to obtain , the force is "stretched and rotated" in the same way that is stretched and rotated to obtain .

Example 2.8 Figure 2.8 shows a four node element in the configuration at time . The element is subjected to a stress (initial stress) of . Assume that the element is rotated in time to time as a rigid body through a large angle and that the stress in a body-attached coordinate system does not change. Hence, the magnitude of shown in Fig. 2.8 is equal to . Show that the components of the second Piola-Kirchhoff stress tensor did not change as a result of the rigid body rotation. Figure 2.8 Four-node element with initial stress subjected to large rotation

Example 2.9 Consider the four-node element shown, subjected to an initial stress with components The element is undeformed in its initial configuration. Assume that the element is subjected to a counterclockwise rigid body rotation of 30 degrees from time to time .

Example 2.9 (a) Calculate the Cauchy stresses corresponding to the stationary coordinate system , . (b) Calculate the Second Piola-Kirchhoff stresses corresponding , . (c) Calculate the deformation gradient Next, assume that the element remains in its initial configuration but the coordinate system is rotated clockwise by 30 degrees. (d) Calculate the Cauchy stresses corresponding to the stationary coordinate system , . (e) Calculate the Second Piola-Kirchhoff stresses corresponding , . (f) Calculate the deformation gradient corresponding , .

Example 2.10 The four-node plane strain finite element shown carries at time the second Piola-Kirchhoff stresses The deformation gradient at time is (a) Sketech the deformed configuration at time . (b) A rigid body rotation of 30 degrees counterclockwise is applied from time to time to the element. Sketch the configuration at time (c) Calculate corresponding to the stationary Cartesian coordinate system (ⅰ) the Cauchy stresses at time . (ⅱ) the Cauchy stresses at time , and (ⅲ) the Second Piola-Kirchhoff stresses at time

Example 2.11 The second Piola-Kirchhoff stresses are for the plane strain four-node element as shown. All stresses components are measured in the stationary coordinate system , . (a) Calculate the Cauchy stresses at time . (b) Obtain the Second Piola-Kirchhoff stresses at time , , and the Cauchy stresses at time , .

(Viewpoint & Objectivity) 2-10. 관측자의 변환과 객관성 (Viewpoint & Objectivity) 전 절까지 연속체 역학의 기초개념을 간단히 설명하였다. 즉, 물체 β 의 운동을 정의하고, 공간에 고정된 좌표계와 시간의 척도를 가정하여 기초 개념과 기본 법칙을 논하여 왔으나, 이것은 물체 β 의 운동이 공간과 시간을 측정하는 수단을 가진 관측자(observer)에 의하여 식별된다는 것에 기초를 두고 있다. 이를 위해 우리는 공간을 표현하기 위한 3차원, Descartes 좌표계와 시간을 표현하기 위한 1차원 Descartes 좌표계를 사용하였고, 이 시공을 나타내는 4차원 Euclid 공간을 frame이라 부른다. 운동과 같은 물리적 현상을 기술하기 위하여는 이와 같은 frame을 필요로 하나, frame이나 관측자의 선택이 임의는 아니다. 어떤 물리적 현상을 두 사람의 다른 관측자가 관측하는 경우를 생각해 보자. 즉 한명은 그 현상을 frame ( , )로 식별하고, 다른 관측자는 같은 현상을 frame( , )로 식별한다고 하자. 이 때, 물리적 현상을 정확히 기술하기 위하여는 i ) 공간내의 거리 ii ) 시간 간격 iii) 물리적 현상 이 생기는 순서가 두 frame에서 일치할 필요가 있으며, i) ~ iii)을 만족하는 관측자는 서로 등가의 관측자(equivalent observer)라 한다.

(Viewpoint & Objectivity) 2-10. 관측자의 변환과 객관성 (Viewpoint & Objectivity) 즉, 물체의 물리적 성질은 운동에 대하여 변해서는 안되기 때문에, 그것을 표시하는 관계식은 물체의 운동 혹은 좌표계의 운동에 의존하는 것이어서는 안된다. 이러한 성질을 객관성 (objectivity)이라 부른다. 물체의 물리적 성질을 표시하는 구성식을 만들기 위하여는, 필요한 객관성을 가지는 응력속 도(stress rate)의 표시를 구한다. Fig. 2.9 Change of viewpoint and movement of body

2-11. Stress Rate 에서 로의 증분 변형 사이의 미소 면소에 작용하는 내력의 변화를 상태에서 평가하면 ( t → 0 ), 식(54)에서 ( 61 ) ( ) ( 62 ) . . . ( 63 ) 위에서 Cauchy 응력속도 는 공간에 고정된 좌표계 로부터 관측된 응력 의 변화율을 나타낸 것이 므로, 물체가 그 좌표계에 대하여 운동하는 경우, or 물체를 고정하여 좌표계에 운동을 가한 경우, 그 운동에 의존하는 것이 된다. → 객관성이 없다.

2-11. Stress Rate Fig.2.9에서처럼 C 에서 계와 일치하고 있는 임의의 직교 Descartes좌표계 를 도입하여 그것의 기본 벡터(base vector)를 로 표시한다. C에서 양 좌표계에 대한 Cauchy stress의 성분을 , 라 하면, ( 64 ) 윗 식의 시간 도함수는 ( 65 ) 일반적으로, ( 와 가 일치하는 경우, ) ( 66 ) 단, 는 계에 대한 계의 속도를 표시한다.

2-11. Stress Rate 여기서, 는 symmetric Cauchy stress 이며, C 에 있어서 와 일치한다. dummy index를 m으로 바꾸면, ( 67 ) C 에 있어서 이므로 ( 68 ) 식(67)에서, : Rigid body motion ( 69 )

2-11. Stress Rate 여기서, 계가 물체운동과 일치하는 경우 ( ) ( 70 ) 여기서, 계가 물체운동과 일치하는 경우 ( ) ( 70 ) 또한, 계가 물체의 spin운동과 일치하는 경우는 의 대칭부분은 0 이고, 비대칭 부분은 spin tensor 과 일치한다. ( 71 ) 응력속도 , 는 계에 대한 응력 의 변화율을 나타내고, 로부터 계의 운동에 의존하는 부분을 제외하고 있음을 알 수 있다. 따라서 객관성을 갖는다. 이때, 를 의 Oldroyd rate 를 의 Jaumann rate 라 부른다. 식 (70), (71)로부터, ( 72 )

※Appendix - Objectivity observer2 좌표계의 rigid motion rotation tensor Observer1 의 변위 ⇔ observer1에 의하여 관찰된 x(t) 는, observer2에게는 이며, 이 값은 좌표계의 rigid motion 에 의하여 기준점 가 움직인 위치, 와 rigid motion 中 rotation에 의한 상대변위; 를 합한 것이다. 식 (A)는 앞에서 언급한 3조건을 모두 만족하고 있다. 즉, 식 (A)는 서로 등가의 관측자에 의한 공간표시의 변환을 나타내고 있으며, 관측자 변환(observer transformation)또는 frame 변환이라 한다. 관측자 변환 (A)에 의하여, scalar량 , vector량 및 tensor량 로 변환되어 ( B ) ( C ) ( D ) 가 성립할 때, 3개의 량은 각각 『좌표계 무차별(frame indifferent)이다.』 혹은, 『객관성(objectivity)이 있다.』 라고 한다.

※Appendix - Objectivity 公理 ; 질량 , 물체에 m 작용하는 힘 f 는 객관성이 있다. ( E ) ( F ) ( G ) ⇒ 객관성이 없다. * ( H ) ( I )

※Appendix - Objectivity 식 (F)로부터 stress vector 은 객관성이 있는 vector, 면법선 vector 도 객관성이 있다. ( J ) : true stress tensor는 객관성이 있다. 객관성이 없다. ( K ) ( L ) ⇒ 객관성이 없다.

※Appendix - Objectivity 그러므로, 객관성이 있는 vector v 와 tensor T 에 대하여, 물체의 변형에 기초를 두고, ( M ) ( N ) 와 같은 시간적 변화율을 정의하면, ( O )

※Appendix - Objectivity * 와 는 와 의 Jaumann rate or Jaumann derivative - 변형하고 있는 물체의 각속도와 같은 각속도로 순간적으로 강체회전하고 있는 관측자가 본 시간적 변화율이다.