운동과 변화 Zenon’s Paradox 그리스의 미해결 문제 무한급수 함수 기울기, 무한소 코시의 극한, 수렴 미분방정식 적분 미적분학의 기본정리 역학, 유체역학

Zeno’s Paradox 1킬로를 가려면 ½킬로까지 가야한다. ½킬로를 가려면 ¼킬로를 가야한다. ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + ….. 현대적 해결책: 1로 수렴함을 보인다.

무한급수 기하급수 S = a + ar + ar2 + ar3 + …. S – r S = a; S = a/(1-r) S-(-S) = 1; 2S = 1; S = ½ !!!!

무한급수 기하급수 S = a + ar + ar2 + ar3 + …. S – r S = a; S = a/(1-r) S-(-S) = 1; 2S = 1; S = ½ !!!! 이것은 난센스이다.

무한급수 예 1+1/2+ 1/3 + ¼ + 1/5 + ….. /4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …. 2/6 = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + …. 그러면 판단의 기준은 무엇인가? 판단의 한 예는 코시가 만들었다.

코시의 수열의 수렴 lim an  A 이란 수열 an 이 A에 무제한적으로 가까워진다는 뜻이다. 즉 A와의 오차가 n이 충분하게 크면 무한히 작아질수 있다는 뜻이다. lim an  A 이란 어떠한 > 0 을 잡아도 정수 N인 존재해서 n > N이면 |A – an| < 이다. 급수인 경운  an = A란 부분합 Sn 이 A로 수렴한다는 뜻이다.

함수 x(t) = 5t2 + 5t3 + 1 y = exp(x), y= log(x)…. z= x2 + y2 exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!+…

접선구하기 Newton’s solution f(x) = x2 f’(x) := limh 0 {f(x+h) – f(x)}/h = dy/dx 로 정의 {(x+h)2 – x2}/h = {2xh + h2}/h = 2x + h limh 0 {f(x+h) – f(x)}/h = 2x http://math.furman.edu/~dcs/java/tangent.html http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/MSS/tangentline.html http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/tangent_line/ http://www.ies.co.jp/math/java/calc/LimSinX/LimSinX.html

Infinitesimal (fluxion) f(x) = x2 (f(x + dx) – f(x))/ dx = (x2 + 2x dx + dx 2 – x2)/dx = 2x + dx = 2x ab dx = b- a Berkeley는 이것은 잘못된것이라고주장 A. Robinson’s non-standard analysis

코시의 극한, 연속성, 미분 Weierstrass 함수의 극한 limx a f(x) = A 미분의 정의 limh 0 (f(x + h) – f(x))/h f(x) = xn 의 미분함수 f’(x) = nxn-1. sin x  cos x, cos x  -sin x tan x  1/cos2x ex  ex ln x  1/x

미분 방정식 dP/dt = -r P 즉 있는 만큼에 비율하여 줄어든다. 해: P(t) = Me–rt M은 처음 있던 양 적용: 방사능 물질의 감소, 천연자원의 고갈 등등 d P/dt = r P; P(t)= Mert. 무한증가 d P/dt = r P(L-P); 억제된증가 P(t) = ML/(M + (L- M)e–Lrt )

적분 Eudoxus of Cnidus (circa 408 BC - circa 347 BC): method of exhaustion Archimedes "Perhaps the best indication of what Archimedes truly loved most is his request that his tombstone include a cylinder circumscribing a sphere, accompanied by the inscription of his amazing theorem that the sphere is exactly two-thirds of the circumscribing cylinder in both surface area and volume!"

Method of Exhaustion 피라미드의 부피는 같은 밑바닥을 가지 는 기둥의 1/3 극한으로 증명한다.

Cavalieri 의 원리 수평으로 입체를 변형하면 면들의 면적는 변하지 않으므로 부피는 변하지 않는다. 피라미드의 부피

미적분학의 기본정리(뉴튼) If f(x) is continuous on [a,b],then the funcion has a derivative at every point in [a,b], and 이정리는 많은 적분을 가능하게 한다. http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/ftc.9/ http://www.ies.co.jp/math/java/calc/perime/perime.html

원시적분공식 xn  xn+1/n+1 cos x  sin x sin x  -cos x exp x  exp x 1/x  ln x

뉴튼 역학 1.  All objects have inertia; that is, an object will remain at rest or in uniform motion unless acted upon by some outside force. 2.  An object's acceleration is in the same direction as the force exerted on it.   The force exerted on that object is equal to the product of its mass and acceleration, or:  F = ma 3.  For every action there MUST be an equal and opposite reaction. http://home.sprintmail.com/~speshek/physics.html http://csep10.phys.utk.edu/astr161/lect/history/kepler.html

라그랑지 역학 S = ∫L(q(t),q’(t),t )dt L = T - U 라그랑지안 T = m(l )2 U = - mglcos  L = m(l )2 + mglcos  S = ∫L(q(t),q’(t),t )dt

해밀톤역학 p:= H(p,q):= pq’ - L(q,q’ ) =

토의사항 미적분학에서 무한소는 잘정의 되지 않았었다. 그러나 미적분학의 발전에 중요한 역할을 하였다. 어떤이유에서 일까? 현대 수학, 물리학, … 에도 이런것들이 있는가? 여러분의 분야에서 미적분학은 어떻게 쓰이고 있는가?