제Ⅲ부 상미분 방정식의 근사해법과 유한요소해석 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University ♠유한요소법의 기초♠ Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

유한요소법의 기초 ○필수경계조건 을 만족해야함 ○예제 1) ○예제 2) ○예제 3) ♣ Ritz법에 근거한 미분방정식의 근사해법 ♣ ⊙ 예제 : 보의 처짐 문제 ○ ○ 공학보 이론: ○ 정해: ⊙Ritz 법: ⊙시도함수(trial function) ○필수경계조건 을 만족해야함 ○예제 1) ○예제 2) ○예제 3)

유한요소법의 기초 ⊙ 예제 1) 풀이: ⊙ 예제 2)풀이:

유한요소법의 기초 ⊙ 예제 3)풀이: 근사처짐곡선의 비교

유한요소법의 기초 ◆ 미분방정식의 근사해법과 유한요소법 ⊙ 유한요소법(finite element method,FEM)의 개념은 미분방정식의 근사법에 해당 한다. ○ Ritz법: 변분유한요소법(Variational Approach to FEM) ○ 가중오차법(Weighted Residual Method): Glaerkin 유한요소법 ⊙ 문제점 1. 모든 경계치 문제에 대하여 변분이론을 적용할 수 있는 것은 아니다. 즉, 경계치 문제에 따라서는 범함수가 존재하지 않을 수 있다. 이 문제는 가중오 차법에 의하여 해결되다. 가중오차법의 결과 Ritz법의 해와 동일하다. ⊙ 문제점 2. 일반적으로 시도함수를 구하기가 쉽지 않다. 특히 이차원 및 삼차원 문제의 경우, 필수경계조건을 만족하는 시도함수를 사실상 구할 수 없다. 이 문 제는 유한요소테크닉(finite element technique), 즉 유한요소보간법에 의해 해 결된다.

유한요소법의 기초 (≡ Prob. A) (≡ Prob. B) 미분방정식의 근사해법 ※ Ritz method ⊙ Trial function:

유한요소법의 기초 ⊙ 예제 ⊙ Prob. A Prob. B

Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University §1. 미분방정식의 근사해법 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

1.1 미분방정식과 근사해 ⊙ 방정식과 미분방정식 ○ 연속형 미지수(미지함수): 미분방정식,경계조건이 부과됨 ⊙ 미분 방정식 1.1 미분방정식과 근사해 ⊙ 방정식과 미분방정식 ○ 분절형 미지수(미지수): 대수방정식(방정식) ○ 연속형 미지수(미지함수): 미분방정식,경계조건이 부과됨 ⊙ 미분 방정식 ○ 상미분방정식: 미지함수의 독립변수가 하나인 경우. 다양한 해법이 개발 되어 있음 ○ 편미분방정식: 독립변수가 2개 이상 일경우. 일반적인 해법이 없음 ⊙ 미분방정식의 차수: 미분방정식 내에 존재하는 최고 미분 차수 ○ 예: ← 2차 미분방정식 ○ 공학해석 문제에서 선형(비선형)미분방정식은 짝수차(2p차)임. 열전달 문제(2차), 보문제(4차)

1.1 미분방정식과 근사해 ○ 유한요소법에서 선형(비선형)미분방정식은 선형(비선형)대수방정식으로 수식화됨 1.1 미분방정식과 근사해 ⊙ 선형미분방정식과 비선형미분방정식 ○ 비선형방정식의 예: ○ 유한요소법에서 선형(비선형)미분방정식은 선형(비선형)대수방정식으로 수식화됨 ⊙ 미분방정식과 근사해법 ○ Ritz 법과 Galerkin 법 ○ 유한요소법: Ritz 법 또는 가중오차법(Galerkin) + 유한요소기교(보간함수)

1.1 미분방정식과 근사해 ○ 필수경계조건: ○ 자연경계조건: ⊙경계조건 ○ 1.1 미분방정식과 근사해 ⊙경계조건 ○ 필수경계조건: (0~p~1)차의 도함수를 내포한 경계조건 ○ 자연경계조건: (p~2p-1)차의 도함수를 내포한 경계조건 예제 1.1 예제 1.1 보 문제의 미분방정식과 경계조건 미분방정식, 지배방정식: ○ ○ 필수경계조건: ○ 자연경계조건:

☞ 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 1.2.1 대수방정식과 함수 ⊙ 다음 두 문제는 동일함 ○ 함수 의 정지점(stationary point, 극점, 변곡점 등)을 찾는 문제 ○ 방정식 의 해를 구하는 문제 함수 의 정지점 예제 1.3 ☞

☞ 1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 다음 두 문제는 동일함 ⊙ 함수 : 방정식 = 범함수 : 미분방정식 1.2.2 미분방정식과 범함수 ⊙ 범함수 ○ 함수의 함수 ○ 입력변수: 함수, 출력변수: 실수 ○ 예: 보의 굽힘 변형에너지, ⊙ 다음 두 문제는 동일함 ○ 범함수가 정지값을 갖도록 하는 함수를 찾는 문제 ○ 그에 상응하는 미분방정식을 푸는 문제 ⊙ 함수 : 방정식 = 범함수 : 미분방정식 일때 예제 1.4 ☞

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙예제 ○ 경계치문제: ○정답: 문제 1 ○ 변분원리: 문제 2

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○ : 필수경계조건을 만족하면서 범함수 를 최소화시키는 함수 [문제 1]과 [문제 2]의 동일성 증명 예제 1.5 ○ : 필수경계조건을 만족하면서 범함수 를 최소화시키는 함수 ○ : 필수경계조건을 만족하는 임의의 함수 ○ 임의의 상수 임의의 함수, 예를 들면, 등등 ○ ○ If ○ 부분적분으로부터 ○ Euler-Lagrange equation: ⊙ 미분방정식이 2p차일 경우, 범함수내의 최고미분 차수는 p임

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 함수의 정의 ○ : 미지함수 ○ : 정해 ○ : 시도함수 ○ : 미지함수 ○ : 정해 ○ : 시도함수 ○ : 주어진 함수, 에서 주어진 함수값 1.2.3 Ritz 법 ⊙ 시도함수: ○ 선형독립적인 기초함수 ○ 미분방정식이 2p차일 때 p차까지 미분하여 제곱적분 가능해야 함 ○ 필수경계조건을 만족해야 함 ○

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ Ritz 법의 적용 ○ ○ 가 극값을 가질 필요 조건: ○ 변환: 함수장 문제 ⇒ 유한차원 벡터장 문제 ○ ○ 가 극값을 가질 필요 조건: ○ 선형 연립방정식: ○ 근사해:

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 근사해와 정해의 비교 ○ ⇒ 오차 2.2% ○ ⇒ 오차 20% ○ ⇒ 오차 2.2% ○ ⇒ 오차 20% ⊙ 기초함수 의 부과조건 ○ 선형독립적이여야 함 ○ 또는 ⊙ 해의 수렴특성 ○ 정확도 정확도 ○ 그림 1.2 근사해와 정해의 비교

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ Ritz 법의 일반식 ○ ○ ○ 강성행렬(stiffness matrix): ○ 하중벡터(force vector):

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ☞ ⊙ 문제의 정의 ○ 경계치문제: ○ 변분원리: ○ 정해: 1.2.4 자연경계조건의 처리 ⊙ 문제의 정의 ○ 경계치문제: ○ 변분원리: ○ 정해: 문제 3 문제 4 [문제 3]과 [문제 4]의 동일성 증명 ☞ ○ Euler-Lagrange equation:   ○ Boundary conditions: ○ 예제 1.10

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 예제 1.11 [문제 3] 또는 [문제 4]의 Ritz 근사해 ☞ ○ ※

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 예제 1.6 정해를 얻을려면? ○ ○ 가 극값을 가질 필요조건: ☞

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 예제 1.7 기초함수가 선형종속일 경우 ∴ 선형종속 ☞ ○ ○ ⇒ 불능

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○ 변분원리: ○ 시도함수: ☞ <방법 1> ○ ※ 예제 1.8 경계치문제: ○ 변분원리: ○ 시도함수: ☞ <방법 1> ○ ※

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ☞ <방법 2> ○

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 문제의 정의 1.2.5 범함수의 유도 ⊙ 문제의 정의 ○ ⊙ 미분방정식이 셀프조인트(self-adjoint)하면, 범함수가 존재함 ▷

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙예제: ○

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○ ○ ○ ○ 또는 ○

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙Ritz 법 ○무한차원(범함수 극화) 문제, 미분방정식  ⇒  유한차원(함수 극화) 문제 ○미분방정식   ⇒   대수방정식    ○변분유한요소법(variational finite element method)의 이론적 배경 ⊙ 미분방정식에 대응하는 범함수를 항상 구할 수 있는 것이 아니다. 즉, 어떤  미분방정식에 대응하는 변분이론이 항상 존재하는 것은 아니다. 따라서 적용 문제가 한정되어 있다. ○ 가중오차법에 의하여 해결될 수 있다. 문제점 1 해결책 ⊙ 2차원 및 3차원 문제에서 경계의 기하학적 형상이 복잡하거나 필수경계조건 이 복잡할 경우, 필수경계조건 등의 부과조건을 만족하는 시도함수를 사실상 구할 수 없다. ○ 유한요소법의 보간함수(interpolation, shape function)에 의하여  해결된다. 해결책 문제점 2

1. 2 Ritz 법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○그림 a)의 경우, ○그림 b)는 사실상 불가능 예제 1.13 2차원 평면에서의 기초함수 a) b) ○그림 a)의 경우, ○그림 b)는 사실상 불가능

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 ☞ ⊙ 1.3.1 약형의 유도 예제 1.14 항등식 , 과 는 임의의 상수 항등식 , 과 는 임의의 상수 ☞ ⊙ 예제 1.15

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ ⊙ 약형(weak form) ○ ○ 가정: 참고:

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 약형: ⊙ 가중오차법 1.3.2 가중함수 ⊙ 약형: ⊙ 가중오차법 ○ 최소자승법(Least-square approximation)  ○ 점 콜로케이션법(Point collocation method) ○ 부분영역 콜로케이션법(Subdomain collocation method)  ○ Bubnov-Galerkin 근사법(Bubnov-Galerkin approximation) ○ Petrov-Galerkin 근사법(Petrov-Galerkin approximation)

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 예제 1.15 최소자승법: ☞ ○ ○ ○

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 예제 1.17 점 콜록케이션법, 콜로케이션 점: ☞ ○ ○ ○ ○

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 ☞ ○ 시도함수: ○ 가중함수: ① ② ○ ○ 예제 1.18 Galerkin 법: ☞ ○ 시도함수: ○ 가중함수: ① 일때 ② 일때 ○ ○

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 ⊙ 약형: ⊙ 시도함수: Ritz 법과 동일 함 ○ 예: ⊙ 가중함수: 1.3.3 Galerkin 근사법 ⊙ 약형: ⊙ 시도함수: Ritz 법과 동일 함 ○ 예: ⊙ 가중함수: ○ 예: 과 는 임의의 상수 ⊙ ⊙

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 ○ 시도함수: ○ 가중함수: ☞ ⊙ 일반형: ○ ○ ○ 예제 1.19 시도함수가 정답을 포함할 경우 ○ 시도함수: ○ 가중함수: ☞ ⊙ 일반형: ○ : 강성행렬, : 하중벡터 ○ ○

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 1.3.4 가중오차법에서 자연경계조건의 처리 ⊙ ⊙ ⊙ 가정: ⊙ 약형:

1. 3 가중오차법에 의한 미분방정식의 근사해법 예제 1.20 시도함수: ☞가중함수: ○ ○ ○ ○

⊙ 필수경계조건, 비압축성조건, 기구학적 구속조건 등의 범함수내 삽입 1. 4 필수 및 기하 경계조건의 소거 ⊙ 필수경계조건, 비압축성조건, 기구학적 구속조건 등의 범함수내 삽입 ⊙ Lagrange 변수법과 벌칙기법 1.4.1 Lagrange 변수법에 의한 필수 및 기하 경계조건의 소거 ⊙ ⊙ Euler-Lagrange 방정식: ○ ○

1. 4 필수 및 기하 경계조건의 소거 예제 1.22 ○ ○ ○ ○ ○

○ Lagrange 변수의 물리적 의미 과 를 문제에 대입 1. 4 필수 및 기하 경계조건의 소거 ⊙ 수정변분원리(modified variational principle) ○ Lagrange 변수의 물리적 의미 과 를 문제에 대입 ○ 예제 1.20 시도함수: ☞ ○ ○ ○ 오차 5.9% ○

1. 4 필수 및 기하 경계조건의 소거 1.4.2 가중오차법에서 필수경계조건의 약형내 삽입 ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ 가정: ⊙

1. 4 필수 및 기하 경계조건의 소거 ⊙ ○ ○ ○ 1.4.3 벌칙기법을 이용한 기하 및 필수 경계조건의 소거 벌칙상수(penalty constant), 가정: 예제 시도함수: ○ ○

1.5 Galerkin 근사법, Ritz 법, 유한요소법 ⊙ 시도함수 문제는 유한요소기교(보간함수)에 의하여 해결됨

1.6 근사해법과 유한요소법의 징검다리 ⊙ 기초함수와 시도함수: ⊙ 시도함수: ⊙ 시도함수를 범함수에 대입하면, 그림 1.4 -연속함수의 기초함수 ⊙ 시도함수: ⊙ 시도함수를 범함수에 대입하면,

○ 유계함수를 척도 0(measure zero)으로 적분하면 그 적분값은 영임 1.6 근사해법과 유한요소법의 징검다리 ○ ○ 유계함수를 척도 0(measure zero)으로 적분하면 그 적분값은 영임 ⊙ ⊙ ○ 초수렴 ⊙ 기초함수의 기본 요건: 그림 1.5 근사해와 정해의 비교 또는 ○