선형대수학 부정적분과 정적분 적분의 응용 Prof. Jae Young Choi 선형대수학 (2015 Summer) Prof. Jae Young Choi

Mathematics Maps for Biomedical Engineer or Computer SW Engineer

미분 복습 185쪽 스캔

x의 증분 : x가 a에서 b까지 변화한 크기, Dx = b – a 3.2.1 도함수의 정의 ※ 미분계수 x의 증분 : x가 a에서 b까지 변화한 크기, Dx = b – a y의 증분 : x가 a에서 b까지 변함에 따라 y가 변한 크기, Dy = f(b) – f(a) 평균변화율 : , 그래프 위의 두 점 P(a, f(a)), Q(b, f(b))를 지나는 직선의 기울기 순간변화율 : b → a(Dx →0)일 때, 평균변화율의 극한을 나타내며, f ’(a)로 표시함. [메모] 오른쪽 그림에 대한 설명 기입할 것 평균변화율 순간변화율

좌측미분계수 : 우측미분계수 : [Note] y = f(x)가 x = a에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 이다. 함수 f(x) = |x|에 대하여 x = 0에서 미분가능한지 조사하라. 이 극한은 존재하지 않고 따라서 x = 0에서 미분가능하지 않다.

y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 x = a에서 연속이다. 역은 성립하지 않는다. [정리 3-8] (미분 가능성과 연속성) y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 x = a에서 연속이다. 역은 성립하지 않는다. 도함수 : f(x)의 미분가능한 임의의 점 x에서의 미분계수 또는 y y P P f(x) T f(x) T Q1 Q1 Q y = f(x) y = f(x) Q x x x x (a) 좌측도함수 (b) 우측도함수

(1) f ‘(a) > 0이면 f(x)는 x = a에서 증가상태이다. 3.3.1 함수의 극대와 극소 증가상태 : 충분히 작은 h > 0에 대하여, f(a - h) < f(a) < f(a + h) 일 때, 증가상태 감소상태 : 충분히 작은 h > 0에 대하여, f(a - h) > f(a) > f(a + h) 일 때, 감소상태 f ‘(a) > 0 f ‘(a) < 0 [정리 3-15] (함수의 증감 판정법) 함수 f(x)가 x = a에서 미분가능 할 때, (1) f ‘(a) > 0이면 f(x)는 x = a에서 증가상태이다. (2) f ‘(a) < 0이면 f(x)는 x = a에서 감소상태이다.

극댓값 : 구간 I 안의 x ≠ a에 대하여 f(x) ≤ f(a)일 때, x = a에서 극대, 극댓값 f(a) y x 극대 극소 f ’(a)=0 f ’(b)=0 f ’(c) E a b c f ’(d) d [메모] 책에 내용을 참고해서 작성 [정리 3-15] 함수 f(x)가 x = a에서 극값을 가지면 f ‘(a) = 0이거나 f ‘(a)가 존재하지 않는다. [Note] x = a를 임계점이라 한다.

[정리 3-16] (1계 도함수 극값 판정법) 함수 f(x)가 임계점 x = a를 포함하는 적당한 구간에서 미분 가능하고, (1) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 +에서 –로 변하면, x = a에서 극댓값 f(a) (2) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 -에서 +로 변하면, x = a에서 극솟값 f(a) (3) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 변하지 않으면, 극값을 갖지 않는다. f(x) = x3 - 2x + 1의 극값을 조사하라. 임계점 : f ‘(x) = 3x2 – 2 = 0; x … f ‘(x) + − f(x) ↗ 극대 ↘ 극소

아래로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 증가할 때, 이 구간에서 아래로 볼록 3.3.2 함수의 볼록성과 극대∙극소 아래로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 증가할 때, 이 구간에서 아래로 볼록 위로 볼록 : 구간 I에서 f ’(x)가 감소할 때, 이 구간에서 위로 볼록 변곡점 : y = f(x) 위에서 볼록성이 변하는 점 x a b f ’(x)<0 f ’(x)>0 f ’(x)=0 [정리 3-17] (볼록성판정법) [메모] 책에서 관련 그림 확인할 것 함수 f(x)가 어떤 구간 I에서 2계 도함수가 존재할 때, 이 구간에서 (1) f ‘’(x) > 0이면, 구간 I에서 아래로 볼록이다. (2) f ‘’(x) < 0이면, 구간 I에서 위로 볼록이다. (3) x = a에서 변곡점을 갖는다면, f ‘’(a) = 0이거나 f ‘’(a)가 존재하지 않는다.

[정리 3-18] (2계 도함수 극값 판정법) 함수 f(x)에 대하여 f ‘(a) = 0이고, a를 포함하는 적당한 개구간에서 f ‘’(x)가 존재할 때, (1) f ‘’(a) > 0이면, 극솟값 f(a)를 갖는다. (2) f ‘’(a) < 0이면, 극댓값 f(a)를 갖는다.

함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자. (1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속 3.4.1 평균값 정리 [정리 3-19] (Rolle의 정리) 함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자. (1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속 (2) f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능 (3) f(a) = f(b) 그러면 f ‘(c) = 0을 만족하는 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다. [정리 3-20] (평균값 정리) 함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자. (1) f(x)는 폐구간 [a, b]에서 연속 (2) f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능 그러면 를 만족하는 c가 개구간 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다. [메모] 책에서 이 내용을 증명하는 부분 스캔하여 붙이기

f(a + h) = f(a) +h f ‘(a + q h) 3.4.2 근삿값 평균값 정리로부터 f(b) = f(a) + f ‘(c)(b - a), a < c < b 이제 b = a + h, q = (c - a)/(b - a)라 하면, 0 < q < 1, c = a + q h이고 f(a + h) = f(a) +h f ‘(a + q h) h ≈ 0이면 a + q h ≈ a이므로 f(a + h) ≈ f(a) +h f ‘(a) q (b-a) = c- a [정리 3-22] (근사식)- x ≈ 0일때 다음 근사식이 성립 [메모] 책에서 관련 내용을 찾아서 PT자료 보충할 것 테일러 시리즈 정리할 것 (1) (1+x)n ≈ 1+ nx (2) sin x ≈ x (3) cos x ≈ 1 (4) tan-1 x ≈ x (5) ln(1+x) ≈ x (6) ex ≈ 1+x f(a+h) = sin(0+x), a=0, h=x

소수점 이하 네 자리에서 의 근삿값을 구하라. 라 하면 이고, a = 27, h = -0.5라 하면

4.1.1 부정적분 ※ 원시함수와 부정적분 연속함수 f(x)의 정의역 D에서 어떤 함수 F(x)를 미분하여 f(x)가 될 때, 즉 일 때, F(x)를 f(x)의 원시함수(primitive function)라 하고, 다음과 같이 나타낸다. 예를 들어, F(x) = x2 ⇒ F’(x) = f(x)= 2x ⇒ F(x) = x2은 f(x)= 2x의 원시함수 F(x) = x2 + 1 ⇒ F’(x) = f(x)= 2x ⇒ F(x) = x2 + 1은 f(x)= 2x의 원시함수 F(x) = x2 + C ⇒ F’(x) = f(x)= 2x ⇒ F(x) = x2 + C 는 f(x)= 2x의 원시함수

다음과 같이 일반적인 형태로 나타낸 원시함수를 부정적분(indefinite integral)이라 한다. f(x)의 원시함수는 무수히 많으며, 원시함수들은 단지 상수 차이 다음과 같이 일반적인 형태로 나타낸 원시함수를 부정적분(indefinite integral)이라 한다. 적분기호 피적분함수 적분변수 원시함수 적분상수 [Note] 부정적분과 도함수는 서로 역연산 관계가 있다.

다음 부정적분을 구하여라. (1) (2) (3) (1) F(x) = x3이라 하면 F’(x) = 3x2이므로 (2) 적분은 미분의 역연산이므로 (3) 적분은 미분의 역연산이므로

4.1.2 기본 적분법 ※ 부정적분의 선형적 성질 [실수 지수를 갖는 함수의 도함수와 부정적분] 도함수 부정적분 [지수함수와 로그함수의 도함수와 부정적분] 도함수 부정적분 (1) (2) (3)

다음 부정적분을 구하라. (1) (2) (1) (2)

[삼각함수의 도함수와 부정적분] 도함수 부정적분 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

[역삼각함수의 도함수와 부정적분] 도함수 부정적분 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

4.2.1 정적분 폐구간 [0, 1]에서 f(x)=x2과 x=0, x=1, x축 으로 둘러싸인 부분의 넓이 : I [0, 1]을 와 같이 n등분하여 각 부분구간의 오른쪽 끝점에서 함숫값을 높이로 하는 사각형의 넓이를 생각한다.

같은 방법으로, [0, 1]을 n등분하여 각 부분구간의 왼쪽 끝점에서 함숫값을 높이로 하는 사각형의 넓이를 생각한다. 폐구간 [0, 1]에서 f(x)=x2과 x=0, x=1 , x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 :

이 극한이 존재할 때, 이 극한을 폐구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 정적분(definite integral)이라 하고 으로 나타낸다. 그리고 이 경우에 f(x)는 폐구간 [a, b]에서 적분가능(integrable)이라 한다. 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)가 음이 아니라 할 때, [a, b]를 n등분하여 부분구간 [xk, xk+1]안의 임의의 점 의 함숫값 를 높이로 하는 사각형의 넓이를 생각한다. 이때 부분구간의 길이는 이다. a: 적분하한(lower limit of integration) b: 적분상한(upper limit of integration)

b > 0일 때, 정적분의 정의에 의하여 를 구하라. [0, b]를 와 같이 n등분하여 부분구간의 를 오른쪽 끝점으로 택한다. 즉, 를 생각한다. 그러면 각 부분구간의 길이는 이고 함수 f(x)=x에 대하여 이다. f(x)=x x y b

4.2.2 정적분의 성질 [정리 4-1] (연속함수의 적분 가능성) 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면, 이 함수는 폐구간 [a, b]에서 적분가능하다. 즉, 가 존재한다. [정리 4-2] (정적분의 기본성질) (1) (2) (3) (4) (5)

[정리 4-3] (정적분의 대소관계) (1) [a, b]에서 f(x) ≥ 0이면 (2) [a, b]에서 f(x) ≥ g(x)이면 (3) [a, b]에서 m≤ f(x) ≤ M이면 (4) Widely very important

[정리 4-4] (우함수와 기함수의 정적분) a > 0, [−a, a]에서 (1) f(x)가 우함수이면 (2) f(x)가 기함수이면

을 이용하여 정적분 를 구하라.

4.2.3 미분적분학의 기본정리 폐구간 [a, b]에서 함수 f(x)가 연속이고 f(x) > 0이라 하자. a ≤ x ≤ b에서 G(x)를 다음과 같이 정의하면, G(x)는 폐구간 [a, b]에서 함수 f(x) 아랫부분의 넓이이다. [그림(a)] G(x)의 증분 : [그림(b)] Δx ≈ 0 ⇒ ΔG ≈ f(x)Δx 또는 y = f(x) y x a b x+Δx f(x) (a) (b)

G(x)는 함수 f(x)의 원시함수 F(x)를 f(x)의 또 다른 원시함수라 하면, G(x) = F(x) + C G(a) = F(a) + C = 0 ; C = − f(a) [정리 4-5] (미분적분학의 기본정리) F(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 다음이 성립한다. (1) a ≤ x ≤ b에서 는 연속이고 미분가능하다. 즉, (2) F(x)가 [a, b]에서 f(x)의 원시함수이면

0 ≤ x ≤ p에 대하여 라 할 때, (1) G’(x) (2) (1) (2) 함수 sin x의 원시함수를 F(x)라 하면 cos x를 미분하면  -sin x 따라서 sin x의 원시함수는 -cos x

4.2.1 치환적분

4.2.1 치환적분

4.2.1 치환적분

4.2.1 치환적분

치환적분 보충자료

4.2.2 부분적분법 다항함수와 초월함수의 곱, 초월함수와 초월함수의 곱에 대한 부정적분을 구할 때 주로 사용하는 방법 부분적분법

다음 부정적분을 구하여라. (1) (2) (1) (2)

함수 f(x)가 유한 폐구간 [a, b]에서 연속이다. 4.3.1 이상적분 지금까지 살펴본 정적분의 전제조건 : 함수 f(x)가 유한 폐구간 [a, b]에서 연속이다. (A) 함수 f(x)가 무한인 적분구간에서 연속인 경우 (B) 함수 f(x)가 유한 폐구간 [a, b]에서 불연속점을 갖는 경우 또는 유한 개구간 (a, b)에서 연속인 경우 이와 같은 유형의 정적분을 이상적분(improper integral)이라 한다.

(A) 적분구간이 무한인 경우 (1) 무한구간 [a, ∞)에서의 이상적분 함수 f(x)가 무한구간 [a, ∞)에서 연속일 때, 임의의 실수 b에 대하여 가 존재하면 무한구간 [a, ∞)에서 이상적분을 다음과 같이 정의하고, 이 이상적분은 수렴한다(convergent)고 한다. (2) 무한구간 (-∞ , a]에서의 이상적분 함수 f(x)가 무한구간 (- ∞ , a]에서 연속일 때, 임의의 실수 b에 대하여 가 존재하면 무한구간 (- ∞ , a]에서 이상적분을 다음과 같이 정의하고, 이 이상적분은 수렴한다고 한다.

(3) 무한구간 (- ∞, ∞)에서의 이상적분 함수 f(x)가 무한구간 (- ∞, ∞)에서 연속일 때, 임의의 실수 b에 대하여 와 가 존재하면 무한구간 (- ∞, ∞)에서 이상적분을 다음과 같이 정의하고, 이 이상적분은 수렴한다고 한다. 수렴하지 않는 이상적분을 발산한다(divergent)고 한다. [Note] (1) 모든 실수 x에 대하여 f(x) ≥ 0이고 을 만족할 때, 함수 f(x)를 확률밀도함수(probability density function)라 한다.

다음 적분을 구하여라. (1) (2) (1) (2) y x a b y = e-x y x a 1

[Note] 확률밀도함수 : 지수분포 확률밀도함수 : 코시분포

4.4.1 넓이 [유형 1] 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 y = f(x)와 x = a, x = b, x축으로 둘러싸인 부 분의 넓이 S (A) y = f(x) ≥ 0인 경우 (B) y = f(x) ≤ 0인 경우 폐구간 [a, b]에서 연속인 함수 y = f(x)와 x = a, x = b, x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 :

함수 y = x3과 x = -1, x = 1, x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하라. - 1 ≤ x ≤ 0에서 f(x) ≤ 0이고, 0 ≤ x ≤ 1에서 f(x) ≥ 0

[유형 2] 폐구간 [a, b]에서 연속이고 f(x) ≥ g(x)인 두 함수 y = f(x), y=g(x)와 x = a, x = b, x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 S S1 S2 [유형 3] 폐구간 [a, b]에서 연속이고 a < c < b인 점 c에서 두 함수가 교차하는 경우, 두 함수 y = f(x), y=g(x)와 x = a, x = b, x축으로 둘러싸인 부분의 넓이 S S1 S2

x2 – 2 = x ; x2 – x – 2 = 0 ; (x – 2)(x + 1) = 0 ; x = – 1, 2 다음 주어진 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하라. (1) f(x) = 1 – x2 , g(x) = x – 1, x = – 1, x = 1 (2) f(x) = x2 – 2, g(x) = x (1) (2) 교점의 x좌표 : x2 – 2 = x ; x2 – x – 2 = 0 ; (x – 2)(x + 1) = 0 ; x = – 1, 2

[유형 4] 폐구간 [c, d]에서 연속인 두 곡선 x = f(y), x=g(y)와 y = c, y = d, y축으로 둘러싸인 부분의 넓이 S

0 ≤ x ≤ 4에서 두 함수 와 y = x – 2, x축으로 둘러싸인 부분을 x = y2, x=y + 2, y = 0으로 변형하여 둘러싸인 부분으로 변형하여 넓이를 구하라. 교점의 y좌표 : y2 = y + 2 ; (y - 2)(y + 1) = 0 ; y = - 1, y = 2

4.4.2 부피 [유형 1] 절단면을 이용한 입체의 부피 폐구간 [a, b]를 n등분하여 소구간의 길이를 Δx라 하고, xk-1 ≤ x ≤ xk인 임의의 x에서 입체의 절단면의 넓이를 A(x)라 하자. 소구간에서 절단된 입체의 부피 ΔVk = A(x) Δx

밑면의 반지름의 길이가 a이고 높이가 h인 원뿔의 부피를 구하라. 원뿔의 꼭짓점을 원점으로 놓고 중심선을 x축에 일치시키면 아래 그림과 같다. 0 < x < h인 임의의 x에서 x축에 수직인 절단면은 원이고, 절단면의 반지름 b에 대하여 비레식 x : h = b : a가 성립한다. 절단면의 넓이 :

[유형 2] 폐구간 [a, b]에서 연속함수 y = f(x)를 x축을 중심으로 회전한 회전체의 부피 폐구간 [a, b]를 n등분하여 소구간의 길이를 Δx라 하고, xk-1 ≤ x ≤ xk인 임의의 x에서 f(x)를 반지름으로 갖는 회전체를 생각하자. 이 절단된 회전체는 밑면의 반지름이 f(x)이고 높이가 Δx인 원기둥이므로 밑면의 넓이를 A(x)라 하면, 소구간에서 절단된 입체의 부피 ΔVk = p [f(x)]2 Δx

[유형 3] 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 부분을 x축을 중심으로 회전한 회전체의 부피 폐구간 [a, b]에서 f(x) ≥ g(x)인 두 함수 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 부분을 x축을 중심으로 회전한 회전체의 부피는 f(x)를 회전한 회전체의 부피에서 g(x)를 회전한 회전체의 부피를 뺀 것과 동일

[유형 4] y축을 중심으로 회전한 회전체의 부피 폐구간 [c, d]를 n등분하여 소구간의 길이를 Δy라 하고, yk-1 ≤ y ≤ yk인 임의의 y에서 연속인 곡선 f(y)를 반지름으로 갖는 회전체를 생각하자. 이 절단된 회전체는 밑면의 반지름이 f(y)이고 높이가 Δy인 원기둥이므로 밑면의 넓이를 A(y)라 하면, 소구간에서 절단된 입체의 부피 ΔVk = p [f(y)]2 Δy

[유형 5] 두 곡선 x=f(y)와 x=g(y)로 둘러싸인 부분을 y축을 중심으로 회전한 회전체의 부피 폐구간 [c, d]에서 f(y) ≥ g(y)인 두 곡선 x=f(y)와 x=g(y)로 둘러싸인 부분을 y축을 중심으로 회전한 회전체의 부피는 f(y)를 회전한 회전체의 부피에서 g(y)를 회전한 회전체의 부피를 뺀 것과 동일