통계적 품질관리

통계적 품질관리 통계적 공정통제(Statistical Process Control, SPC) 샘플링 검사(Sampling Inspection) 제 6장 품질경영에서는 기업의 품질문제를 전략적 차원 또는 시스템설계적인 차원에서 다루었다. 통계적 품질관리는 크게 통계적 공정통제와 샘플링검사의 두 분야로 구분

목 차 검사 품질의 변동 3. 관리도의 원리 4. 계량형 관리도 5. 계수형 관리도 6. 공정능력 7. 샘플링 검사

1. 검 사 검사와 관련된 주요 의사 결정 검사(Inspection) 검사의 목적 검사의 강도 검사대상의 품질특성 검사위치의 선정 · 자재를 수입할 때 · 제품이 완성될 때 · 고가공정 진입 · 재공정 불가시 · 결함 공정시 · 불량 다 공정시 1. 검사의 목적 공정통제 : 공정의 이상을 조기에 탐지하여 시정조치 낭비제거 : 불량이 1후속공정에 넘어가지 않게 하여 가공비 낭비를 막는다. 품질보증 : 불량을 적발 소비자에게 불량품이 공급되지 않게 2. 검사의 강도 : 검사비용과 실패비용의 상대적 관계, 실패비용(불량품이 검사를 통과함으로서 발생하는 손실)이 클 때는 검사강도를 높여야 한다. 수량: 전수검사와 표본검사 3. 계량치 검사란 길이, 무게, 시간, 인장강도 등 품질특성치의 측정을 필요로 하는 검사 계수치 검사 : 로트 중의 불량품의 개수나 비율, 한 제품에서 발견되는 결점의 수와 같은 개수를 셈하는 검사

2. 품질의 변동 2.1 품질변동의 종류 2.2 품질변동과 공정분포

2.1 품질변동의 종류 우연변동(random variation) 이상변동(assignable variable) - 정상상태(in-control) - 우연원인 - 이상변동(assignable variable) 이상상태(out of control) 이상원인 - 이상원인을 제거하여 품질변동의 최소화

2.2 품질변동과 공정분포(1) 공정분포의 특성 공정이 관리상태에 있을 때 공정분포 그림 7.1 공정통제에서는 공정분포의 특성을 파악하는 것이 중요 그림 7.1

2.2 품질변동과 공정분포(2) 이상원인에 의한 공정분포의 변화 그림 7.2

2.2 품질변동과 공정분포(3) 시간의 경과에 따른 공정의 변화 - (a)는 공정이 계속 안정된 상태 - (b)는 공정이 변화고 있는 상태 (a) 관리상태가 계속 유지됨 (b) 관리상태가 유지되지 않음 그림 7.3

3. 관리도의 원리 3.1 관리도의 사용법 3.2 관리한계의 결정 3.3 표본평균의 분포 3.4 관리도의 종류

3. 관리도의 원리(1) 그림 7.4 정규분포의 중요한 특성 : 분포의 중심(평균)으로부터 좌우 일정한 범위, μ= 평균 σ= 표준편차 68.27% 95.45% 99.73% -3σ -2σ -1σ μ +1σ +2σ +3σ 그림 7.4 정규분포의 중요한 특성 : 분포의 중심(평균)으로부터 좌우 일정한 범위, 즉, μ±zσ안에 포함되는 상대면적(확률)의 크기가 일정 → μ±3σ의 한계를 초과하는 표본이 추출되면 공정이 변화 μ±1σ의 구간에는 전체면적의 68.27%, μ±2σ의 구간에는 95.45%, μ±3σ의 구간에는 99.73%가 포함된다.

3. 관리도의 원리(2) 그림 7.5 관리도의 구조 - 적당한 폭(보통 μ±3σ)의 관리한계가 설정 - 관리상한(upper control limit, UCL) - 관리하한(lower control limit, LCL)

3.1 관리도의 사용법 관리도의 사용법 이상상태 공정 공정의 상태를 계속 감시하고 공정의 이상을 발견할 - 관리도의 사용법 이상상태 공정 공정의 상태를 계속 감시하고 공정의 이상을 발견할 수 있는 공정의 조기경보장치 역할수행 -. 표본이 상하관리한계 안에 있으면 공정은 관리상태(안정상태)로 판정 -. 이상원인이 품질 개선시키는 긍정적인 요인 (이상원인을 공정으로 흡수, 공정 개선하고 관리도를 재작성)

3시그마 관리한계 (Three-sigma Limits) 귀무가설 검정 3.2 관리한계의 결정(1) 3시그마 관리한계 (Three-sigma Limits) - 귀무가설 검정 제 1 종 과오 (옳은 가설을 기각하는 것) 제 2 종 과오 (틀린 가설을 수용하는 것) 3시그마 관리한계를 많이 이용 관리도는 표본치를 통하여 공정상태를 판정하는 것이므로 언제나 오판의 위험이 존재 -> 관리한계는 공정상태를 잘못 판정할 확률과 잘못 판정하였을 때의 손실을 고려하여 결정

3.2 관리한계의 결정(2) 제1종과오와 제2종과오의 비용 관리한계 설정 - - 제1종과오 비용 - 제2종과오 비용 - 이론상, 관리한계는 두 비용의 합을 최소화 하도록 함 제1종과오의 확률(  ) 제1종과오 비용 : 공정의 변화가 없음에도 불구하고 변화가 있은 것으로 착각하여 생산을 중단하고 존재하지도 않는 이상원인을 찾느라 헛수고를 하게 되는 데 소모되는 조사비용과 생산중단 손실 제2종과오 비용 : 공정에 이상이 있음에도 불구하고 생산을 그대로 진행시킴으로서 불량품의 생산으로 발생하는 손실

관리도의 관리한계와 제1, 2종 과오 =4.55% =0.27% 그림 7.6 (a) 2시그마 관리한계 제 1종과오 제 2종과오 제 1종과오 (a) 2시그마 관리한계 (b) 3시그마 관리한계 +2σ -2σ -3σ +3σ =4.55% 관리한계를 설정할 때의 제1종과오의 확률()과 제2종과오의 확률 =0.27% 그림 7.6

3.3 표본평균 분포(1) 모분포와 표본분포의 관계 표본평균의 분포(평균의 표본분포) - 개별치보다 표본의 평균치를 관리대상으로 하는 평균치관리도를 많이 사용 표본평균의 분포를 알아보면

모분포와 표본분포의 관계 평균 표준오차는 小 표본의 크기가 大 그림 7.7

3.3 표본평균 분포(2) 표본의 평균치를 관리대상으로 하는 관리도 중심극한정리(central limit theorem) - - 개별치 관리도에서의 관리한계 - 표본의 평균치를 관리대상으로 하는 관리도 모집단의 평균( μ )과 모집단의 표준편차( σ ) 평균이 μ이고 표준편차는 모집단의 표준편차를 평방근으로 나눈 것인 정규분포에 접근한다. N 표본의 크기

3.4 관리도의 종류 관리도의 종류 - 계량형 관리도 - 계수형 관리도 표 7.2 특성치 관리도 데이터의 종류 적용분포 계량형 평균치관리도( chart) 길이, 무게, 시간, 수명, 인장강도, 경도, 순도, 화학성분 등의 계량치 정규분포 범위관리도(R chart) 개별치관리도(X chart) 계수형 불량률관리도(p chart) 제품의 불량률 이항분포 불량개수관리도(pn chart) 불량개수 결점수관리도(c chart) 결점수(표본크기 일정) 포아송 분포 단위당결점수관리도 (u chart) 단위당결점수 (표본크기 변동) 표 7.2

4. 계량형 관리도 4.1 관리도(평균치관리도) 4.2 관리도(범위관리도) 4.3 관리도 4.4 관리도의 이상형태

4. 계량형 관리도 계량형 관리도(control charts for variables) - 평균치 관리도( 관리도) - 평균치 관리도( 관리도) - 범위관리도(R관리도) - 평균치-범위관리도( 관리도) 관리도(계수형 관리도 포함) 작성절차 - 관리도(계수형 관리도 포함) 작성절차 - 표본의 빈도(표본의 추출간격)

4.1 관리도(평균치관리도) 관리도(평균치 관리도) - -

관리도와 R관리도의 3시그마 한계계수 표 7.4 A2는 n의 함수이므로 주어진 n의 값에 대응하는 A2값을 택한다. (UCL, LCL 계수) D3 (LCL 계수) D4 (UCL 계수) 2 1.880 3.267 3 1.023 2.575 4 0.729 2.282 5 0.577 2.115 6 0.482 2.004 7 0.419 0.076 1.924 8 0.373 0.136 1.864 9 0.337 0.184 1.816 10 0.308 0.223 1.777 11 0.285 0.256 1.744 12 0.266 0.284 1.716 13 0.249 1.692 14 0.235 0.329 1.671 15 0.348 1.652 16 0.212 0.364 1.636 17 0.203 0.379 1.621 18 0.194 0.392 1.608 19 0.187 0.404 1.596 20 0.180 0.414 1.586 A2는 n의 함수이므로 주어진 n의 값에 대응하는 A2값을 택한다. 표 7.4

4.2 R관리도(범위관리도) - - 표본의 크기 n 이 6 이하일 때

4.3 관리도(평균치-범위관리도) 관리도를 작성 관리도 작성법 예 1) 2) (예비중심선) 범위 R

Y제품의 예비데이터(무게) 표 7.5

Y제품의 R관리도 그림 7.9

Y제품의 관리도 작성 (예비중심선) 는 2.05로 산출되어 있으므로 관리도의 예비관리한계는 는 2.05로 산출되어 있으므로 관리도의 예비관리한계는 =12.12 일 때 관리한계(19번째 표본치 제외)

Y제품의 관리도 19번째 표본치 그림 7.10

4.4 관리도의 이상형태 - - 연(RUN) 연이 5-7점 이상 계속되면 공정을 점검할 필요가 있다. 그림 7.11

5. 계수형 관리도 5.1 p관리도(불량률관리도) 5.2 c관리도(결점수관리도)

5. 계수형 관리도 계수형 관리도 (control charts for attributes) - 불량률 관리도(p관리도) 불량개수관리도 결점수 관리도 단위당 결점수 관리도

5.1 p관리도(불량률 관리도)(1) 불량률 관리도 (control charts for fraction defective) - - 불량률 - 모집단의 불량률 p, 표본의 크기 n, x개의 불량이 추출될 확률 - 불량개수의 평균과 표준편차

5.1 p관리도(불량률 관리도)(2) - 표본불량률의 평균 및 표준편차 p관리도의 중심선CLp 와 3시그마 관리한계 총불량개수 총검사개수 P 관리도= 불량률 관리도

불량률 관리도의 예(1) 매일 200매의 전표를 무작위로 추출, 오류가 있는 전표 수 조사 표본의 크기 n=200, 표본의 수 m=20 [ 전표의 기재오류 ] 표본번호 오류전표수 오류율 1 11 0.055 5 0.025 2 7 0.035 12 3 4 0.020 13 9 0.045 0.005 14 15 17 0.085 6 0.065 16 18 0.090 0.030 8 0.015 19 10 0.000 20 137 표 7.6

불량률 관리도의 예(2) ( 는 음이 될 수 없으므로 이다.) 해 - 앞의 데이터를 사용하여 와 의 값을 계산하면 - 앞의 데이터를 사용하여 와 의 값을 계산하면 - 이 때의 관리한계 ( 는 음이 될 수 없으므로 이다.)

전표 오류률을 통제하기 위한 P관리도 그림 7.12 15번째 표본치 16번째 표본치 15번과 16번이 관리상한을 벗어남 -> 그 원인을 조사하여 이것이 이상원인을 확인하였으므로 예비관리도를 수정 분석자는 15번과 16번 표본치를 제외하고 나머지로 다시 관리한계를 수정 그림 7.12

전표 오류률을 통제하기 위한 수정 P관리도 UCL=0.0654 =0.0283 LCL=0 오류율 표본번호 0.08 0.04 0.00 4 8 12 16 20 표본번호

5.2 c관리도(결점수 관리도) 결점수 관리도(control chart for number of defects) - - z시그마 관리한계 식, 이 때 n, p의 각각의 값은 알 수 없으나 그것의 곱인 np의 값은 바로 표본의 결점수를 의미

C관리도의 예 다섯 뭉치의 벽지에서 각각 14,19,15,20,22개 결점 발견 a) 2시그마한계의 c관리도 작성 한 뭉치의 벽지가 완성되면 자동검사기로 결점의 수 조사 다섯 뭉치의 벽지에서 각각 14,19,15,20,22개 결점 발견 a) 2시그마한계의 c관리도 작성 b) 6번째 뭉치에서 7개의 결점이 발견시 관리상태 → 먼저 표본결점수의 평균과 표준오차를 산출

벽지 결점수의 C관리도 UCLc = 26.49 LCLc = 9.51 CLc = 18.00 표본번호 결점수 그림 7.13

6. 공정능력 6.1 공정능력비 6.2 공정능력지수 6.3 6시그마 운동 6.4 다구찌의 품질손실함수

6. 공정능력(process capability)(1) 공정이 관리상태에 있어도 불량품이 생산 - - 관리한계 - 규격한계 • 공정이 관리상태로 유지되어도 규격에 맞지 않는 제품(불량품)이 생산될 수 있는 데 이것은 관리도의 관리한계와 제품규격(규격한계) 이 일치하지 않기 때문이다. (a) 공정능력 있음 (b) 공정능력 없음 그림 7.14

6. 공정능력(process capability)(2) - 공정 불량률을 감축하려면 공정의 변동폭(산포도) 감소 [ 공정산포도 감축의 효과 ] 그림 7.15

6.1 공정능력비(process capability ratio) 공정능력비( Cp ) - - Cp 가 1보다 크면 Cp 가 1보다 작으면 규격폭 공정폭 공정능력의 객관적인 척도는 공정능력비와 공정능력지수가 이용

6.2 공정능력지수(process capability index) 공정능력지수Cpk - 위 식에서 최소값을 택하는 것이 최악의 경우를 고려함 - Cpk 가 목표치(1.33)보다 크면 Cpk 가 1보다 작으면 공정이 충분한 공정능력을 가지려면 공정능력비가 1보다 커야 하지만 동시에 공정분포의 평균이 가급적 규격한계의 중심에 근접

공정능력의 판단기준 공정능력비 공정능력 Cp  1.33 공정능력 충분 1  Cp  1.33 공정능력 있음 공정능력 부족 Cp  0.67 공정능력 매우 부족 표 7.7

예시 : 공정능력 문제 : 부품 K의 중량 풀이 : 기준치: 500g, 규격상한: 530g, 규격하한: 470g 규격하한부분 : 규격상한부분 : 공정능력의 객관적인 척도는 공정능력비와 공정능력지수가 이용 규격하한으로 치우침 :공정분포의 중심이 상향 이동하도록 재조정

6.3 6시그마 운동(six sigma programs) (b) 6시그마품질 그림 7.16 - 3시그마 품질 - 6시그마 품질

6.4 다구찌의 품질손실함수(quality loss function) 다구찌(Genichi Taguchi)  다구찌의 전통적 견해의 오류 지적 - 제품이 규격한계를 벗어나지 않는다는 사실만으로 만족해서는 안되며 최소한의 품질변동도 발생하지 않도록 노력해야 함 - 품질손실비용

전통적 품질손실함수와 다구찌의 품질손실함수 그림 7.17 규격하한 목표치 규격상한 품질손실 그림 7.18 규격하한 목표치 규격상한

7. 샘플링검사 7.1 전수검사와 샘플링검사 7.2 1회 샘플링검사 7.3 2회 샘플링검사 7.4 다회샘플링검사와 축차샘플링검사 7.5 계량샘플링검사

7. 샘플링 검사(sampling inspection) 샘플링 검사의 종류 - 계수 샘플링 검사 - 계량 샘플링 검사

7.1 전수검사와 샘플링검사 전수검사 샘플링 검사 - - 대량소모품, 저가품 • 로트 : 한 작업장에서 한 단위로 생산하는 물량

7.2 1회 샘플링검사(1) 계수 1회 샘플링검사 1) 생산자 위험(producer risks) - 1) 생산자 위험(producer risks) 2) 소비자위험(consumer risks) 샘플링검사에는 소비자와 생산자의 두 당사자가 있다. 생산자 : 좋은 로트가 불합격될 확률이 낮기를 바라고 소비자: 나쁜 로트가 합격될 확률이 낮기를 원함

7.2 1회 샘플링검사(2) 샘플링검사에서 두가지 품질수준 - 합격 품질수준(acceptable quality level, AQL) - 로트허용 불량률(lot tolerance percent, LTPD) 검사특성곡선(operating characteristic curve, OC curve) - 샘플링 플랜의 식별능력은 검사특성곡선 - OC곡선의 작성법

7.2 1회 샘플링검사(3) [ 생산자위험점과 소비자위험점 ] 그림 7.20

7.2 1회 샘플링검사(4) [ n, c가 변동할 때의 OC곡선 ] - n,c 를 크게 할 때 OC곡선은 더욱 가파르게 됨  샘플링 플랜의 식별능력이 커짐 그림 7.21

7.2 1회 샘플링검사(5) 1회 샘플링플랜의 설계 평균출검품질(average outgoing quality, AOQ) - - 비선별검사 - 선별검사 - 평균출검품질한계(average outgoing quality limit, AOQL) 비선별감사는 합격로트의 표본 중에서 약간의 불량품만이 제거되므로 출검품질은 입검품질에 비하여 크게 개선되지 않는다. 선별검사는 불량품을 전수 선별하여 제거하므로 출검품질이 크게 개선 표본과 불합격로트에서 발견되어 제거되는 불량품을 양품으로 보충하는 경우= 보충형 선별검사 보충하지 않은 경우=비보충형 선별검사

비보충형 1회 선별 샘플링 플랜의 AOQ 표 7.8

AOQ, AOQL의 그래프 그림 7.22 - 입검 불량률이 어느 수준을 초과하게 되면 그 때부터 검사에 불합격되어 전수 선별되는 로트의 수가 증가 - 입검 불량률이 AOQL에서의 입검 불량률보다 높은 영역에서는 입검 품질이 나쁠수록 평균출검품질은 오히려 좋아짐

7.3 2회 샘플링검사 2회 샘플링 검사(double sample inspection) 2회 샘플링 검사 예시 - N=10,000, n1=50, n2=80, c1=0, c2=3인 2회 샘플링검사의 적용법 → - 2회 샘플링검사는 1회 샘플링보다 검사개수가 적다는 장점

7.4 다회 샘플링검사와 축차 샘플링 검사 다회 샘플링검사(multiple sampling inspection) 축차 샘플링 검사(sequential sampling inspection) → (극히 우량한 로트나 불량한 로트는 검사의 초기에 일찍 판정)

축차 샘플링 플랜 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 4 5 3 2 1 불량개수 c 검사개수(n의 누적치) 합격역 불확정역 불합격역 로트 블합격 샘플링 계속 축차샘플링의 원리: 두 개의 평행선에 의하여 불합격역, 불확정역, 합격역의 세 영역이 형성된다. 표본을 추출할 때마다 누적불량개수가 상부평행선의 위쪽에 있을 때는 불합격, 하부평행선 아래쪽은 합격’ 두 평행선 사이에 있을 때는 불확정 그림 7.23

7.5 계량 샘플링검사 계량 샘플링검사(acceptance sampling by variables) -