Ⅲ. 이 차 방 정 식 1. 이차방정식과 그 풀이 2. 근 의 공 식

1 1-2. 이차방정식과 그 풀이 1) 인수분해에 의한 풀이 2) 제곱근에 의한 풀이

x - a = 0 또는 x - b = 0 이다. 즉, x = a 또는 x = b 이다. 2 A,B에 대하여 AB = 0이 성립하는 경우는 ① A = 0 그리고 B = 0 인 경우 ② A = 0 그리고 B ≠0 인 경우 ③ A ≠0 그리고 B = 0 인 경우 중 어느 하나이다. 이차방정식 ( x - a )( x - b) = 0의 해는 x - a = 0 또는 x - b = 0 이다. 즉, x = a 또는 x = b 이다.

(1) (x - 5)(x+3) = 0 (2) (2x+3)( 3x - 4) = 0 ※ 예 제 문제) 다음 이차방정식을 푸시오. (1) (x - 5)(x+3) = 0 (2) (2x+3)( 3x - 4) = 0 풀이 (1) (x - 5)(x+3) = 0 x - 5 = 0 또는 x + 3 = 0 ∴ x = 5 또는 x = -3 (2) (2x + 3)(3x - 4) = 0 2x + 3 = 0 또는 3x - 4 = 0 ∴ 또는 2 3 - = x 4

중 근 ∴ x = 2(중근) 중근을 갖기 위한 조건 : 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때 중 근 4 중근을 갖기 위한 조건 : 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때 (완전 제곱식) = 0 의 꼴이 되면 이차방정식은 중근을 갖는다. 예) 이차방정식 을 풀면 ∴ x = 2(중근)

1 2 = + x - 9 ) 3 ( 4 1 2 = + x = + x ) 1 ( 2 - = \ + x 1 4 ※ 예 제 5 ※ 예 제 문제) 다음 방정식 중에서 중근을 갖는 것을 모두 고르 시오. (1) (2) (3) (4) (5) 1 2 = + x - 9 ) 3 ( 4 1 2 = + x 4 1 2 = + x 풀이 (1) 1(중근) ) 1 ( 2 - = \ + x (4) (중근)

제곱근에 의한 풀이 Ⅰ 6 (1) a ≥ 0 일 때, 예) 의 꼴로 만든다. 제곱근을 구한다.

4  = x 2  = a = - x a ※ 예 제 16 6 3 문제) 다음 이차방정식을 푸시오. (1) (2) 7 (1) (2) 16 2 = - x 6 3 a 풀이 (1) (2) 4  = x 2  = a

제곱근에 의한 풀이 Ⅱ k a x = - ) ( 6 ) 5 ( 3 = - x 2 ) 5 ( = - x 2 5  = - x 2 8 (2) k ≥ 0 일 때, 예) 6 ) 5 ( 3 2 = - x k a x = - 2 ) ( 의 꼴로 만든다. 2 ) 5 ( = - x 제곱근을 구한다. 2 5  = - x 2 5  = \ x

5 3  = \ x 3 2  = \ a 5 ) 3 ( = - x a 6 ※ 예 제 문제) 다음 이차방정식을 푸시오. 9 ※ 예 제 문제) 다음 이차방정식을 푸시오. (1) (2) 5 ) 3 ( 2 = - x 6 a 풀이 (1) (2) 5 3  = \ x 3 2  = \ a

완전제곱에 의한 풀이 2 = + b ax x k a - ) ( 은 의 꼴로 고쳐서 푼다. 예) 6 2  - = \ x

= + - x 2 6 = + - x 2 6 - = x 9 2 6 + - = x 7 ) 3 ( = - x 7 3  = - x ※ 예 제 문제) 다음 이차방정식 을 완전 제곱식을 이용하여 푸시오. 2 6 = + - x 2 6 = + - x 풀이 상수항을 우변으로 이항 2 6 - = x 을 양변에 더한다. 6 2 ( ) 9 2 6 + - = x 꼴로 고친다. 7 ) 3 ( 2 = - x 제곱근을 구한다. 7 3  = - x 7 3  = \ x

2. 근 의 공 식 1) 이차방정식의 근의 공식 2) 이차방정의 활용

근 의 공 식 이차방정식 ) ( 2  = + a c bx ax 의 근은 인 경우에는 해가 없다고 한다. ※

1 4 2 = + - x ※ 활 용 예 제 a = 2, b = - 4, c =1 이므로 3 1  - = x 문제) 다음 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 풀으 시오. (1) (2) 1 4 2 = + - x 풀이 (1) a = 2, b = - 4, c =1 이므로 2  = \ x (2) 3 1  - = x

근과 계수와의 관계 ) (  = + c bx ax b a , 라 하면 이차방정식 의 근을 4 2 8 , = - + ab b ( 2  = + c bx ax 의 근을 예) 의 두 근을 라 하면 4 2 8 , = - + ab b a

1 3 = + - x b a 2 ) ( - + = ab b a 1 2 3  - = 7 2 9 = - ※ 활 용 예 제 문제) 이차방정식 의 두 근을 a, b 라고 할 때 다음 값을 구하시오. (1) a + b (2) ab (3) 1 3 2 = + - x b a 풀이 (1) a + b = 3 (2) ab = 1 (3) 2 ) ( - + = ab b a 1 2 3  - = 7 2 9 = -

응용 문제의 풀이순서 문제의 뜻에 맞는 수량관계를 파악한다. 미지수 x를 정한다. 방정식을 세우고 푼다. 문제의 뜻에 맞는 근을 선택한다.

※ 활 용 예 제 문제) 연속하는 두 정수의 곱이 42일 때, 이 두 수를 구하여라. 풀이) 작은 수를 x라 하면 큰 수는 x + 1 두 수의 곱이 42 이므로 x(x + 1) = 42 이 이차방정식을 풀면 x = 6 또는 x =－7 따라서 구하는 두 수는 6, 7 또는 －6, － 7 이다.

여러가지 응용문제 2 n(n + 1) ) 2 ( - n n(n - 3) 180 (1) 수에 관한 문제 2 n(n + 1) 연속하는 세 정수 : x - 1, x, x + 1 1부터 n까지의 자연수의 합 : (2) 도형에 관한 문제 n각형의 대각선의 총 수 : n각형의 내각의 합 : ) 2 ( 180 º - n n(n - 3)

풀이) 연속된 세 수를 x-1, x, x+1이라 놓고 식을 세우면 ※ 활 용 예 제 문제) 어떤 연속된 세 자연수가 있다. 가운데 수의 제 곱은 다른 두 수의 제곱의 차와 같다. 이 세 자연수를 구하시오. 풀이) 연속된 세 수를 x-1, x, x+1이라 놓고 식을 세우면 또는 x = 0(부적당) 따라서 구하고자 하는 세 수는 : 3, 4, 5

= - 6 3 = - \ n 18 ) 3 ( = - n 18 3 n ) 6 )( 3 ( = - + n ※ 활 용 예 제 문제) 대각선을 모두 9개 그을 수 있는 다각형은 몇 각 형 인가? 풀이) n각형의 대각선의 총 수는 2 n(n - 3) 이므로 = 9 2 n(n - 3) 양변에 2를 곱하면 18 ) 3 ( = - n 전개하여 정리하면 = - 18 3 2 n 인수분해 공식을 이용하여 풀면 ) 6 )( 3 ( = - + n 6 3 = - \ n 또는 (부적당) 따라서 구하고자 하는 해는 6각형이다