수학10-가 Ⅳ. 통 계 백암고등학교 수학교사 : 양상옥

1. 대표 값의 뜻

학습목표 1. 자료의 대표 값의 뜻을 이해하고 평균을 구할 수 있다. 2. 주어진 자료를 도수분포표로 만들고 평균을 구할 수 있다.

1. 대표값의 뜻 대표 값이란 자료의 전체 특징을 하나의 수로 나타낸 값 1] 대표값이란 자료의 전체 특징을 하나의 수로 나타낸 값 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있으나 주로 평균이 사용됨. 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 평균, 중앙값, 최빈값 1] 산포도란 참고 2] 대표값과 산포도 비교 ① 중앙값(median) : 자료를 크기 순으로 나열할 때 중앙값 ② 최빈값(mode) : 자료의 값 중에서 도수가 가장 큰 계급의 계급값 ③ 평균(mean) : 산술평균이라고도 하며 각 자료의 수의 총합을 자료의 총 개수로 나눈 값

1. 대표값의 뜻 오른쪽 <표-1>의 자료는 어떤 야구 경기에서 P투수의 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 1. 대표값의 뜻 오른쪽 <표-1>의 자료는 어떤 야구 경기에서 P투수의 투구속도를 25회 조사하여 얻은 것이다. (단위:km/시) 예제1 118 141 124 119 132 125 128 126 129 128 129 129 143 139 137 122 133 136 134 138 134 131 135 122 127 <표-1>

1. 대표값의 뜻 다음 표는 <표-1>에 주어진 자료를 작은 값부터 순서대로 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 1. 대표값의 뜻 풀이 다음 표는 <표-1>에 주어진 자료를 작은 값부터 순서대로 적은 것이다. 가장 중앙에 있는 값인 13번째의 값을 찾아보자. 118 141 124 119 132 125 128 126 129 128 129 129 143 139 137 122 133 136 134 138 134 131 135 122 127 118 119 122 122 124 125 126 127 128 128 129 129 129 131 132 133 134 134 135 136 137 138 139 141 143 129 129 중앙값 (median) → 자료를 크기 순으로 나열할 때 가장 중앙에 오는 값 129 정답

1. 대표값의 뜻 <표-1>의 자료를 정리하여 <표-2>와 같은 도수분포표를 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 1. 대표값의 뜻 <표-1>의 자료를 정리하여 <표-2>와 같은 도수분포표를 만들었다. 도수가 가장 큰 계급값을 찾아보자. 예제2 계급(km/시) 도수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 124이상 ~ 128미만 4 128이상 ~ 132미만 6 132이상 ~ 136미만 5 136이상 ~ 140미만 140이상 ~ 144미만 합 계 25 <표-2> P투수의 투구속도

1. 대표값의 뜻 (128+132)/2= 130 계급(km/시) 도수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 1. 대표값의 뜻 풀이 계급(km/시) 도수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 124이상 ~ 128미만 4 128이상 ~ 132미만 6 132이상 ~ 136미만 5 136이상 ~ 140미만 140이상 ~ 144미만 합 계 25 (128+132)/2= 130 128이상 ~ 132미만 6 128이상 ~ 132미만 6 130 정답 최빈값 (mode) → 자료의 값 중에서 가장 도수가 큰 계급의 계급값

1. 대표값의 뜻 = 130.8 <표-2>의 도수분포표를 이용하여 P투수의 투구 속도의 평균을 구하여보자. 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 1. 대표값의 뜻 <표-2>의 도수분포표를 이용하여 P투수의 투구 속도의 평균을 구하여보자. 예제3 풀이 계급(km/시) 도수 (계급값)×(도수) 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 124이상 ~ 128미만 4 128이상 ~ 132미만 6 132이상 ~ 136미만 5 136이상 ~ 140미만 140이상 ~ 144미만 합 계 25 (계급값)×(도수) 118×2=236 122×2=244 126×4=504 130×6=780 134×5=670 138×4=552 142×2=284 3270 평균= 3270/25 = 130.8 평균 (mean) → 각 자료의 수의 총합을 총 개수로 나눈 값

1. 대표값의 뜻 평 균(mean) n M= x1 + x2 + x3 + … + xn M= 1] 대표값이란 각 자료의 수의 총합을 자료의 총 개수로 나눈 값 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 ① 평균 계급값 x1 x2 x3 … xn 2. 산포도 1] 산포도란 n M= x1 + x2 + x3 + … + xn 2] 대표값과 산포도 비교 ② 도수분포에서의 평균 계급값 x1 x2 x3 … xn 계 도수 f1 f2 f3 fn N M= x1f1+x2f2+ x3f3+…+xnfn f1 + f2 + f3 + … + fn = N 1 (x1f1+x2f2+ x3f3+…+xnfn)

1. 대표값의 뜻 다음 <표-3>을 보고 아래 물음에 답하여라. 128+132 2 = 130 (1) 계급 값 = 예제4 1] 대표값이란 2] 평 균 (1) 도수가 가장 큰 계급의 계급값을 말하여라. 3] 가평균을 이용한 평균 (2) L선수의 투구속도의 평균을 구하여라. 계 급(km/시) 도수 120이상 ~ 124미만 1 124이상 ~ 128미만 5 128이상 ~ 132미만 10 132이상 ~ 136미만 6 136이상 ~ 140미만 3 합 계 25 계급값 122 126 130 134 138 도수×계급값 도수×계급값 122 630 1300 804 414 3270 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 <표-3> L투수의 투구속도 128+132 2 = 130 풀이 (1) 계급 값 = 3270 25 (2) 평 균 = =130.8

< 1분 동안의 반 학생들의 맥박 수 > 1. 대표값의 뜻 1. 대표값의 뜻 실전문제 1 1] 대표값이란 2] 평 균 (1) 도수가 가장 큰 계급의 계급값을 말하여라. 3] 가평균을 이용한 평균 (2) 도수분포표를 이용하여 맥박수의 평균을 구하여라. 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 < 1분 동안의 반 학생들의 맥박 수 >

1. 대표값의 뜻 가평균을 이용한 평균 ① 평균으로 예측되는 값을 기준(가평균)으로 정한다. 1] 대표값이란 ① 평균으로 예측되는 값을 기준(가평균)으로 정한다. 2] 평 균 ② 각 계급값에서 가평균을 뺀 값을 구한다. 3] 가평균을 이용한 평균 ③ 계급값에서 가평균을 뺀 값의 평균을 구한다. ④ 가평균에 ③에서 구한 값을 더하여 평균을 구한다. 2. 산포도 1] 산포도란 1. 변량 x1, x2, x3, … , xn의 가평균을 A라 두면, 평균 M은 M= A+ n (x1-A)+(x2-A)+…+(xn-A) 2. 변량 x1, x2, x3, … , xn의 도수가 각각 f1, f2 , f3 , … , fn일 때, 가평균을 A라 두면 평균 M은 f1 + f2 + … + fn (x1-A)f1 + (x2-A)f2 +…+(xn-A)fn 2] 대표값과 산포도 비교 xi fi xi-A (xi-A)fi x1 f1 x1-A (x1-A)f1 x2 f2 x2-A (x2-A)f2 x3 f3 x3-A (x3-A)f3 … xn fn xn-A (xn-A)fn

1. 대표값의 뜻 다음 <표-3>의 도수분포표에서 주어진 자료의 평균을 가평균을 이용하여 구하여라. 1] 대표값이란 예제5 다음 <표-3>의 도수분포표에서 주어진 자료의 평균을 가평균을 이용하여 구하여라. 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 <표-3> L투수의 투구속도 계 급 계급값 계급값 – 130 도수 (계급값–130) ×도수 120이상~124미만 122 1 124이상~128미만 126 5 128이상~132미만 130 10 132이상~136미만 134 6 136이상~140미만 138 3 합 계 25 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교

평균=130+[{(계급값-130)×도수}의 합]/25=130+20/25=130.8 1. 대표값의 뜻 1. 대표값의 뜻 풀이 계 급 계급값 계급값 – 130 도수 (계급값–130) ×도수 120이상~124미만 122 1 124이상~128미만 126 5 128이상~132미만 130 10 132이상~136미만 134 6 136이상~140미만 138 3 합 계 25 1] 대표값이란 2] 평 균 -8 -4 4 8 -8 -20 24 20 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 130을 기준으로 정하고 각 계급값에서 130을 빼 평균을 계산한 후, 20/25=0.8 다시 130을 더해 평균을 구하면 평균=130+[{(계급값-130)×도수}의 합]/25=130+20/25=130.8

1. 대표값의 뜻 실전문제 2 앞의 [실전문제 1]에서 만든 도수분포표로 주어진 자료의 1] 대표값이란 2] 평 균 앞의 [실전문제 1]에서 만든 도수분포표로 주어진 자료의 평균을, 도수가 가장 큰 계급의 계급값을 이용하여 구하여라. 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교

1. 대표값의 뜻 형성평가 다음은 어느 야구선수가 지난 20경기에서 기록한 안타 수 이다. 아래의 도수분포표를 완성하고 평균을 구하여라. 문제1 0, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 4, 0, 3, 2, 2, 0 계급값 1 2 3 4 계 도 수 계급값×도수 6 5 4 3 2 20 0 5 8 9 8 30 (계급값×도수)의 합 도수의 합 평균 = 30 20 풀이 = 1.5 = 30 20 정답

1. 대표값의 뜻 형성평가 다음은 어느 야구선수가 지난 20경기에서 기록한 안타 수 이다. 아래의 도수분포표를 완성하고 평균을 구하여라. 문제1 0, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 4, 0, 3, 2, 2, 0 계급값 1 2 3 4 계 도 수 계급값×도수 6 5 4 3 2 20 0 5 8 9 8 30 (계급값×도수)의 합 도수의 합 평균 = 30 20 풀이 = 1.5 = 30 20 정답

1. 대표값의 뜻 형성평가 아래 도수분포표는 어느 학교 학생100명을 대상으로 지난 1년 동안 병원에서 받은 진료의 횟수를 조사하여 나타낸 것이다. 다음 물음에 답하여라. (1) 계급의 크기를 구하라. (2) 각 계급의 계급값을 표에 써 넣어라. (3) 진료를 받은 횟수의 평균을 구하라. 문제3 6 정답 정답 정답 15.42 회 계 급 (회) 계급값 도수 0이상 ~ 6미만 2 6이상 ~ 12미만 20 12이상 ~ 18미만 50 18이상 ~ 24미만 25 24이상 ~ 30미만 3 합 계 100 3 9 15 21 27

2. 산 포 도

학습목표 1. 자료의 흩어진 정도를 나타낸 산포도의 뜻을 이해할 수 있다. 2. 편차의 뜻을 이해하고 이를 구할 수 있다.

2. 산포도 산포도란 자료의 흩어진 정도를 하나의 수로 나타낸 값. 평균편차, 분산, 표준편차, 사분편차, 범위 등이 있으나 1. 대표값의 뜻 산포도란 1] 대표값이란 자료의 흩어진 정도를 하나의 수로 나타낸 값. 2] 평 균 평균편차, 분산, 표준편차, 사분편차, 범위 등이 있으나 3] 가평균을 이용한 평균 분산과 분산의 음 아닌 제곱근인 표준편차가 주로 쓰임 2. 산포도 참고 산포도의 종류 1] 산포도란 ① 평균편차(mean deviation): 편차의 절대값의 평균 2] 대표값과 산포도 비교 ② 분산(variance): 편차의 제곱의 평균 ③ 표준편차(standard deviation): 분산의 음 아닌 제곱근 ④ 사분편차(quartile deviation): 모든 변량을 크기 순으로 배열할 때 1/4의 값과 3/4 값의 평균 ⑤ 범위(range): 자료의 최대값에서 최소값을 뺀 값

2. 산포도 아래 도수분포표에서 P투수, L투수의 투구속도의 평균은 1. 대표값의 뜻 아래 도수분포표에서 P투수, L투수의 투구속도의 평균은 130.8(km/시)로 같다. 어느 선수의 투구 속도가 평균에 더 가깝게 분포되어 있는가? 예제1 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 계급(km/시) 도 수 P투수 L투수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 1 124이상 ~ 128미만 4 5 128이상 ~ 132미만 6 10 132이상 ~ 136미만 136이상 ~ 140미만 3 140이상 ~ 144미만 합 계 25 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 <표 4>

2. 산포도 130.8 ※ 계급값의 흩어진 정도가 달라도 평균이 같을 수 있으므로 1. 대표값의 뜻 풀이 계급(km/시) 도 수 P투수 L투수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 1 124이상 ~ 128미만 4 5 128이상 ~ 132미만 6 10 132이상 ~ 136미만 136이상 ~ 140미만 3 140이상 ~ 144미만 합 계 25 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 두 투수의 평균 130.8의 근처에 L투수의 투구속도가 훨씬 가깝게 분포되어 있다. 130.8 ※ 계급값의 흩어진 정도가 달라도 평균이 같을 수 있으므로 둘 이상의 자료를 비교할 때, 두 자료의 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낼 필요가 있음

2. 산포도 따라서, 변량과 평균의 차를 이용한 산포도를 조사할 필요가 있음 풀이 1. 대표값의 뜻 각 변량이 평균 가까이 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 각 변량이 평균 가까이 집중되어 있으면 상대적으로 평균에서 멀게 분포 흩어져 있는 정도가 작고, 2. 산포도 평균에서 멀리 1] 산포도란 떨어져 있으면 2] 대표값과 산포도 비교 흩어져 있는 정도가 크다. 상대적으로 평균에서 가깝게 분포 따라서, 변량과 평균의 차를 이용한 산포도를 조사할 필요가 있음

2. 산포도 산포도란(계속) 참고 도수분포에서의 계급값과 편차 자료가 도수분포표로 1. 대표값의 뜻 산포도란(계속) 1] 대표값이란 참고 도수분포에서의 계급값과 편차 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 계급(km/시) 도수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 124이상 ~ 128미만 4 128이상 ~ 132미만 6 132이상 ~ 136미만 5 136이상 ~ 140미만 140이상 ~ 144미만 합 계 25 변량 118 122 126 130 134 138 142 편차 -12.8 -8.8 -4.8 -0.8 3.2 7.2 11.2 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 <표-4> P투수 자료가 도수분포표로 주어지는 경우 그 자료가 속한 계급의 중앙값을 변량으로 생각한다. 이를테면, P투수의 투구속도의 평균이 130.8 이므로 변량 118의 편차는 118 – 130.8 = -12.8 변량 122의 편차는 122 – 130.8 = -8.8 등 이다.

2. 산포도 산포도란(계속) 편차의 절대값이 클수록 그 변량들은 평균에서 멀어져 있고 1. 대표값의 뜻 산포도란(계속) 평균이 130.8 이므로 1] 대표값이란 계 급 계급값 편차 도수 편차×도수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 124이상 ~ 128미만 4 128이상 ~ 132미만 6 132이상 ~ 136미만 5 136이상 ~ 140미만 140이상 ~ 144미만 합 계 25 2] 평 균 118 122 126 130 134 138 142 -12.8 -8.8 -4.8 -0.8 3.2 7.2 11.2 3] 가평균을 이용한 평균 -25.6 -17.6 -19.2 -4.8 16.0 28.8 22.4 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 <표-5> P투수의 투구속도의 편차와 그 합 편차의 평균은 의미 없음 편차의 평균이 0 (편차x도수)의 합이 0 편차의 절대값이 클수록 그 변량들은 평균에서 멀어져 있고 편차의 절대값이 작을수록 그 변량들은 평균에 가까이 있다.

2. 산포도 산포도란(계속) ① 평균보다 작은 변량의 편차는 음수이고, 평균보다 큰 변량의 편차는 양수이다. 1. 대표값의 뜻 산포도란(계속) 1] 대표값이란 2] 평 균 참고 편차의 성질 3] 가평균을 이용한 평균 ① 평균보다 작은 변량의 편차는 음수이고, 평균보다 큰 변량의 편차는 양수이다. 2. 산포도 1] 산포도란 ② 편차의 절대값이 클수록 변량은 평균에서 멀리 떨어져 있다. 2] 대표값과 산포도 비교 ③ 편차의 총합은 0이다.

2. 산포도 다음 표를 이용하여 P투수와 L투수의 투구속도의 편차와 그 합을 구하여라. 예제2 1. 대표값의 뜻 2. 산포도 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 계급(km/시) 도 수 P투수 L투수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 1 124이상 ~ 128미만 4 5 128이상 ~ 132미만 6 10 132이상 ~ 136미만 136이상 ~ 140미만 3 140이상 ~ 144미만 합 계 25 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 계급값 118 122 126 130 134 138 142 계 편 차 도 수 25 편차×도수

2. 산포도 P투수와 L투수의 투구속도의 편차와 그 합을 구하면 두 투수의 투구속도의 평균이 모두 130.8이므로 풀이 1. 대표값의 뜻 풀이 P투수와 L투수의 투구속도의 편차와 그 합을 구하면 두 투수의 투구속도의 평균이 모두 130.8이므로 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 계급(km/시) 도 수 P투수 L투수 116이상 ~ 120미만 2 120이상 ~ 124미만 1 124이상 ~ 128미만 4 5 128이상 ~ 132미만 6 10 132이상 ~ 136미만 136이상 ~ 140미만 3 140이상 ~ 144미만 합 계 25 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 계급값 118 122 126 130 134 138 142 계 편 차 도 수 25 편차×도수 (편차×도수)의 합이 0 편차의 평균이 0 -12.8 -8.8 -4.8 -0.8 3.2 7.2 11.2 1 5 10 6 3 -24 -8 19.2 21.6

2. 산포도 P투수(위)와 L투수(아래)의 투구속도의 편차와 그 합 두 투수의 투구속도의 편차의 합이 각각 0 이므로 1. 대표값의 뜻 참고 P투수(위)와 L투수(아래)의 투구속도의 편차와 그 합 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 계급값 118 122 126 130 134 138 142 계 편 차 -12.8 -8.8 -4.8 -0.8 3.2 7.2 11.2 도 수 2 4 6 5 25 편차×도수 -25.6 -17.6 -19.2 16.0 28.8 22.4 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 계급값 118 122 126 130 134 138 142 계 편 차 -12.8 -8.8 -4.8 -0.8 3.2 7.2 11.2 도 수 1 5 10 6 3 25 편차×도수 -24 -8 19.2 21.6 두 투수의 투구속도의 편차의 합이 각각 0 이므로 투구속도의 편차의 평균도 각각 0임 따라서 편차 평균을 이용해 자료의 분포상태를 비교할 수 없으므로 편차의 절대값의 평균이나 편차의 제곱에 대한 평균을 산포도에 이용 평균편차 분산

2. 산포도 다음은 종현이네 반 학생 10명이 턱걸이를 한 횟수를 나타낸 것이다. 각 편차의 제곱의 합을 구하여라. 1. 대표값의 뜻 다음은 종현이네 반 학생 10명이 턱걸이를 한 횟수를 예제3 1] 대표값이란 2] 평 균 나타낸 것이다. 각 편차의 제곱의 합을 구하여라. 3] 가평균을 이용한 평균 9, 6, 5, 4, 7, 8, 5, 8, 7, 11 2. 산포도 풀이 주어진 변량들의 평균은 1] 산포도란 9+6+5+4+7+8+5+8+11 10 = = 7 70 2] 대표값과 산포도 비교 각 편차의 제곱의 합을 구하면 다음 표와 같다. 횟수 9 6 5 4 7 8 11 계 편차 (편차)2 2 -1 -2 -3 1 4 4 1 9 16 40 정답 따라서, 편차 제곱의 합은 40 ∴ 편차제곱의 평균은 40/10=4이므로 분산은 4 참고

2. 산포도 다음 표를 완성하고 편차의 절대값의 평균을 구하여라. 주어진 변량들의 평균은 9+6+5+4+7+8+5+8+11 1. 대표값의 뜻 예제4 다음 표를 완성하고 편차의 절대값의 평균을 구하여라. 1] 대표값이란 2] 평 균 3] 가평균을 이용한 평균 회수 9 6 5 4 7 8 11 합계 편차 2 -1 ｜편차｜ -2 -3 1 4 2 1 3 4 16 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교 주어진 변량들의 평균은 풀이 9+6+5+4+7+8+5+8+11 10 = = 7 70 이므로, ∴｜편차｜의 평균은 = 16 10 =1.6 정답 평균편차가 1.6

2. 산포도 대표값과 산포도의 비교 변량들이 흩어져 있는 정도를 편차의 제곱의 평균이나 절대값의 1. 대표값의 뜻 대표값과 산포도의 비교 1] 대표값이란 변량들이 흩어져 있는 정도를 편차의 제곱의 평균이나 절대값의 2] 평 균 평균과 같이 하나의 수로 나타낼 수 있는 데 이를 산포도라 한다. 3] 가평균을 이용한 평균 대표값 산포도 자료 전체의 중심적인 경향을 대표하여 나타내는 값 자료의 분포 상태를 나타내는 데 충분하지 않다. 각 자료의 흩어져 있는 정도를 나타내는 값 산포도의 값이 작을수록 자료 들은 평균의 근처에 몰려있다. 2. 산포도 1] 산포도란 2] 대표값과 산포도 비교

2. 산포도 형성평가 5개의 자료 4, 6, 9, 6, 10의 편차의 총합을 구하라. 평균 = 문제1 5개의 자료 4, 6, 9, 6, 10의 편차의 총합을 구하라. 평균 = 4 + 6 + 9 + 6 + 10 5 = 35 = 7 이므로 각 변량 4, 6, 9, 6, 10의 편차는 각각 4 – 7 = -3 6 – 7 = -1 9 – 7 = 2 10 – 7 = 3 따라서, 편차의 총합은 (-3) + (-1) + 2 + (-1) + 3 = 0 풀이

2. 산포도 형성평가 5개의 자료 -1, 2, 0, 3, -1의 편차의 절대값의 평균을 구하라. 평균 = 문제2 5개의 자료 -1, 2, 0, 3, -1의 편차의 절대값의 평균을 구하라. 평균 = (-1) + 2 + 0 + 3 + (-1) 5 = 3 = 0.6 이므로 각 변량 4, 6, 9, 6, 10의 편차는 각각 (-1) – 0.6 = -1.6, 2 – 0.6 = 1.4, 0 – 0.6 = -0.6, 따라서, 편차의 절대값의 평균은 3 – 0.6 = 2.4, (-1) – 0.6 = -1.6 즉, 편차는 -1.6, 1.4, -0.6, 2.4, -1.6 편차의 절대값은 각각 1.6, 1.4, 0.6, 2.4, 1.6 1.6 + 1.4 + 0.6 + 2.4 + 1.6 7.6 = 1.52 풀이

2. 산포도 형성평가 다음은 20점 만점인 게임을 10번하여 얻은 점수이다. 도수분포표를 완성하고 편차제곱의 평균을 구하여라. 문제3 다음은 20점 만점인 게임을 10번하여 얻은 점수이다. 도수분포표를 완성하고 편차제곱의 평균을 구하여라. 16, 18, 14, 20, 18, 18, 16, 18, 12, 20 점수 12 14 16 18 20 합계 도수 10 풀이 1 2 4 편차 -5 -3 -1 1 3 평균 = 12×1 + 14×1 + 16×2 + 18×4 + 20×2 10 = 17 = 170 분산 = (-5)2×1 +(-3)2×1 + (-1)2×2 + 12×4 + 32×2 10 = 5.8 = 58 10

3. 분산과 표준편차

학습목표 분산과 표준편차의 뜻을 이해하고 이를 구할 수 있다.

3. 분산과 표준편차 분산 표준편차 (분산) = (편차의 제곱)의 평균 (편차)2의 총합 (자료의 개수) = √ 분산 (표준편차) = ① 주어진 변량의 평균을 구한다. ② 각 변량의 편차를 구한다. (편차 = 변량 – 평균) ③ 편차를 제곱하여 총합을 구한다. ④ 편차의 제곱의 평균을 구한다. (분산 구함) ⑤ 분산의 양의 제곱근을 구한다.

√ 3. 분산과 표준편차 √ 분산과 표준편차 (1) (x1-M)2+(x2-M)2+…+(xn-M)2 σ2 = n 1. 변량 x1 , x2 , … , xn의 평균을 M이라 두면, 분산 σ2은 - M2 (편차 제곱의 평균) σ2 = n (x1-M)2+(x2-M)2+…+(xn-M)2 = x12 + x2 2 +…+ xn2 (변량제곱의 평균-평균의 제곱) 표준편차= 분산 이므로 √ 참고 √ = n x12 + x2 2 +…+ xn2 - M2

√ x12 f1+ x22 f2 + … + xn2 fn = - M2 N 3. 분산과 표준편차 √ 분산과 표준편차 (2) 2. 변량 x1 , x2 ,…, xn의 도수가 각각 f1 , f2 ,…, fn 일 때, x3-M f3 x3 xn-M … x2-M x1-M xi-M N fn f2 f1 fi 계 xn x2 x1 xi 평균을 M이라 두면 분산 σ 2 은 σ 2 = N (x1-M)2 f1+(x2-M)2 f2+…+(xn-M)2 fn = N x12 f1+ x22 f2 + … + xn2 fn - M2 표준편차= 분산 이므로 √ 참고 √ = N x12 f1+ x22 f2 + … + xn2 fn - M2

다음 표는 10명씩으로 이루어진 A, B 두 조의 학생들이 예제1 1분 동안에 윗몸 일으키기를 한 횟수를 적은 것이다. A조 17 14 18 20 25 23 24 B조 21 15 26 [탐구1] 각 조의 평균을 구해보자. A조의 평균= 17 + 14 + 18 + ··· + 24 10 200 = = 20 풀이 B조의 평균= 24 + 21 + 20 + ··· + 26 10 200 = = 20

[탐구2] 다음 표를 완성하고 편차의 제곱의 평균을 구해보자. 풀이 A 조 변량 편차 (편차)2 17 -3 9 14 18 -2 4 20 25 23 3 24 합계 B 조 변량 편차 (편차)2 24 4 16 21 20 18 15 -2 26 합계 -6 36 5 25 4 16 160 1 -2 4 -5 25 6 36 90 편차 제곱의 평균 = 160/10 =16 편차 제곱의 평균 = 90/10 =9

[탐구3] 변량들이 평균을 따라 더 가깝게 분포되어 있는 조는 어느 조인가? 분산 풀이 A조의 편차 제곱의 평균 = 16 B조의 편차 제곱의 평균 = 9 편차는 평균을 중심으로 변량들이 흩어져 있는 정도를 나타낸 값이므로 편차제곱의 평균이 작을수록 흩어진 정도가 더 작다. A조 분산 16 ＞ B조 분산 9 ⇒ B조의 분산이 더 작다. ⇒ B조의 흩어져 있는 정도가 더 작다. ⇒ B조 변량들의 분포가 A조보다 평균을 중심으로 더 가까이 모여 있다. 참고 √ 분산 = 표준편차

3. 분산과 표준편차 토의문제 어떤 자료의 표준편차가 0이라는 것은 무엇을 의미하는지 말해보자. 그리고 우리 주변에서 표준편차가 0이 되는 자료를 찾아보자.

3. 분산과 표준편차 다음 자료의 평균과 표준편차를 구하여라. 자료의 개수는 8개이므로 예제2 다음 자료의 평균과 표준편차를 구하여라. 76, 84, 96, 88, 90, 82, 92, 80 풀이 자료의 개수는 8개이므로 변량 편차 (편차)2 76 -10 100 84 -2 4 96 10 88 2 90 16 82 -4 92 6 36 80 -6 합계 312 76+84+96+88+90+82+92+80 8 평균 = 8 688 = = 86 따라서 오른쪽 표에서 (분산) = = 39 이므로 312 8 √ (표준편차) = 39

3. 분산과 표준편차 실전문제 다음 표는 A, B 두 조의 학생들이 턱걸이를 한 횟수를 조사한 것이다. 8 10 9 12 11 B조 16 (1) 각 조의 평균을 구하여라. (2) 각 조의 분산과 표준편차를 구하여라. (3) 어느 조에 있는 자료가 평균을 중심으로 모여 있는가?

3. 분산과 표준편차 실전문제 (1) 각 조의 평균을 구하여라. 100 A조의 평균 = 풀이 (1) 각 조의 평균을 구하여라. A조 8 10 9 12 11 B조 16 100 A조의 평균 = 8+10+10+9+10+12+10+11+10+10 10 = = 10 B조의 평균 = 8+10+8+11+10+8+8+11+16+10 정답 A조: 10, B조: 10

3. 분산과 표준편차 실전문제 (2) 각 조의 분산과 표준편차를 구하여라. A조: 1 , B조: 5.4 풀이 (2) 각 조의 분산과 표준편차를 구하여라. A조: 1 , B조: 5.4 A조 8 10 9 12 11 B조 16 A조 8 10 9 12 11 합계 편차 (편차)2 -2 -1 2 1 4 10 = 1, (A조 표준편차) = 1 (A조 분산) = 10 B조 8 10 11 16 합계 편차 (편차)2 -2 1 6 4 36 54 = 5.4, (B조 표준편차) = 5.4 (B조 분산) = 54 10 √

3. 분산과 표준편차 조별활동 다음 순서에 따라 실행하여 보자. (1) 한 조에 8명 또는 10명씩으로 조를 편성한다. 평균 분산 표준편차 1조 2조 3조 4조 5조 6조 조를 편성한다. (2) 각 구성원의 몸무게를 조사한 후, 자료의 평균과 표준편차를 구하여 오른쪽 표를 완성한다. (3) 몸무게가 평균을 중심으로 더 가까이 모여 있는 조의 순서를 말하여 보자.

3. 분산과 표준편차 형성평가 다음 5개 자료의 분산을 구하여라. 4, 6, 9, 6, 10 평균 = 문제1 다음 5개 자료의 분산을 구하여라. 4, 6, 9, 6, 10 평균 = 4 + 6 + 9 + 6 + 10 5 = 35 = 7 이므로 각 변량 4, 6, 9, 6, 10의 편차는 각각 -3, -1, 2, -1, 3 각 변량의 편차의 제곱은 9, 1, 4, 1, 9 ∴ 분산 = 편차 제곱의 평균 9 + 1 + 4 + 1 + 9 24 = 4.8 풀이 정답 4.8

3. 분산과 표준편차 형성평가 A, B. C, D, E 5명의 영어성적이 다음과 같을 때 표준편차를 구하면? 문제2 A, B. C, D, E 5명의 영어성적이 다음과 같을 때 표준편차를 구하면? 학생 A B C D E 평균 점수 74 78 72 80 81 77 풀이 편차 -3 1 -5 3 4 편차2 9 25 16 분산 = 편차 제곱의 평균 9 + 1 + 25 + 9 + 16 5 = 60 = 12 표준편차 = √분산 = 2√3 2√3 정답

3. 분산과 표준편차 형성평가 5개의 변량 4, 10, x, y, 5의 평균이 6이고, 분산이 문제3 5개의 변량 4, 10, x, y, 5의 평균이 6이고, 분산이 4.4일 때, xy의 값을 구하여라. 4 + 10 + x + y + 5 5 = x + y + 19 = 6 이므로 평균 = x + y + 19 = 30, ∴ x+y=11 ………① 평균이 6이므로 변량의 편차는 각각 -2, 4, x-6, y-6, -1 편차의 제곱은 각각 4, 16, (x-6)2, (y-6)2, 1 이므로 4+16+(x-6)2+(y-6)2+1 = 4.4 분산= ∴ (x-6)2+(y-6)2=1 ……… ② ①을 ②에 대입하여 정리하면 x2-11x+30=0 ∴ x=5, 6 x=5일 때 y=6, x=6일 때 y=5 ∴ xy=30 풀이 정답 30

4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기

학습목표 도수분포에서 분산과 표준편차를 구할 수 있다.

4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 {(편차)2×(도수)}의 총합 (분산) = (도수)의 총합 (표준편차) = √ (분산) ① 도수분포표의 각 계급 난에 (계급값)×(도수)의 값을 적고, 그 총합을 계산해 평균을 구한다. ② 각 계급값에서 평균을 빼어 편차를 구한다. ③ (편차)2×(도수)의 값을 적고, 그 총합을 전체 도수로 나누어 분산을 구한다. ④ 분산의 음이 아닌 제곱근을 계산하여 표준 편차를 구한다.

4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 다음의 도수분포표의 자료 평균이 130.8임을 알고 있을 때, (편차) = (계급값)–(도수)임을 이용하여 다음 표를 완성하라. 예제1 계급(km/시) 계급값 도수 ×도수 편차 (편차)2×(도수) 116이상 ~ 120미만 118 2 236 -12.8 (-12.8)2×2 = 327.68 120이상 ~ 124미만 122 366 -8.8 (-8.8)2×2 = 154.88 124이상 ~ 128미만 126 4 504 128이상 ~ 132미만 130 6 780 132이상 ~ 136미만 134 5 670 3.2 (3.2)2×5 = 51.2 136이상 ~ 140미만 138 552 140이상 ~ 144미만 142 284 11.2 (11.2)2×2 = 250.88 합 계 25 3270 편차 = 126-130.8 = -4.8 편차 = 130-130.8 = -0.8 -4.8 (-4.8)2×4 = 92.16 -0.8 (-0.8)2×6 = 3.84 7.2 (7.2)2×4 = 207.36 편차 = 138-130.8 = 7.2 1088 (분산) = = 43.52 (표준편차) = √43.52≒6.6 1088 25

4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 아래 도수분포표로 주어진 자료의 평균이 130.8임을 알고, 다음 표를 완성하고 물음에 답하라. 예제2 계급(km/시) 계급값 도수 편차 (편차)2×(도수) 120이상 ~ 124미만 122 1 -8.8 (-8.8)2×1 = 77.44 124이상 ~ 128미만 126 5 -4.8 128이상 ~ 132미만 130 10 -0.8 132이상 ~ 136미만 134 6 3.2 136이상 ~ 140미만 138 3 7.2 (7.2)2×3 = 155.52 합 계 25 (1) L투수의 분산과 표준편차를 구하여라. (2) P투수와 L투수의 투구속도의 표준편차를 비교하여

4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 √ (1) L투수의 분산과 표준편차를 구하여라. 풀이 계급(km/시) 계급값 도수 편차 (편차)2×(도수) 120이상 ~ 124미만 122 1 -8.8 (-8.8)2×1 = 77.44 124이상 ~ 128미만 126 5 -4.8 128이상 ~ 132미만 130 10 -0.8 132이상 ~ 136미만 134 6 3.2 136이상 ~ 140미만 138 3 7.2 (7.2)2×3 = 155.52 합 계 25 (-4.8)2×5 = 115.2 (-0.8)2×10 = 6.4 (3.2)2×6 = 61.44 416 (분산) = = 16.64, 416 25 (표준편차) = 39 √ 정답 (2) P투수와 L투수의 투구속도의 표준편차를 비교하여 어느 투수의 투구속도가 평균에 더 가깝게 분포되어 있는지 알아보아라. 정답 P(=6.6) > L(=4.1)이므로 L이 가까움

실전문제 4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 아래 표는 상민이네 반의 국어 성적과 수학성적을 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 다음 물음에 답하여라. 계 급 국어 수학 50이상~60미만 2 1 60이상~70미만 5 4 70이상~80미만 12 10 80이상~90미만 13 16 90이상~100 8 9 합 계 40 국어와 수학 성적 각각의 평균을 구하여라. (2) 국어와 수학 성적 각각의 표준편차를 구하여라. (3) 어느 과목의 성적이 평균을 중심으로 더 가깝게 분포되어 있는가?

실전문제 4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 국어와 수학 성적 각각의 평균을 구하여라. 풀이 계급(국어) 계급값 도수 계급값x도수 계급(수학) 50이상~60미만 55 2 1 60이상~70미만 65 5 4 70이상~80미만 75 12 10 80이상~90미만 85 13 16 90이상~100 95 8 9 합 계 40 110 325 900 1105 760 3200 55 260 750 1360 855 3280 정답 (국어 평균) = 3200/40 = 80, (수학 평균) = 3280/40 = 82

실전문제 4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 (2) 국어와 수학 성적 각각의 표준편차를 구하여라. 풀이 계 급 계급값 도수 편차 편차2x도수 50이상~60미만 55 2 -25 (-25)2x2=1250 1 -27 (-27)2x1=729 60이상~70미만 65 5 -15 (-15)2x5=1125 4 -17 (-17)2x4=1156 70이상~80미만 75 12 -5 (-5)2x12=300 10 -7 (-7)2x10=490 80이상~90미만 85 13 52x13=325 16 3 32x16=144 90이상~100 95 8 15 152x8=1800 9 132x9=1521 합 계 40 4800 4040 정답 국어 : (분산) = 4800/40 = 120, (표준편차) = √120 ≒11 수학 : (분산) = 4040/40 = 101, (표준편차) = √101 ≒10

실전문제 4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 (3) 어느 과목의 성적이 평균을 중심으로 더 가깝게 분포되어 있는가? 풀이 국어표준편차 > 수학표준편차 따라서 수학 과목의 성적이 평균에 더 가깝게 분포되어 있다. 정답

조별활동 4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 다음 순서에 따라 실행하여 보자. 우리 반 학생들의 수학과 영어성적을 조사하여 도수 분포표를 만들고, 각 교과목 의 평균과 표준편차를 구하 여라. 계 급 영어 수학 50이상~60미만 60이상~70미만 70이상~80미만 80이상~90미만 90이상~100 합 계 (2) 어느 과목의 성적이 평균을 중심으로 더 가깝게 분포되어 있는지를 말하여라.

형성평가 4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 다음은 어떤 자료의 편차와 도수이다. 분산은? 분산 = 문제1 다음은 어떤 자료의 편차와 도수이다. 분산은? 편차 -2 -1 1 2 3 도수 5 풀이 편차2 4 1 9 편차2 ×도수 12 5 2 20 27 분산 = (편차2×도수)의 합 도수의 합 = 3+5+2+2+5+3 12+5+0+2+20+27 = 3.3 20 66 3.3 정답

형성평가 4. 도수분포로 주어진 자료의 분산과 표준편차 구하기 아래 표는 A반 학생들의 수학성적에 대한 도수분포표이다. 문제2 아래 표는 A반 학생들의 수학성적에 대한 도수분포표이다. 표준편차는? 계급(점) 도수(명) 50이상 ~ 60미만 1 60이상 ~ 70미만 6 70이상 ~ 80미만 12 80이상 ~ 90미만 14 90이상 ~ 100 7 합 계 40 풀이 변량 도수(명) 변량×도수 55 1 65 6 390 75 12 900 85 14 1190 95 7 665 40 3200 편차 편차2 편차2 ×도수 -25 625 -15 225 1350 -5 25 300 5 350 15 1575 4200 55+390+900+1190+665 40 평균 = = 3200 = 80 정답 625+1350+300+350+1575 40 분산 = = 4200 = 105