Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University 벡터의 정의 Metal Forming CAE Lab. Department of Mechanical Engineering Gyeongsang National University, Korea Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

벡터의 정의 벡터량과 벡터: 물리량(physical quantity)으로서 크기와 방향성을 갖는 양(quantity)을 벡터량(vector quantity)이라고 하고, 이를 수학적으로 표현한 것을 벡터(vector)라고 함 스칼라량과 실수(또는 수): 크기만 있고 방향성이 없는 물리량을 스칼라량(scalar quantity)이라고 하고, 스칼라량은 실수(real number)로 표현됨 벡터의 표현 벡터량의 예: 힘, 변위, 속도, 가속도, 열유동, 운동량, 모멘트 등 스칼라량의 예: 일, 일률, 온도, 질량 등 벡터 자체: 벡터 크기: 벡터의 구성 요소 필수적 요소(수학적 요구조건) 크기(Magnitude) : 점 A와 B 사이의 거리 방향(Direction ) : 점 A에서 점 B로 향하는 화살표의 방향 선택적 요소 작용점(Point of action) : B 작용선(Line of action) : 점 A와 B를 지나는 직선 <벡터의 정의와 기하학적 표현>

벡터의 종류 미끄럼벡터(sliding vector): 필수적 요소 + 작용선 한정벡터(bound vector): 필수적 요소 + 작용점 자유벡터(free vector): 필수적 요소(크기와 방향) statics elasticity rigid-body translation P Unknowns : RA, RB Unknowns : deformation, etc. Unknowns : displacement, etc. (a) sliding vector (b) bound vector  (c) free vector <벡터의 종류>

<직각좌표계에서 벡터의 성분> 벡터의 표현 수학적 표현: 성분으로 표시하기 2차원 평면 행벡터: 또는 (a) 2차원 열벡터: 기계공학에서 아무 언급 없으면 열벡터를 의미함 3차원 공간 행벡터: 열벡터: (b) 3차원 성분으로 표시하면, 크기와 방향, 즉 벡터의 필수적 요건(수학적 요건)을 표현할 수 있음 <직각좌표계에서 벡터의 성분>

벡터 관련 용어 정리 벡터 a의 크기(magnitude) : 벡터의 방향(direction) : 또는 벡터의 방향(direction) : 방향여현(directional cosine) : 단위벡터 : 크기가 1인 벡터 또는 단위기초벡터(unit basis vector) : <좌표계와 단위기초벡터>

<벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈> 벡터의 연산 벡터의 덧셈 벡터와 스칼라의 곱셈 평행사변형 법칙 벡터의 덧셈과 벡터-스칼라의 곱셈의 성질 <벡터의 덧셈, 벡터와 스칼라의 곱셈> 벡터 의 크기, 놂(norm) :

단위기초벡터를 활용한 벡터의 수학적 표현 벡터와 스칼라곱, 벡터의 덧셈으로부터 벡터의 연산(덧셈, 뺄셈, 내적, 벡터적, 백터와 스칼라의 곱셈 등) 시, 단위기초벡터로 표현하는것이 원칙

벡터의 연산 벡터의 내적 (inner product, dot product, scalar product) 내적의 기하학적 의미 b a 내적의 기하학적 의미 이면 두 벡터는 직교함 내적의 성질 <벡터의 내적> 기타

예제 a 와 b 가 아래와 같을 때 b 를 a 위로 정사영 내린 후 교점과 b의 끝을 연결 하는 x 를 구하라 . ☞

예제 다음의 평면에서 를 구하시오. ☞

예제 다음의 3차원 공간에서 를 구하시오. ☞

벡터의 연산 벡터적 (vector product, cross product) 벡터적의 기하학적 의미 벡터적의 성질 기타 크기 : 크기 : 두 백터 가 이루는 평행사변형의 면적 방향 : 벡터 에 수직하면서 가 오른손법칙을 따름 벡터적의 성질 <벡터적의 정의> 기타 <오른손법칙>

예제 다음의 삼각형면적을 구하여라. ☞

예제 벡터 와 에 대한 다음 물음에 답하라 ☞

n 차원으로의 벡터의 확장 Rk 유클리디안 벡터장 벡터의 차원 : 2(3)차원 평면에서 벡터량은 2(3)차원 벡터 k-차원 벡터 : 성분이 k개인 벡터 Rk : k-차원 유클리디안 벡터, k-차원 유한차원 실수벡터장

선형종속과 선형독립 선형조합 (linear combination) 선형독립 (linearly independent) 모든 가 0일 때만 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형독립이라고 함 선형종속 (linearly dependent) 어떤 가 0이 아닌데도 선형조합이 0이 되는 경우, 벡터 는 선형종속이라고 함 예제 Linearly independent Linearly dependent

좌표계와 좌표 좌표 기준좌표계와 지방(국부)좌표계 직교좌표계(orthogonal coordinate system) 어떤 점의 위치를 기준좌표계에 대한 상대적 위치로 표현한 것 벡터량임 기준좌표계와 지방(국부)좌표계 직교좌표계(orthogonal coordinate system) 직각좌표계(rectangular coordinate system) 원통좌표계(cylindrical coordinate system) <좌표계와 좌표> 구좌표계(spherical coordinate system) a) 직각좌표계 b) 원통좌표계 c) 구좌표계 <주요 직교좌표계>

행렬의 정의 행렬: 수의 규칙적인 배열 용어 정의 : 상삼각행렬(upper triangular matrix) 행렬 : 하삼각행렬(lower triangular matrix) 행벡터(row vector) : 행렬 열벡터(column vector) : 행렬 정방행렬(square matrix) : 행렬 비대각항(off-diagonal term) : 대각항(diagonal term) : 정방행렬에서 영행렬(zero matrix) 대각행렬(diagonal matrix) 단위행렬(unit matrix)

행렬의 정의 용어 정의(계속) 부분행렬(submatrix) : 원래의 행렬에서 일부의 행과 열을 제거한 행렬 주부분행렬(principal submatrix) : 정방행렬에서 동일번호의 행과 열을 동시에 제거하여 만든 부분행렬 전치행렬(transpose of a matrix), : 행렬 A의 (i,j)-요소 와 (j,i)-요소 의 자리를 바꾸어 만든 행렬 대칭행렬(symmetric matrix) : 의대칭행렬(skew-symmetric matrix) : 랭크 (rank) : 선형독립적인 행의 수(= 선형독립적인 열의 수) 특이행렬(singular matrix) : nⅹn 정방행렬에서 랭크가 n - 1 이하일 경우

행렬과 벡터의 관계 mⅹn 행렬의 벡터 표현 1ⅹn 행벡터의 mⅹ1 열벡터 mⅹ1 열벡터의 nⅹ1 행벡터

행렬의 덧셈 및 행렬과 스칼라 곱셈 행렬의 덧셈의 정의 행렬과 스칼라 곱셈의 정의 성질

행렬의 곱셈 행렬의 곱셈의 정의 행렬의 곱의 성질 예제: 다음의 행렬을 이용하여 가 성립함을 보여라. C = A B : 행렬 와 행렬 의 곱 가 만족될 때, 행렬의 요소 가 정의됨 행렬의 곱의 성질 일반적으로 이 반드시 와 를 의미하는 것이 아님 예제: 다음의 행렬을 이용하여 가 성립함을 보여라. ☞ 이므로 이고, 이다. 따라서 이다.

행렬의 변환기능과 응용 행렬의 역할 : 벡터량의 좌표변환 법칙 : 직교단위행렬(orthonormal matrix) 수학적 오퍼레이터(operator) 전달함수(transfer function) 및 변환(transformation)의 역할 벡터량의 좌표변환 법칙 : <행렬의 역할> 변환행렬 직교단위행렬(orthonormal matrix) <좌표변환>

행렬의 변환기능과 응용 역학문제에서의 행렬 변위-하중 관계식 변위-하중 관계식 유한요소보간 미분방정식의 근사해법 강성행렬 변위벡터 하중벡터

행렬의 판별치 (determinant) 2×2 행렬의 판별치 : 3×3 행렬의 판별치 : n×n 행렬의 판별치 : 여인자(cofactor)) : 마이너(minor), i-행과 j-열을 소거하여 얻은 (n-1)×(n-1) 부분행렬의 판별치

행렬의 판별치 판별치의 일반적 성질 행렬의 한 행 또는 한 열에 상수 c를 곱하여 만든 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의 c 배임 어떤 행렬의 임의의 두 행 (또는 두 열)을 교환하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치의 부(negative)의 값을 가짐 어떤 행렬의 한 행(또는 하나의 열)에 다른 행(또는 열)의 상수배를 더하여 만든 새로운 행렬의 판별치는 본래 행렬의 판별치와 동일함 행(또는 열)벡터가 선형종속이면 판별치는 0임 예제 ① ② ③

역행렬 n×n 행렬 A의 역행렬: 행렬의 곱의 역행렬 선형연립방정식 직교단위행렬과 변환행렬 행렬 의 어조인트(adjoint) 또는 선형연립방정식 행렬 의 어조인트(adjoint) ※ 참고사항: Kronecker delta 직교단위행렬과 변환행렬 일 때, 행렬 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 함 일 때, 행렬 를 직교단위행렬(orthonormal)이라고 함. 변환행렬은 직교단위행렬임. 즉, 임. 따라서 임

선형방정식과 해법 선형방정식 선형방정식의 해법 직접법 Gauss-Jordan 소거법 LU 분해법 (또는 Cholesky 분해법) 띠형행렬법(banded matrix) 스카이라인법(skyline method) 저밀도행렬기법(sparse matrix techique) 전선해법(frontal solution method) 반복법 행렬직교방향법(conjugate direction method)

상사변환 상사변환(similarity transformation)의 정의 상사변환의 성질 상사변환의 응용 와 의 고유치는 동일 와 의 고유치는 동일 고유벡터의 관계 : ( : 행렬 의 고유 벡터, : 의 고유벡터) 상사변환의 응용

고유치 문제 제차선형연립방정식(homogeneous linear equation) : 고유치 문제 : : 무의미해(trivial solution) IF : 고유치 문제 : 행렬 의 행벡터 또는 열벡터는 선형종속이어야 함 : 고유치(eigenvalue) 또는 특성치(charactoeristic vector) : 고유벡터(eigenvector) 또는 특성벡터(characteristic vector) 특성방정식(characteristic equation) : 행렬 의 랭크가 n보다 작기 위한 조건 또는 행렬 가 특이행렬이 될 조건 차의 비선형방정식 행렬 가 대칭이면, n 개의 실근 존재 고유벡터의 직교성 :