-9장- 디지털 제어시스템

Contents 9.1 서론 9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 9.3 z-변환 9.4 펄스 전달함수 9.1 서론 9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 9.3 z-변환 9.4 펄스 전달함수 9.5 이산시간 시스템의 상태공간 모델 9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화 9.8 직접 디지털 제어시스템 설계 9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어

9.1 서론 연속시간 제어시스템 디지털 제어시스템 - 시간의 연속함수로 표시되는 연속 전달 신호로 동작 - 해석 및 설계방법이 조직적, 간결 - 일반적으로 연속시간 시스템인 플랜트에 연속시간 제어기법 적용 디지털 제어시스템 - 시간의 이산함수로 표시되는 이산 전달 신호로 동작 제어 알고리즘인 프로그램만을 조작하여 쉽게 새로운 제어기 설계 가능 복잡한 연산과정을 신속 정확하게 수행

9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 디지털 제어기의 구성 - 입력 변환기 - 디지털 컴퓨터 - 출력 변환기 9.2 디지털 제어기의 입력/출력 변환기 디지털 제어기의 구성 - 입력 변환기 - 디지털 컴퓨터 - 출력 변환기 그림 9.1 디지털 제어시스템

(1) 입력 변환기 입력 변환기의 구성 저주파통과필터 임펄스 샘플링장치(A/D 변환기) 그림 9.2 입력 변환기의 개략도 그림 9.3 단위임펄스의 열과 샘플링 장치 - 연속신호 가 주기적으로 샘플링 될 경우 : (9.3)

그림 9.4 그리고 신호의 모양

샘플링주기 T 선정 Shannon의 샘플링 이론 - 연속신호에서 가장 큰 주파수 보다 적어도 2배 이상 큰 주파수 로 샘플링 (9.7) - 식 (9.7)이 만족되지 않으면  엘리어싱(aliasing) 발생 - 샘플링 주파수 는 일반적으로 시스템 대역폭 의 20배 이상 되도록 선정

 엘리어싱 발생 안 함 원신호 복원 가능  엘리어싱 발생 함 원신호 복원 불가능 그림 9.7 의 주파수 스펙트럼

- 경제적인 샘플링주기 선정을 위하여 샘플링장치 앞에 저주파통과필터 첨가 이유 : 센서잡음(고주파)를 제거하여 샘플링장치의 입력신호의 최대주파수 를 작게 하기 위함 일반적으로 사용되는 저주파통과필터 : 1차 또는 2차의 뒤짐(lag) 필터 1차 뒤짐 필터의 경우 : (9.24) 여기서 필터의 대역폭 a 를 너무 작게 선정하면 제어기의 대역폭을 제한함

(2) 출력 변환기 출력 변환기의 구성 - 디지털 제어기의 출력 변환기‘홀딩장치’: 이산신호  연속신호 - 디지털 제어기의 출력 변환기‘홀딩장치’: 이산신호  연속신호 일반적으로 사용되는 0차 홀딩장치(ZOH : zero-order holder) - ZOH의 전달함수 : (9.26) 그림 9.8 ZOH의 입력 및 출력 신호의 모양 그림 9.9 ZOH의 주파수 응답

9.3 z-변환 z-변환식 - z-변환 : 선형 시불변 연속시간 시스템에서의 Laplace변환에 대응되는 선형 시불변 이산시간 시스템에서의 변환 - z-변환 목적 : 이산시간 시스템의 모델링 및 해석을 쉽게 하기 위하여 z-변환식 - 이산신호 의 일반적 표현 : (9.29) - 이산신호 의 Laplace 변환함수 : (9.30) 또는 로 정의하면, - z-변환 식 : (9.32) 또는 (9.33)

예제 9.1 단위스텝함수 1(t)의 z-변환함수 구하기 예제 9.2 지수함수 x(t)의 z-변환함수 구하기

예제 9.3 사인파함수 x(t)의 z-변환함수 구하기

예제 9.4 다음 Laplace 변환함수 X(s)에 대한 z-변환함수 구하기 - Laplace 변환함수 X(s)를 부분분수로 전개 1/s 또는 1(t)에 대한 z-변환함수 = z/(z-1) 1/(s+1) 또는 에 대한 z-변환함수 = z/(z - )

표 9.1 대표적인 시간함수에 대한 z-변환표 X(s) x(t) 또는 x(k) X(z)

표 9.2 z-변환에 관한 유용한 특성 x(t) 또는 x(k) Z{x(t)} 또는 Z{x(k)}

z-변환을 이용하여 차분방정식의 해를 구하는 방법 - 연속시간 시스템에서 Laplace 변환을 이용하여 미분방정식의 해를 구하는 방법과 유사 (9.34) (9.35) 일반적으로 (9.36)

예제 9.5 다음 시스템에 대한 응답 x(k) 구하기 (9.37) 여기서 - k = -1을 식 (9.37)에 대입  - 식 (9.37)에 z-변환을 수행하고 x(0) = x(1) = 0을 대입  여기서  - 식 (9.34) 이용 : - 역 z-변환 수행 :

z-변환을 이용한 시스템의 초깃값 및 최종값 - 초깃값 정리 : (9.38) - 최종값 정리 : (9.45) 그리고 단위원 밖에 극점이 존재하지 않은 경우에만 사용할 수 있음

역 z-변환법을 이용한 차분방정식의 해 x(k) 유도방법 - 무한급수 전개법 - 부분분수 전개법 - 역적분(inverse integral)법 (1) 무한급수 전개법 (9.46)  z-k 항의 계수들이 x(k)의 값 예제 9.6 다음과 같은 X(z)에 대한 x(k) 구하기 - X(z)의 분자와 분모를 z-1 의 급수 형태로 변환 :  

(2) 부분분수 전개법 - X(z)를 부분분수로 전개하고 표 9.1의 z-변환표 이용 예제 9.7 다음의 X(z)에 대하여 부분분수 전개법을 이용하여 x(k) 구하기 - 를 부분분수로 전개 : - 표 9.1을 이용하여 역 z-변환 :  

(3) 역적분법 - z-변환식 (9.48) - 양변에 zk-1 을 곱함 (9.49) - 식 (9.49)의 양변을 원(모든 극점을 포함하는 반지름 )을 따라 반시계 방향으로 적분 (9.50) - Cauchy 이론 적용  (9.53) - 역적분법에 의한 x(k) (9.54)

예제 9.8 다음의 X(z)에 대하여 역적분법을 이용하여 x(k)를 구하기 - Cauchy 이론을 적용한 역적분법에 의한 해 x(k)

9.4 펄스 전달함수 - 펄스의 열 u*(t ) : 연속시간 플랜트 G(s)의 입력 - 플랜트 출력 y(t) : (9.55) 9.4 펄스 전달함수 그림 9.10 이산시간 시스템 - 펄스의 열 u*(t ) : 연속시간 플랜트 G(s)의 입력 - 플랜트 출력 y(t) : (9.55) - 플랜트 출력 y(t) 응답 = 각 펄스의 열 u*(t)에 대한 응답의 합(0 ≤ t ≤ kT) (9.56) - 샘플링 순간 t = kT 에서의 출력 y(k) (9.59)

펄스 전달함수 또는 z-전달함수 G(z) - 식 (9.57)을 다음과 같이 표현 할 수 있다. (9.60) 일 때, 이므로 그림 9.11 펄스 전달함수에 대한 블록선도 - 식 (9.57)을 다음과 같이 표현 할 수 있다. (9.60) 일 때, 이므로 (9.61) 여기서 G(z)는 펄스 전달함수 또는 z-전달함수 (9.62)

펄스 전달함수 G(z) 유도 절차 (방법 1) ZOH를 포함하는 시스템의 전달함수 G(s)를 구한다. 인 임펄스 응답함수 g(t)를 구한다. 펄스 전달함수 G(z)를 계산한다. (9.63) 여기서 g(k)는 t = kT 일 때의 임펄스응답함수 g(t)의 값 (방법 2) ZOH를 포함하지 않은 시스템의 전달함수 Gp(s)를 s로 나눈 Gp(s)/s에 대한 역 Laplace 변환함수를 구한다. - 의 z-변환함수에 (1-z-1)를 곱하여 G(z)를 유도한다. (9.64)

다음 그림과 같은 이산시간에 대한 펄스 전달함수 G(z) 구하기 예제 9.9 다음 그림과 같은 이산시간에 대한 펄스 전달함수 G(z) 구하기 그림 9.12 이산시간 시스템 (방법 1) - ZOH를 포함한 플랜트 전달함수  - 샘플링주기 T = 1이므로

- 펄스 전달함수 (9.65) (방법 2) - 역 Laplace 변환함수 를 구한다. (9.66) - 표 9.1을 이용하여 식 (9.66)의 z-변환함수를 구한다. - 샘플링주기 T = 1일 때, G(z)는 식 (9.65)와 동일함

표 9.3 ZOH를 포함하는 연속시간 시스템에 대한 펄스 전달함수 G(z)

폐루프 이산시간 시스템의 펄스 전달함수 T(z) 구하기 그림 9.13 폐루프 이산시간 시스템  (9.71) 그리고  (9.73) 식 (9.73)에 대한 z-변환 (9.74)  (9.75)

샘플링주기 T값에 따른 폐루프 이산시간 시스템과 폐루프 연속시간 시스템의 단위스텝응답 비교 예제 9.10 그림 9.14 폐루프 이산시간 시스템 - 폐루프 시스템의 펄스 전달함수 여기서 

- 샘플링주기 값에 따른 이산시간 시스템의 폐루프 전달함수 - 단위스텝응답( 일 때) 

그림 9.15 그림 9.14에 표시된 폐루프 이산시간 시스템 및 연속시간 시스템의 단위스텝응답 그림 9.15 그림 9.14에 표시된 폐루프 이산시간 시스템 및 연속시간 시스템의 단위스텝응답

표 9.4 폐루프 이산시간 시스템의 샘플링주기 T 값에 따른 과도응답 성능

9.5 이산시간 시스템의 상태공간 모델 - 이산시간 선형 시변 시스템의 상태공간 모델식 (9.76) 9.5 이산시간 시스템의 상태공간 모델 - 이산시간 선형 시변 시스템의 상태공간 모델식 (9.76) 그림 9.16 선형 시변 이산시간 시스템 - 이산시간 선형 시불변 시스템의 상태공간 모델식 (9.77)

9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 - s-평면과 z-평면 사이의 상관관계 9.6 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 - s-평면과 z-평면 사이의 상관관계 연속시간 시스템과 이산시간 시스템의 성능 및 안정도 특성의 상관관계 파악 - 좌반 s-평면  z-평면에서 원점을 중심으로 한 단위원의 내부로의 사상 (9.91) 여기서 (9.93) - 복소변수 z의 크기 및 편각 (9.94) (9.95) (9.96)

그림 9.18 s-평면과 z-평면 사이의 대응관계

s-평면과 z-평면과의 사상관계로부터 알 수 있는 특성 - 안정도 경계는 단위원 이다. - Z = 1 주위의 작은 영역은 근본적으로 주위의 영역과 동일하다. - z-평면 위치는 -평면과 같이 시간에 대한 것이 아니라 샘플링주파수에 대하여 정규화된 응답정보를 준다. - 음의 실수 z 축은 항상 의 주파수를 나타낸다. - 좌반 -평면에 있는 수직선들(일정한 실수부 또는 시정수)은 z-평면의 단위원 내에 있는 원들로 사상된다. -평면에서 수평선들(일정한 허수부 또는 주파수)은 z-평면에서 방사선들로 사상된다. - z-평면에 보다 더 큰 주파수들을 표시할 수 없다.

단순 2차 시스템 에서 극점에 따른 응답특성 - s-평면 극점 (9.97) - z-평면 극점 (9.98) (9.99) 단순 2차 시스템 에서 극점에 따른 응답특성 - s-평면 극점 (9.97) - z-평면 극점 (9.98) 여기서 (9.99) (9.100) - 감쇠비 : (9.102) - 고유주파수 : (9.103) - 시정수 : (9.104)

그림 9.19 -평면에서 실수 및 복소 극점위치에 따른 과도응답 (a) 실수 극점위치에 따른 과도응답 (b) 복소 극점위치에 따른 과도응답 그림 9.19 -평면에서 실수 및 복소 극점위치에 따른 과도응답

그림 9.20 -평면에서 일정한 감쇠비 와 고유주파수 을 나타낸 궤적 (표시 안 된 반쪽은 도시된 부분의 거울상임)

- 개루프 이산시간 시스템 G(z)의 일반형태 이산시간 시스템의 정상상태오차 그림 9.21 폐루프 이산시간 시스템 - 개루프 이산시간 시스템 G(z)의 일반형태 (9.105) - DC 게인 (9.106)

- 시스템 오차 (9.107) - 최종값 정리에 의한 정상상태오차 (9.108) - 단위스텝기준입력에 대한 정상상태오차 (9.109) - N = 0 이면, 즉 에 극점이 존재하지 않는다면 (9.110) 여기서 는 위치오차상수 ≥ - N 1이면, 이므로

- 단위램프기준입력에 대한 정상상태오차 (9.111) - 속도오차상수 (9.112) - 이면, 그리고 - 이면, 그리고 - 이면, 그리고

Routh 안정도 판별법을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 판별법 - z → r 로의 변환식 (9.113) - z-평면에서의 단위원 내부가 좌반 r-평면으로 사상된다.  연속시간 시스템과 동일 방법으로 r 에 관한 다항식에 대해 Routh 안정도 판별법 적용가능 상태공간 모델을 이용한 이산시간 시스템의 안정도 해석 - 이산시간 시스템의 상태방정식 및 제어법칙 (9.114) (9.115) - 폐루프 이산시간 시스템의 상태방정식 (9.116) 여기서 - 이산시간 시스템의 안정도 조건 : (9.117)

Routh 안정도 판별법을 이용한 폐루프 이산시간 시스템의 안정도 해석 예제 9.13 Routh 안정도 판별법을 이용한 폐루프 이산시간 시스템의 안정도 해석 그림 9.22 폐루프 이산시간 시스템 - ZOH를 포함한 플랜트의 펄스 전달함수 - 특성방정식 또는 - 로의 변환식 (9.113) 대입

 z -평면에서 단위원 외부에 두 개의 극점 존재 - Routh 배열 : Routh 배열의 첫 번째 열에 부호 변화 두 번  z -평면에서 단위원 외부에 두 개의 극점 존재 (a) T = 1초일 때 (b) T = 0.207초일 때 그림 9.23 그림 9.22에 표시된 시스템에 대한 근궤적선도

9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화 디지털 제어 알고리즘을 만드는 방법 디지털화 근사법 9.7 연속시간 제어시스템의 디지털화 디지털 제어 알고리즘을 만드는 방법 - 플랜트 모델 이산화  이산적 접근법 이용  직접 디지털 제어기 설계 - 아날로그 제어기  디지털 제어기로 근사화 그림 9.24 연속시간 제어시스템 그림 9.25 디지털 제어의 적용 디지털화 근사법 전향-직사각형(forward-rectangular) 방법 후방-직사각형(backward-rectangular) 방법 Tustin 방법 극점-영점 대응법(MPZ : matched pole-zero method)

(1) 전향-직사각형 방법 또는 u(k)=u(k-1) + [바로 이전 시간구간 T 동안의 e(t) 아래의 적분면적] - 아날로그 제어기 : (9.118) (9.119) 또는 u(k)=u(k-1) + [바로 이전 시간구간 T 동안의 e(t) 아래의 적분면적] (9.120) - 식 (9.120)에서 그림 9.26의 전향-직사각형 면적 이용 (9.121) - 식 (9.121)을 -변환  디지털 제어기 : (9.122) - 식 (9.118)과 식 (9.122)로부터 근사화 식 : (9.123) 그림 9.26 전향-직사각형 적분

- 식 (9.120)에서 그림 9.27의 후향-직사각형의 면적 이용 (2) 후향-직사각형 방법 - 식 (9.120)에서 그림 9.27의 후향-직사각형의 면적 이용 (9.124) - 식 (9.124)를 z-변환  디지털 제어기 (9.125) - 식 (9.118)과 식 (9.125)로부터 s  z 로의 변환식 (9.126) 그림 9.27 후향-직사각형 적분

(3) Tustin 방법 - 식 (9.120)에서 그림 9.28의 사다리꼴 면적 이용 (9.127) - 식 (9.127)을 z-변환  디지털 제어기 (9.128) - 식 (9.118)과 식 (9.128)로부터 s  z 로의 변환식 (9.129) 그림 9.28 사다리꼴 적분

 Tustin 방법과 같이 현재와 과거의 입력 값을 평균화할 수 있다. (4) 극점-영점 대응법 - s-평면에서의 극점 및 영점을 z-평면으로 변환 했을 때 z-평면에서의 극점 및 영점과 일치되도록 하는 방법 - 연속시간 함수 : (9.130) - 식 (9.130)에 대한 Laplace 변환함수 : (9.131) - 식 (9.130)에 대한 z-변환함수 : (9.132) - 식 (9.131)과 식 (9.132)에서 극점이 일치하도록     실제 시스템에서는 D(z)에서 z = -1에 영점, 즉 항을 임의로 첨가하는 것이 유익할 때도 있다.  Tustin 방법과 같이 현재와 과거의 입력 값을 평균화할 수 있다.

극점-영점 대응법에 대한 요약 - 아날로그 제어기 K(s)에서 극점이나 영점을 나타내는 요소를 라고 하면, 디지털 제어기 D(z) 설계를 위하여 s-평면에서의 요소를 z-평면에서 로 대응시킨다. - 디지털 제어기 D(z)에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 작을 때는, 분자에 또는 등의 항을 추가한다. - DC 또는 저주파에서 아날로그 제어기 K(s)와 디지털 제어기 D(z)의 시스템 게인을 일치시킨다.

디지털화 근사법의 비교 결과 표 9.5 디지털 근사화 : 에 대한 그림 9.29 이산 근산화 기법에 따른 주파수응답

연속 상태방정식을 이산 상태방정식으로 변환 예제 9.14 여기서 - 이산 상태방정식의 일반형태 여기서 - Sylvester 전개이론 식 (8.32)를 이용하여 계산  이산 상태방정식 - T = 1일 때 이산 상태방정식

그림 9.32 혼합 제어시스템 및 순수한 이산 등가시스템 9.8 직접 디지털 제어시스템 설계 - 직접 디지털 제어시스템 설계의 첫 단계 : 연속시간 시스템에 대한 펄스 전달함수 유도 - ZOH를 포함하는 플랜트에 대한 펄스 전달함수 : (9.159) (a) 혼합 제어시스템 (대체) (b) 순수한 이산 등가시스템 그림 9.32 혼합 제어시스템 및 순수한 이산 등가시스템 - 이산시간 시스템에 대한 해석 및 설계방법 : 연속시간 시스템의 경우와 매우 유사, 동일한 법칙들이 적용 가능

직접 디지털 제어시스템 설계절차 - 플랜트 전달함수 (9.162) - 플랜트의 펄스 전달함수 (9.163) 여기서 비례 제어기를 사용하는 경우, 즉 D(z) = K 일 때 K 값에 따른 근궤적 그림 9.33 z -평면에서의 근궤적

비례-적분-미분(PID) 디지털 제어기의 제어법칙 - 비례제어 : (9.164) 또는 (9.165) - 적분제어 : (9.166) 또는 (9.167) - 미분제어 : (9.168) 또는 (9.169)

플랜트 에 대한 직접 디지털 제어기 설계 예 - 식 (9.159)를 이용한 펄스 전달함수 : (9.170) 플랜트 에 대한 직접 디지털 제어기 설계 예 - 식 (9.159)를 이용한 펄스 전달함수 : (9.170) - 샘플링주기 T = 1이면 (9.171) - 비례 제어기를 사용하는 경우, 폐루프 시스템 불안정 그림 9.33 z -평면에서의 근궤적

- 불안정 시스템  안정한 시스템 : 미분제어기 첨가 - 불안정 시스템  안정한 시스템 : 미분제어기 첨가 (9.172) - 바람직한 성능을 위한 제어기 설계 파라미터 a와 K 값 선정 , 대표극점 그림 9.35 비례-미분 제어로 보상된 플랜트 에 대한 z-평면에서의 근궤적 - a = 4이고 K = 0.08일 때, PD 디지털 제어기 : (9.174) - 최종 제어법칙 : (9.175)

간접 설계방법과 직접 설계방법의 비교 - 제어법칙 (9.175)는 간접 설계방법 (9.145)에 포함된 항이 존재하지 않음 - 제어법칙 (9.175)는 간접 설계방법 (9.145)에 포함된 항이 존재하지 않음 - 항이 존재하는 이유 : 잡음감소 및 순수 아날로그 미분 제어기 구성의 어려움 때문 항을 제외한 식 (9.145)와 식 (9.175)가 유사함 : 샘플링주파수 가 고유주파수 에 비하여 매우 크기 때문( ) - 직접 설계 : 실제 시스템 응답이 z-평면에서의 극점 위치들에 의해 결정됨 - 간접 설계 : 샘플링주파수가 작아지면 s-평면에서 불안정한 극점들이 존재하게 됨 - 일반적으로 샘플링주파수 일 때, 직접 설계하는 것이 바람직함 - 샘플링이 느린 연속설계 : 이산 해석 또는 시뮬레이션으로 확인해야 함

  9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어 MATLAB 명령어: [numz, denz] = c2dm(num, den, tz, 'method') 여기서 tz는 샘플링주기, 'method'는 MATLAB에서 제공하는 이산화 방법 중의 하나, 이산화 방법은 'zoh', 'foh', 'matched', 'tustin', 'prewarp' 등 5 가지가 있다.

9.9 MATLAB을 이용한 디지털 제어 - 연속 상태공간 모델식을 이산 상태공간 모델식으로 변환하기 ⇒   - 연속 상태공간 모델식을 이산 상태공간 모델식으로 변환하는 MATLAB 명령어 : [Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dm(A, B, C, D, tz, 'method') - 만일 입력변수에 순수 시간지연 요소가 'lambda'만큼 존재하면, 이 경우에는 명령어 'c2dt'를 사용한다. [Ad, Bd, Cd, Dd] = c2dt(A, B, C, P, tz, lambda)

그림 9.37 G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 선도 연속시간 시스템 G(s) = 10/(s2+7s+10)에 대한 펄스 전달함수 G(z)를 구하고 G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 비교 예제 9.18 MATLAB 프로그램 9.4 그림 9.37 G(s)와 G(z)의 단위스텝응답 선도