제 3 장 전단 학습목표 본 장에서는 절단기로 물체를 절단할 때와 같이 접선방향으로 작용하는 제 3 장 전단 학습목표 본 장에서는 절단기로 물체를 절단할 때와 같이 접선방향으로 작용하는 전단응력(Shearing stress)에 대해 알아보고 이때 일어나는 열 응력과 크리프(creep)를 알고 힘의 평형과 부정정 문제를 풀어본다.

3-1 전단응력과 전단변형률 전단응력(shearing stress, τ) 단순전단(simple shear) 3-1 전단응력과 전단변형률 전단응력(shearing stress, τ) : 수평으로 전단하려는 전단력(shearing stress) P가 작용하여 리벳의 단면 ab에 발생하는 응력 (3-1) 단순전단(simple shear) : 전단응력이 리벳을 직접 절단시키도록 된 경우 그림3-1 리벳의 전단

이중전단(double shear) : 전단은 평면 A를 아래위로 감싸는 순수전단(pure shear)상태 P=2F (3-2) 그림 3-2 U형 링크된 볼트의 이중전단 상태 순수전단(pure shear)상태 : 오직 전단응력의 영향을 받는상태. 전단응력에 의해 그림(a)의 정사각형은 그림(b)와 같이 마름모꼴로 변형된다. 이때, 상대적 변형량 δ는 다음 식과 같다. 그림 3-3 리벳의 전단면의 확대

전단변형률(shearing strain, ) : 전단을 받을 때도 인장(압축)때와 같이 후크 법칙이 성립하며, 식(3-3)로 표현된다. 는 단위길이에 대한 변화량(미끄럼량) 이므로 변화율이 된다. (3-3) 전단탄성계수 (shear modulus, G) : 횡탄성계수 또는 강성율(modulus of rigidity)이라 하며, 재료의 탄성적 성질을 나타내는 중요한 정수. Ex) 구조용강의 탄성계수 (미터계단위) (SI단위)

일반적으로, 재료의 요소에 작용하는 전단응력은 서로 직각을 이루는 면에서 그 크기가 같고 방향이 반대인 쪽으로 발생한다. 그림 3-4 에서 τ1의 작용면에 수직인 면(BCGF)(ADHE)에도 τ2가 존재하여 τ2dy∙dz의 전단력이 생기고 , 이는 [(τ2∙dy∙dz)∙dx]의 짝힘이 되어 식(3-4)처럼 서로 평형을 유지해야 한다. (3-4) 즉, 한 면에 τ가 있으면 이와 직각인 면에는 반드시 크기가 같고 작용방향이 반대인 τ가 존재한다. 그림 3-4 짝힘으로 작용하는 전단응력

[예제 3-1] 펀치를 사용해서, 두께 4mm의 연강판(軟鋼板)에 지름 15mm의 구멍을 내고 싶다. 필요한 하중 P 및 펀치에 작용하는 평균압축응력 σ를 구하라. 단, 연강의 전단강도 τ = 220MPa이다. 풀이 판의 두께 t, 원공의 지름 d라면 하중 P는 다음 식으로 된다. SI 단위로 고쳐 쓰면 윗 식에 대입하면 하중 P는 다음과 같이 된다. 그림 1

평균압축응력 σ는 다음과 같다.

[예제 3-2] 그림 2처럼 네 개의 볼트에 의해 플렌지 이음을 한 두 개의 축에 비틀림 모멘트 To = 10kN∙m가 전달되고 있다. 볼트 중심거리d=150mm이면, 볼트(db = 20mm)에 걸리는 평균전단응력 τ는 얼마인가? FBD 그림 2 풀이 볼트 한 개에 걸리는 힘을 P, 볼트의 단면적을 A라 하면 (볼트 한 개에 대한 것) (볼트 네 개에 대한 것)

그림에서 x위치의 단면이 받는 힘 = 외력 P + x부분의 무게 Wx 3-2 자중, 열응력 및 크리프 자중(dead weight) 부재가 길던가 부피가 클 때는 재료의 자중을 고려. 그림에서 x위치의 단면이 받는 힘 = 외력 P + x부분의 무게 Wx 그림3-5의 단면의 응력(W : 전체무게) σx는 식(3-5)과 같다. (3-5) Ax : 단면적, 단면이 길이에 따라 불균일 할 때  : 재료의 비중량 c.f) 전단변형률( ) 그림 3-5 자중을 고려할 때 테이퍼진 봉의 FBD

그림 3-5 에서 dx부분의 신량dδ는 후크 법칙에 의해 식 (3-6)로 된다. x위치의 요소 dx부분의 변형량을 계산하여 전길이에 걸쳐 합하면 전체처짐이 된다. 단면이 균일할 때 안전단면적

열응력(thermal stress) : 자유단이 구속되어있는 물체가 열을 받거나 잃을 때 물체 내부에 생기는 : 자유단이 구속되어있는 물체가 열을 받거나 잃을 때 물체 내부에 생기는 압축 또는 인장응력. 그림 3-6에서 보의 열팽창계수를 α라 하고, 보가 자유팽창했다면 보의 길이 l가 l′로 된다. 팽창량은 실제로 구속되어 있어 팽창할 수 없으므로 그림처럼 압축력 P로 δP만큼 압축한 것과 같다. 그림 3-6 열응력 상태

부재는 평형을 유지해야 하므로 전체변형은 식(3-7)처럼 된다. 여기서 σ가 열응력이며, 이 경우 압축응력이 된다. 이 때 압축 열변형률(thermal strain)은 식 (3-8)과 같다. (3-8) 만일, 반대로 온도가 강하한다면 인장 열변형률이 생긴다.

크리프(creep) : 응력이 일정할 때 시간이 경과함에 따라 변형률이 점점 증가하는 현상 그림 3-7은 응력과 온도에 좌우되는 크리프 곡선을 나타냄. 파괴되기 전 그림 (b)는 세 부분 으로 나뉨. 그림 3-7 크리프 곡선 OA는 초기 변형률(순간 변형률), AB (Ⅰ기)는 천이 크리프, BC (Ⅱ기)는 정상 크리프, CD (Ⅲ기)는 가속 크리프 크리프 한도(creep limit) : 특정시간 후에 크리프 속도가 되는 응력 응력이완(stress relaxation) : 변형률이 일정하게 하중을 주었을 때 시간이 경과함에 따라 응력이 감소되는 현상

[예제 3-4] 그림 4와 같이 양단이 고정되고 지름이 d1, d2인 강봉이 t0에서 t1으로 온도가 상승했을 때, l1부분 및 l2부분의 열응력을 구하라. 단 t0=20℃, t1=100℃, l1= 100cm, l2= 200cm, d1= 30cm, d2= 20cm, α = 1.1×10-5/℃, E= 2.1×106 kgf/cm2이다. FBD 그림 4 풀이 봉은 온도 상승 때문에 생기는 신량과 양단의 구속 때문에 생기는 P로 인해 축 변형량은 같으므로 (a)에서 평형방정식을 적용시킨다.

따라서, 열응력 σ = P/A이므로 수치를 대입시킨다. (압축)

3-3 경사면의 응력 그림 3-8 (a)에서 축력으로 수직인 단면에 생기는 응력은 σx = P/A. 3-3 경사면의 응력 그림 3-8 (a)에서 축력으로 수직인 단면에 생기는 응력은 σx = P/A. 임의 경사면(m-m면)의 면적은 그림 (b)의 FBD와 같은 A/cos이고 이 면의 응력 S는 P방향에서 식 (3-9)와 같다. (3-9) 응력S를 그림 (c)와 같이 경사면에 수직인 σn과 접하는 면의 로 분해하면 식(3-10)로 된다. (3-10) 그림 3-8 경사면의 응력분석 (1)

(x축 방향, =0) (3-11) (x축과 45방향, =45) 위의 응력 S는 면에 수직인 수직응력(인장 또는 압축) σn과 면에 접하여 생기는 접선응력(tangential stress) 또는 전단응력(shearing stress) 로 분해하여 취급한다. 식 (3-10)에서 대신 90회전된 ′즉, (/2+ )를 대입하면 식 (3-12)가 된다. (3-12) 여기서, 식 (3-10)과 식 (3-12)를 합하여 비교하면 식 (3-13)을 얻는다. (3-13)

그림 (d)에서 mm단면과 나란히 있는 m′m′면, m″m″면에서도 같은 같은 응력상태가 되어야 평형상태가 될 것이다. 그림(e)에서 mm면을 포함하는 작은 6면체를 생각하면 mm면에는 σn, , m′-m′면에서 σn′, ′가 있고 서로 대면 하는 면은 같은 응력상태가 되며, 이 응력들은 에 따라 값이 달라진다. 그림 3-8 경사면의 응력분석 (2)

정역학적 평형방정식의 수 < 미지반력의 수 3-4 힘의 평형과 부정정 문제 부정정 문제(problem of statically indeterminate) 정역학적 평형방정식의 수 < 미지반력의 수 [예제 3-6] 양단고정된 그림 6의 봉이 중간 mn단면에 하중 P를 가할 때 mn단면의 변위량을 구하라. 그림 6 부정정 문제

풀이 (1) (2) 양단에서 하중 P에 의해 반력 R1 , R2가 생기므로 그림 (a)와 같이 FBD를 작성한다. 이 그림에서 ∑Px=0의 평형방정식을 적용시킨다. (1) 식(1)에는 미지수가 두 개이므로 조건식이 하나 더 있어야 한다. 그러나 나머지 평형방정식은 적용 불가능. 따라서 P로 인한 변형 후의 모양은 mn단면이 그림 (b) 처럼 δ만큼 P방향으로 늘어날 것이므로 길이 a부분은 δ만큼 늘어나고, 길이 b부분은 그림 (c)처럼 δ만큼 축소 되므로 식(2)과 같이 후크 법칙을 적용시킨다. 부정정문제 FBD (2) 식 (1), (2)에서 반력R! , R2를 식 (3)처럼 구한다.

이와 같이 부정정 문제에서는 평형방정식의 수보다 많은 미지반력을 과잉반력(redundant reaction)이라 한다. (3) 따라서 탄성변형량 δ는 식 (2)에서 구한다. (4) 이와 같이 부정정 문제에서는 평형방정식의 수보다 많은 미지반력을 과잉반력(redundant reaction)이라 한다. 별해 예제에서 R2를 과잉반력으로 두면 그림 (d)처럼 탄성한계 내에 있으므로 중첩원리를 이용할 수 있다. 즉, 그림 (e)에서 P에 의해 늘어난 길이는 식 (5) 으로 된다. (5)

[예제 3-8] 그림 8에서 봉 1과 봉 2의 단면적 A, 탄성계수 E일 때 각 봉에서 생기는 반력 R1과 R2를 구하라. 또, 점 C의 수직변위를 구하라. 단, 보 BD는 강체. (정정문제의 예제임) 그림 8 풀이 그림 (a)처럼 FBD를 작성한다. 여기서 봉 1, 봉 2의 힘을 R1, R2라 하면 평형방정식을 적용한다. 그러면 두 미지수를 구할 수 있으므로 정정문제 이다. (1)

(2) 또한, R1, R2는 구했지만, δc는 그림 (b)와 같은 탄성변형에서 구할 수 있다. (3) 여기서 δ1, δ2는 후크 법칙에서 구하여 위 식에 대입한다. (4)

3-5 응력집중계수 응력집중(stress concentration)현상 3-5 응력집중계수 응력집중(stress concentration)현상 : 힘을 받는 부재중, 단면의 형상이 변하는 부분은 단면의 변화가 없는 부분에 비해 상당히 큰 응력이 발생하는 현상. 노치(notch) : 기계 및 구조물에서 구조상 부득이 홈, 구멍, 나사, 돌기, 자국 등 단면의 치수와 형상이 급격히 변화하는 부분 그림 3-10 노치부의 응력집중 현상

응력집중계수(stress concentration factor, Kt) : 최대응력 σmax 와 공칭응력 σ와의 비. 형상계수(form factor) 하며 식 (3-14)로 표현된다. (3-14) 응력집중과 하중과의 관계 정하중을 받는 경우 연성재료에서는 크게 문제되지 않으나, 취성재료에서는 영향이 크다. 반복하중을 받는 경우 노치에 의한 응력집중 피로현상 피로균열 발생, 성장 불의의 파괴

[예제 3-9] 그림 9와 같은 강철로 된 두께 t = 2cm의 판이 힘 P를 받고 은 무시한다. 또 구멍과 필릿 부분의 응력집중계수 Kt는 3과 2.5이다. 그림 9 풀이 구멍이 있는 부재와 없는 부재로 나누어서 δ를 구하여 합한다. ( 구멍이 있는 단면의 응력 ) (필릿부의 응력) ※ 최대응력은 구멍이 있는 단면에서 생기며 σmax = 2,100kgf/cm2 이다.

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