군론 (Group theory) 군의 예 군의 정의 군의 응용 유한 단순군의 분류 http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html

군의 예 대칭군 Fp={ 0, 1, 2, …, p-1} http://mathworld.wolfram.com/ CyclicGroup.html 치환군 {1,2,…,n}에서 자신으로 가는 1대1사상의 모음 가우스, 갈로와가 시작했다고 생각할수 있다.

이등변 삼각형 대칭군 I, r I*r = r, r*r = 1 * I r

삼각형의 대칭군(Symmetry) I 항등변환 V 120도 회전 W 240도 회전 X X I 항등변환 V 120도 회전 W 240도 회전 {I, X, Y, Z, V, W} 는 삼각형의 모든 대칭이다. Y Z

연산표 * I V W X Y Z

군(group)의 정의 X 집합, *:X x X  X 연산 G1: 모든 원소 x,y,z에 대해서 (x*y)*z = x*(y*z) G2: 원소 e가 존재해서 x*e = x = e*x G3: 각원소 x에 대해서 y가 존재해서 x*y = y*x = e

군의 종류 가환군 (Abelian group): 항상 a*b = b*a 유한군: 원소가 유한개 무한군: 원소가 무한개 Homomorphism: 연산을 보존하는 사상 f(a*b) = f(a)* f(b) Isomorphism: 전단사인 homomorphism

대칭군을 만드는 방법 (1) 모든 대칭을 찾는다. (2) 대칭들의 모든 곱을 구한다.

20면체 군 힌트: 대칭은 어떤 선을 중심으로 한다. 오른쪽에서 각 삼각면에 중심에서 반대면의 중심으로 가는 선에 대한 120도 240도 회전은 대칭이다. 이것이 20개 이고 30개의 선분에 대한 대칭이 15개이고 12개의 꼭지점에대한 대칭이 24개이다. 따라서 총 60개의 대칭이 있다. http://mathworld.wolfram.com/IcosahedralGroup.html

20면체군의 연산표를 색갈로 표시

치환군 (삼원소) {a, b, c} 자신으로 가는 1 대1 대응들 (6개) p=I q=(23) r=(1,2) s= (3,2,1) t= (1,2,3) u= (1,3) a b c

연산표 * p q r s t u

Isomorphism 동형사상 p  I, q  x, r  z, s v, t  w, u  y 는 삼원소 치환군  삼각형군으로의 isomorphism F6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}를 순환군이라고 하자. 3원소 치환군과 F6 는 동형이아니다. f(0) = I, f(1)=w, f(2)= v, f(3)= x, f(4)=y, f(5)=z라 하면 f(1+2)= f(3)= x, f(1)*f(2) = wv = I 즉 f는 동형사상이 아니다. 알려면 6! = 720개를 다해봐야 한다. 그러나 3원소 치환군은 가환이 아니다.

군의 추상화 일단 군이 만들어지면 군은 원소와 연산으로만 기역되는 것을 추상군이라고 한다. 추상군은 동형인 군들을 모아 놓은 것으로 이해할수 있다.

부분군 연산에 대해서 닫힌 부분집합 {I, v, w, x, y, z} H={x, y, z}, xy = v 즉 닫혀 있지않다. H는 부붑군이 아니다. 부분군들 {I, w, v}, {I, x}, {I, y}, {I, z}, {I} 뿐이다.

무한군 무한군은 군의 원소가 무한히 많은 군이다.

군의 더많은 예 http://mathworld.wolfram.com/DihedralGroup.html http://mathworld.wolfram.com/GeneralLinearGroup.html http://mathworld.wolfram.com/SpecialLinearGroup.html Chevalley 군 http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLinearGroup.html http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLinearGroup.html http://mathworld.wolfram.com/ProjectiveSpecialLinearGroup.html

단순군 군은 많은 경우 축소 될 수 있다. F: G  H 전사인 연산을 보존하는 사상이 있다. 이러한 H가 G또는 원소가 1개인 trivial군이 밖에 없는 경우 H를 단순군이라한다. Icosaheral 군은 단순군이고 60개의 원소를 가지고 있다. A5 과 동치이다.

단순군의 예 Zp 정수를 원소로 가지는 행렬식이 1인 2x2 행렬 PSL(n, Z) 여기에서 정수 Z를 Zp로 바꾸면 PSL(n, q) = PSL(n, Zp ) 다른 고전군류 An : n 은 5와 같거나 이상이고 sign을 보존하는 치환들이 만드는 치환군의 부분군이다.

단순군의 분류 http://mathworld.wolfram.com/SimpleGroup.html 1. Cyclic groups of prime group order, 2. Alternating groups of degree at least five, 3. Lie-type Chevalley groups, 4. Lie-type twisted Chevalley groups or the Tits group, and 5. The sporadic groups (Monster group). http://mathworld.wolfram.com/SporadicGroup.html http://www.ams.org/notices/199502/solomon.pdf http://www.ams.org/online_bks/surv40-1/

토의 사항 단순군의 분류에는 많은 수학자들이 많은 시간과 노력을 들인 20세기 수학의 걸작 물이다. 이러한 노력의 필요했던 것일까? 이외에도 Cartan 등은 연속적인 리군의 분류를 했다. 결과적으로 이론물리학의 소립자는 리군의 분류로 이해할수 있었다.