혼돈 (케오스) 프렉탈(Fractals) 새로운 차원 역학체계(dynamical systems) 줄리아집합, 만델브로 집합 일반적인 역학 (나비효과)
프렉탈 (Fractal) An object or quantity which displays self-similarity, in a somewhat technical sense, on all scales. The object need not exhibit exactly the same structure at all scales, but the same "type" of structures must appear on all scales.
Fractals
Von Koch 곡선(1904) 한변의 길이가 3이라면 3x(4/3)=4가 된다. 3x(4/3)x(4/3)x… 무한대로간다. 넓이 A0=9(√3)/4, A1= A0*3/4, …. 1.6A0 수열계산 즉 넓이는 유한하나 경계는 무한하게 길다.
새로운차원 D차원 도형을 1/N로 균등하게 나누고 r = N1/D 은 얼마나 곱해야지 원래가 나오는지에 대한 계산이다. Von Koch 곡선의 경우에는 3 = 41/D 이다. D= log4/log3 = 1.2618….
Hausdorff 차원 Informally, self-similar objects with parameters N and s are described by a power law such as where is the "dimension" of the scaling law, known as the Hausdorff dimension. Formally, let A be a subset of a metric space X. Then the Hausdorff dimension D(A) of A is the infimum of such that the d-dimensional Hausdorff measure of A is 0 (which need not be an integer).
Sierpinsky 집합
역학체계(Dynamical System) x n x n+1 = f(x n) x n+1 x n x n+1 = (1+r)x n x n+1 해: xn = (1+r)n x0 Verhulst x n+1 = (1+r- cx n)x n c = r/X x n이 X인 경우 증가율은 0이므로 정지된다. (r이 2보다 작은 경우)
Feigenbaum number 4.669211660910299067185320382047... r이 2보다 큰경우 많은 응용 이 있다. 유체역학, 물리학, 화학반응 규칙적인 반복점들 이생긴다. r=2.1: 0.82, 1.3 r=2.5: 0.54, 1.16, 0.70, 1.13 r=2.57.., 혼란이 생긴다. r=3, 혼란의 한띠 이런 것들이 반복된다.
References http://www.stud.ntnu.no/~berland/math/feigenbaum/ http://www.rockefeller.edu/labheads/feigenbaum/feigenbaum-lab.html http://mcasco.com/bifurcat.html http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html
줄리아 집합과 만델브로 집합 Benoit Mandelbrot 복소 평면위에서 f(x) = x2 + c의 역학을 연구, c 는 복소수 c= 0인경우 반지름 1인 원이 보존되고 모든점이 0또는 무한대로 가는 것을 알수 있다. 견인자는 여러 개 일수 있으며 반복하는 견인자도 많이 있다.
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/julia/explorer.html
일반적인 (비선형)역학 Poincare return map
billiard
나비효과(Butterfly effect) 1961 Lorenz http://www.pha.jhu.edu/~ldb/seminar/butterfly.html http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Lorenz.html http://www.duke.edu/~mjd/chaos/chaos.html
토의사항 줄리아 집합의 혼돈의 의미는 무엇인가? 주가는 혼돈으로 생각되고 있다. 근거는 무엇일까? 주가처럼 혼돈으로 이해될수 있는 현상들은 무엇인가? 과학에서일어나는 혼돈현상들은 어떤것들이 있는가? 어떤 현상이 혼돈이라고 해서 도움되는 것은 무엇인가?