Chapter 3 Frequency Domain Analysis

Introduction 전자공학과 신호처리 포함한 많은 응용과학 및 공학에 응용 푸리에 분석 신호와 시스템의 주파수 영역 분석 푸리에 급수 : 연속 시간 주기 신호 대상 푸리에 변환 : 연속 시간 비주기 신호 대상 이산 푸리에 변환 고속 푸리에 변환

Introduction 푸리에 분석의 중요성 (주파수 분석의 중요성) 사인파와 지수곡선 신호는 자주 사용되며, 사인파나 지수 신호를 포함하지 않은 신호이더라도 그 주파수 성분을 통하여 분석이 가능 선형 시불변 시스템의 주파수 응답은 오직 입력 신호의 위상 크기만을 바꿀 수 있으며 주파수를 바꿀 수는 없고, 출력 신호는 중첩에 의해 구함 선형 시불변 시스템에 있어서 출력 신호의 스펙트럼은 입력신호의 스펙트럼과 시스템의 주파수 특성의 곱으로 나타나며, 일반적으로 시간 영역에서 컨벌루션을 계산하는 것보다 계산과 표현이 간단 디지털 신호처리 알고리즘과 시스템의 설계는 주파수 영역에서의 특성을 정의하는 것부터 시작하는 경우가 많음

이산 푸리에 급수 주기 디지털 신호 대상 분석식 : k번째 스펙트럼 성분 또는 고조파 N : 한 주기 당 샘플 수 합성식 의 실수부와 허수부, 크기 및 위상

이산 푸리에 급수 예 80쪽 표 x[n]이 실수 함수일 때 계수들의 대칭성 실수부 : 대칭  허수부 : 비대칭  실수부 : 대칭  허수부 : 비대칭  : 0 주파수  허수부 = 0 80쪽 표

예제 3.1 주기 디지털 신호 : 분석식 : 그림 3.2

예제 3.1 Sine, Cosine 성분이 스펙트럼에 영향을 미친다 크기 : 위상 : - 우함수 (x[-n] = x[n])이면 는 모두 n=0에 대해 대칭이며 모두 실수 - 기함수 (x[-n] = -x[n])이면 는 모두 n=0에 대해 비대칭이며 모두 허수 크기 : 위상 :

이산 푸리에 급수 예 : x[n]은 64개의 샘플마다 한번씩 반복 (fundamental + 4 + 8 + 16번째 고조파 성분) Cosine Sine

이산 푸리에 급수 불연속점을 갖는 주기 신호의 스펙트럼 스펙트럼의 퍼짐 여러 주파수 성분간의 위상 관계 식별 어려움 그림 3.4 2.5주기 : 불연속점이 존재 K=2 혹은 k=3 근처에 에너지가 집중됨을 예측

이산 푸리에 급수 주기적 임펄스 열(impulse train)의 스펙트럼 모든 주파수 성분 포함 시스템 성능 분석에 이용 그림 3.5 Why do we use impulse response ? Why zero phase spectrum ?

이산 푸리에 급수 신호의 시간 이동은 주파수 영역에서의 위상 변화에 대응 선형 위상 특성 스펙트럼 위상함수의 기울기는 시간지연에 비례하여 선형적으로 변화 그림 3.6 스펙트럼의 위상이 인접 주파수마다 만큼 변화함

파스발의 정리 신호의 전력 또는 에너지는 시간 영역에서나 주파수 영역에서나 동일 예: 예제 3.1의 신호 주파수 평면에서의 에너지는 위상정보와는 무관 (위상변화는 신호의 전력이나 에너지 값에 영향을 미치지 않음)

이산 푸리에 급수의 특성 n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 선형성 : 만일 이면, 선형성 : 만일 이면, 시간 이동 특성 : 만일 이면, 예 : 한주기 이동, 위상만 변하고 크기는 불변 이산 푸리에 급수와 관련된 신호의 시간 이동특성 순환적 또는 주기적 특성을 띰 : 주기 = N 샘플만큼 이동한 것은 샘플만큼 이동한 것과 동일 모듈로 함수를 이용한 모듈로 연산 n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 모듈로-2 = (n)2 = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 … n 모듈로-4 = (n)4 = 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 ...

이산 푸리에 급수의 특성 미분 특성 : 만일 이면, 적분 특성 : 만일 이면, 미분 특성 : 만일 이면, 적분 특성 : 만일 이면, 순환 또는 주기 컨벌루션 (한 주기 동안의 컨벌루션) 만일 이면, 시간 영역에서의 컨벌루션은 주파수 영역에서 곱셈이 된다 변조 특성 : 만일 및 이면, 시간영역에서의 곱셈은 주파수영역에서의 컨벌루션

비주기 디지털 신호의 푸리에 변환 신호의 주기 확장 (비주기 신호를 만들기 위한 과정) 예) 주기 N을 5에서 12로 만들기 위하여 사이에 0을 삽입 그림 3.7 : 1/N 요소 때문에 는 감소하고 주파수 성분들은 점점 가까이 모임 N 이 무한대로 커질 때 :

비주기 디지털 신호의 푸리에 변환 : 는 무한히 작아지나 는 유한한 값을 갖는다 비주기 신호 x[n]의 푸리에 변환 : 는 무한히 작아지나 는 유한한 값을 갖는다 비주기 신호 x[n]의 푸리에 변환 푸리에 역변환 (연속적인 주파수 변수) : 기본 주파수 (1차 고조파)

이산 시간 푸리에 변환쌍 분석식 합성식 디지털 스펙트럼은 언제나 반복한다 : 주기 =

비주기 디지털 신호의 푸리에 변환 푸리에 변환 if k = 0, if k = 1, 2, 3, …

예제 3.2 푸리에 변환 예 : (a) x[n] = 0.2{[n-2]+[n-1]+[n]+[n+1]+[n+2]} (b) x[n] = 0.5 [n] + 0.25[n-1] + 1.25 [n-2] + …

예제 3.2 풀이 (a) : 주파수 밀도 함수

예제 3.2 풀이 (b)

단위 임펄스의 푸리에 변환 N=0에서 정의된 독립된 임펄스 지연된 단위 임펄스 백색 스펙트럼 그림 3.9

이산 푸리에 급수 : 특성 표 3.1

이산 시간 푸리에 변환 : 특성 표 3.2 위

이산 시간 푸리에 변환 : 변환쌍 표 3.2 아래

LTI 프로세서의 주파수 응답 주파수 응답 : 극좌표 형태 그림 3.10

LTI 프로세서의 주파수 응답 주파수 응답 예1 : 그림 2.11의 5점 이동평균 필터 그림 3.8(a)의 스펙트럼과 동일 저대역 통과 특성 실수부만 존재하므로 위상이 0인 특성을 갖는다

LTI 프로세서의 주파수 응답 주파수 응답 예2 : 2장의 순환 필터 그림 3.8(b)의 스펙트럼과 동일 순환 프로세서이며 따라서 비선형 위상 특성을 갖는다.

LTI 프로세서의 주파수 응답 선형 시불변 시스템의 주파수 응답 : 이산 방정식으로부터 구함 i) ak=0, except k=0  a0y(n) ii) ak=0, 모두가 0이 아닌 경우

예제 3.3 고역필터 주파수 응답, 크기, 위상, 필터의 이득

예제 3.3 이라면

대역 필터의 주파수 응답 그림 3.12

대역 저지 필터의 주파수 응답 그림 3.13