이론적 확률분포 앞서: 확률변수의 임의의 확률분포 수학의 이론으로부터 도출될 확률분포 이항분포, Poisson 분포, 정규분포 분포, t 분포, F 분포 표본분포

1. 이항분포(binomial distribution) 베르누이(이항) 시행 : 결과가 두 가지뿐인 시행 한 결과의 확률 : p 다른 결과의 확률 = 1-p ; 베르누이 분포 베르누이 시행을 독립적으로 n번 반복 ; 이항분포 그리고 확률변수 X가 이항분포를 이루고 있을 때 로 표기한다.

이항분포의 예 동전을 12번 던져 앞면이 5번 나올 확률은 ? Excel을 이용한 계산 예 =binomdist(5,12,0/5,false) If true=> 누적확률분포

표를 이용한 확률계산 n x 0.05 0.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.50 12 5 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.1934

이항분포의 예 재벌 구조조정에 대한 한 신문사의 여론조사 결과 우리 국민들 중 80%는 강도 있는 재벌 구조조정을 찬성하고 20%는 반대하는 것으로 나타났다고 하자. 임의로 5명이 선택되었을 때 3명이 반대할 확률은 ? 5명 중 3명 이상이 반대할 확률은 ?

이항분포의 기대값과 분산 일 때

일 때, 이미 보였음.

2. 포아송(Poisson) 분포 3,000명 중에서 18명이 야구장에 갈 확률은 ? (단 어느 사람이 야구장에 갈 확률=0.005) By excel 다른 방법은 없는가 ? 일 때, 확률을 계산하는데 이항분포를 이용해도 되나 포아송 분포를 이용해서 계산하더라도 문제가 없다.

라고 하자 As 1 1 Note:

In general,

이면 ; 포아송 분포 만약 확률변수 X가 포아송 분포를 이루고 있다면

앞서 야구장의 예 : Excel : poisson(18,15,false)

포아송 분포는 n이 크고, 성공할 사건의 확률이 매우 작은 경우 특히 n이나 p에 대한 정보는 알려져 있지 않고 평균값이 주어진 경우 확률을 계산할 때 포아송 분포를 이용하면 쉽게 계산할 수 있다.

포아송 분포 확률계산의 예 자동차 보험회사에서 조사한 결과에 의하면 한 보험 가입자 1인당 평균 사고 수는 0.25건인 것으로 나타났다. 임의로 추출한 보험 가입자가 내년에 2회의 사고를 당할 확률은 ?

어느 휴게실에 일정 시간대에 평균 9대의 트럭이 도착한다. 이를 토대로 휴게실에 12대의 트럭 주차장을 만들었다. 포아송 분포 확률계산의 예 어느 휴게실에 일정 시간대에 평균 9대의 트럭이 도착한다. 이를 토대로 휴게실에 12대의 트럭 주차장을 만들었다. 트럭이 13대 이상이 이 휴게실에 도착할 확률은 ?   주차장이 부족할 확률은 12.42%라고 할 수 있다. 12 13 14 15 16 17 도착 트럭 수 부족할 확률(%) 12.42 7.39 4.15 2.20 1.11 0.53

포아송 분포 확률계산의 예 어떤 은행지점에서 대출액이 50억 원 이상인 경우가 매달 평균 4건이라고 하자 어느 달에 50억 원 이상 대출이 일어날 건수가 2건 이하일 확률은 ? Excel을 이용할 경우 : poisson(2, 4, true)=0.2381 표를 이용할 경우 :

교재 m x 3.1 . . . . . . 4.0 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 1 2 3

3. 정규분포(normal distribution) 확률변수 X가 다음의 확률밀도함수를 가지면 X는 정규분포를 이루고 있다고 한다. 그리고 정규분포를 이루고 있는 확률변수 X

를 중심으로 좌우가 대칭이다. 종모양을 갖는다 와 에 대한 정보만이 필요

표준정규분포(standard normal distribution) 확률변수 Z가 평균=0, 분산=1인 정규분포라면 Z는 표준정규분포를 이루고 있다고 한다.

앞서 확률변수의 표준화에 대해 공부했다. 확률변수 X의 평균이 이고, 분산이 : 단위에 영향을 받지 않음 표준화 : 따라서 확률변수 X가 정규분포를 이루고 있을 때, 새로운 확률변수 Z를 위와 같이 표준정규분포를 이루는 확률변수로 전환시킬 수 있다.

a X X a Z Z

통계학 시험 성적 : 성적이 90점 이상일 확률 ? 답 : 0.0228 (2) 82점 이상일 확률은 ? 답 : 0.5413 (3) 82점 이상 90점 이하일 확률은 ? 답 : 0.1259

(1) (2) (3)

68.26% 95.46% 99.74%

참고 : log-normal distribution 금융상품가격(예를 들어, 주식 등)들은 일반적으로 Log-normal distribution을 따르는 것으로 알려졌다 Log- normal distribution의 장점 음의 값을 배제할 수 있다.

정규분포 확률계산의 예 P[-1.96 < X < 2.58]=0.9701 (2) P[X > 1.96]=0.0250 (3) P[X < -2.58]=0.0049 (4) P[-x1 < X < x1]=0.95 Z값 이용하여 확률계산 x1=1.96 확률을 이용하여 Z값 계산 (5) P[-x2 < X < x2]=0.90 x2=1.645

확률계산의 예: 어느 회사의 건전지 수명이 정규분포를 이루고 있다. 만일 33%의 건전지의 수명이 45시간 이하이고, 10%의 건전지는 수명이 65시간 이상이라고 한다. 이 분포의 평균과 표준편차를 구하라 답 :

4. 정규분포를 이용한 이항분포의 근사계산 이면 이면

즉 표본의 크기가 큰 경우 이항분포를 이루고 있는 확률변수의 확률계산 만약 p가 영에 접근하거나 1에 접근하면 포아송 분포를 이용하여 확률을 계산할 수 있고, 만약 p가 ½에 접근하면 정규분포를 이용하여 확률을 계산할 수 있다.

정규분포를 이용한 이항분포의 확률계산의 예 상자에서 임의로 하나를 꺼내어 본 다음 다시 집어 넣기를 100회 반복 할 때 불량품이 30개에서 60개가 나올 확률은 ? 정규분포 이항분포

이항분포를 이루고 있다. 즉 n이 큰 숫자로 정규분포에 근접한다고 볼 수 있다 정규분포의 경우 : E[X]=50, Var[X]=25 예를 들어, 불량품이 10개 나올 확률계산 로 계산