미분방정식

1.1 기본적인 개념과 의도 관한 미지함수 의 하나 또는 몇 개의 도함수를 포함하는 방정식이다. *상미분방정식(ordinary differential equation) 이란 에 관한 미지함수 의 하나 또는 몇 개의 도함수를 포함하는 방정식이다. 자신과 주어진 의 함수 그리고 또 상수를 포함할 수도 있다. *제 계(order of n) 상미분방정식이란 변수 에 관한 의 계도함수가 의 최고계도함수가 되는 미분방정식이다. *편미분 방정식(partial differential equation)이란 둘 이상의 독립변수에 관한 미지함수의 편도함수를 포함하는 방정식이다.

1.1 기본적인 개념과 의도 * 가 어떤 구간 에서 정의되고 미분 가능하며 구간 에서, 주어진 어떤 일계미분방정식이 와 대신에 * 가 어떤 구간 에서 정의되고 미분 가능하며 구간 에서, 주어진 어떤 일계미분방정식이 와 대신에 와 을 각각 대치할 때, 를 이 일계미분방정식의 해(solution)라고 한다. * 로 표현되는 것을 양함수해(explicit solution) 라 하고, 으로 표현되는 것을 음함수해(implicit solution)라 한다.

1.1 기본적인 개념과 의도 Ex1. 다음 미분방정식 의 계수를 말하고, 가 하나의 해임을 검증하여라. <풀이> 주어진 미분방정식은 이계미분방정식이다. 이고, 이므로, 주어진 미분방정식의 해가 된다. Ex2. 다음 미분방정식 을 풀어라. <풀이> 주어진 방정식의 양변을 적분하면 이 되고, 한 번 더 적분하면 이 된다.

1.1 기본적인 개념과 의도 * 하나의 미분방정식은 한 개 이상의 해 또는 무한히 많은 해까지도 가질 수 있고, 이것은 임의 상수 를 포함하는 단 하나의 식으로 표시될 수 있다. * 하나의 임의 상수를 포함하는 함수를 일계 미분방정식의 일반해(general solution)라고 부른다. * 또 이 상수에 일정한 값을 주어서 얻는 해를 특수해(particular solution)라고 부른다. * 경우에 따라서는, 일반해의 임의 상수에 정해진 값을 대입하여도 얻을 수 없는 해가 존재할 수도 있는데 이와 같은 해를 그 방정식의 특이해(singular solution)라고 한다.

1.2 기하학적 고찰, 등경사선 *임의의 일계방정식은 음함수형(implicit form) 과 같은 형태로 쓸 수 있고, 많은 경우에 양함수형(explicit form) 와 같은 형태로도 쓸 수 있다. <특수해에 대한 개형을 얻는 도식적인 방법> 먼저 평면에 그 곡선을 따라서 상수인 몇 개의 곡선을 그린다. 이 곡선을 방정식 의 기울기가 일정한 곡선 (curve of constant slope) 또는 등경사선 (isocline)이라 한다.( 단, 상수 k는 각 등경사선에 따라 다른값을 취한다.) 등경사선 를 따라 기울기가 k인 평행한 짧은 선분[선소(lineal element)]을 많이 그린다. 이렇게 해서 의 방향장(direction field)이라 불리는 하나의 해곡선에 대한 근사 곡선을 얻을 수 있다.

1.3 분리형 방정식 *일계미분방정식은 대수적인 연산에 의하여 와 같은 형태로 만들 수 있는 것이 많다. 그러면 이므로 와 같이 쓰는 것이 편리 하다.이와 같은 방정식을 분리형 변수를 갖는 방정식(equation with separable variable) 또는 분리형 방정식 (separable equation)이라고 부른다. 방정식의 양변을 적분하면 가 된다. 만일 와 가 연속함수라고 가정하면 위의 적분은 존재하고, 이 적분을 구하여 일반해를 얻는다. *초기조건 을 갖는 일계미분방정식을 초기값 문제(initial value problem)라고 부른다.

1.3 분리형 방정식 Ex1.다음 미분방정식 을 풀어라. <풀이> 변수를 분리하면 이고, 양변을 적분하면 일반해 를 얻는다. 이 해는 타원족을 표시한다. Ex2.다음 미분방정식 을 풀어라. <풀이> 변수를 분리하고 적분하면

1.4 분리형으로 바꿀 수 있는 방정식 (*) 형태의 방정식이 해당된다. (여기서 는 의 임의의 주어진 함수,가령 , …) *일계미분방정식 중에는 분리할 수는 없으나 간단한 변수변환에 의하면 분리형으로 만들 수 있는 것이 있다. (*) 형태의 방정식이 해당된다. (여기서 는 의 임의의 주어진 함수,가령 , …) 방정식의 형태가 말해 주듯이, 와 가 의 함수임을 명심하면 로 놓을 수 있다. 그러면 이고, 미분하면 가 된다. 이것을 (*)에 대입하면, 이므로 를 얻는다. 변수 와 를 분리해서 를 구할 수 있다. 이 식을 적분하고 를 로 치환하면 (*)의 일반해를 얻는다.

1.4 분리형으로 바꿀 수 있는 방정식 Ex1. 미분방정식 을 풀어라. <풀이> 으로 나누어 을 얻고, 라 두면 <풀이> 으로 나누어 을 얻고, 라 두면 즉 이 된다. 변수를 분리하면 이고 이것을 적분하면 즉, 를 얻는다. 를 로 대체하면 최종적으로 즉 을 얻는다.