외삼초등학교 영재학급 산출물 보고서 피보나치 수열과 우리 생활 외삼초등학교 5학년 6반 김태윤

Ⅰ. 연구동기 및 목적 수학은 어렵고 복잡한 것이며 우리 실생활과는 별 관련이 없는 것 같은데, 왜 수학을 힘들게 배우는지 모르겠다는 사람이 많다. 그래서 나는 피보나치수열의 탐구를 통해 수학이 실제 생활과 얼마나 가까이 있고 유익한 것인지 알아보고 싶은 생각에서 탐구주제를 ‘피보나치 수열과 우리생활’로 정했다.

Ⅱ. 이론적 배경 1. 수학자 피보나치 중세 유럽의 대수학자로 1175년경 ‘피사의 사탑’으로 유명한 이탈리아 피사에서 태어났다. 이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아 등지를 널리 여행하며 많은 지식을 모아 아라비아의 산술과 대수학을 유럽인들에게 소개하였다.

2. 산반서 피보나치가 지은 책으로 인도-아라비아 수 체계의 도입과 그것을 어떻게 사용하는지에 대한 설명을 유럽에 전해 주었다는 측면에서 중요한 책이다. 이 책은 모두 15장으로 이루어져 있는데 그 중 제12장에는 피보나치 수열이 탄생하게 된 재미있는 문제가 소개되어 있다.

3. 피보나치 수열 1) 수열이란 어떤 일정한 규칙에 따라 배열되어 있는 수들을 말함 2) 피보나치 수열이란 연속하여 나타낸 두 수의합이 다음 수가 되는 규칙을 가진 수열

피보나치의 토끼 문제 만약 한 쌍의 토끼가 매달 한 쌍의 토끼를 낳고, 태어난 한 쌍의 토끼는 다음 다음달, 즉 생후 2개월째부터 한 쌍의 토끼를 낳기 시작한다고 하자. 그러면 1년이 지난 후 모두 몇 쌍의 토끼가 될까?

그 결과 피보나치는 매달 관찰되는 토끼의 쌍이 특정한 규칙을 따르고 있음을 발견하고 12월 말에 144쌍의 토끼를 예상하였다. 1개월 2개월 3개월 4개월 5개월 6개월 7개월 8개월 9개월 10개월 11개월 12개월 1쌍 2쌍 3쌍 5쌍 8쌍 13쌍 21쌍 34쌍 55쌍 89쌍 144쌍

Ⅲ. 탐구 내용 1. 식물과 피보나치수열

솔방울 파인애플 해바라기꽃

과일의 씨앗 수

나뭇가지와 나뭇잎 자라는 패턴

여러 가지 꽃잎의 수 세어 보기

2. 동물과 피보나치 수열

황금 직사각형과 등각 나선 등각나선은 앵무조개나 달팽이의 껍데기, 양의 뿔, 거미의 거미줄, 앵무새의 부리, 코끼리의 코, 박테리아 성장 그래프 등에도 있다.

3. 황금비와 피보나치수 황금비 (a +b) : b = b +a 일 때, 이 비는 1.618 : 1이라는 황금비

피보나치수열과 황금비 피보나치수열의 또 다른 신기한 점은 뒤의 수를 앞의 수로 계속 나누어 가보면 1/1 = 1.000000000000000 2/1 = 2.000000000000000 3/2 = 1.500000000000000 5/3 = 1.666666666666667 8/5 = 1.600000000000000 13/8 = 1.625000000000000 21/13 = 1.615384615384615 34/21 = 1.619047619047619 55/34 = 1.617647058823529 89/55 = 1.618181818181818 144/89 = 1.617977528089888 → 1.618033988749895 바로 황금비율 ‘1 : 1.618’에 근접한다는 것이다.

4. 인간과 황금비

우리 몸과 황금비 △ 팔의 길이를 어깨 폭으로 나눌 경우 △ 사람 키를 발끝에서 배꼽까지의 높이로 나눌 경우 △ 각 손가락 두 번째 뼈마디 길이를 맨 위 첫째 뼈마디 길이로 나눌 경우 △ 손가락 아래 세 번째 뼈마디 길이를 역시 두 번째 뼈마디 길이로 나눌 경우

우리 얼굴과 황금비

마커트 마스크 황금 비 만을 이용하여 이등변삼각형을 만들고 다시 이것으로 오각형을 만든 다음 두개를 위아래로 겹쳐서 만든 정 10각형 황금비율 마스크 미녀 김 태 희

건축물 속에서의 황금비 피라미드 PO와 PM의 비는 1:1.616 (115m:185.85m)

파르테논신전

부석사 무량수전 석굴암

미술 속의 황금비 밀로의 비너스상

레오나르도 다빈치 모나리자는 기본적인 미인형 얼굴인 1:1:1 비율이 아닌 1:1:0.8 정도의 동안 얼굴 다빈치의 자화상과 인체 드로잉 모나리자는 기본적인 미인형 얼굴인 1:1:1 비율이 아닌 1:1:0.8 정도의 동안 얼굴

보티첼리의 비너스의 탄생 몬드리안의 <Red, Yellow and Blue>

생활 속의 피보나치수 전화 카드, 명함, 태극기(1:1.5), 종이(1:1.4), 액자, 창문, 디지털 TV, 십자가 등등 신용카드의 비율을 예로 들면 가로와 세로의 비율은 각각 8.6cm와 5.35cm로 이 둘의 비율은 8.6/5.35=1.607(황금비)

Ⅳ. 탐구결과 및 고찰 1. 식물에서 피보나치수열이 흔한 이유는? 꽃잎의 개수에서 암, 수술을 보호하기 위해 피보나치 수열을 택하고, 식물의 줄기와 잎이 서로 겹치지 않게 자라면 모두 햇빛을 받을 수 있다. 또한 식물의 씨앗들이 피보나치 수열과 황금비를 이루고 있는 이유는 정해진 공간에 씨앗을 더 많이 넣을 수록 살아남을 확률이 많기 때문이다. 식물들이 오랫동안 자연에서 살아남기 위해 스스로 택한 방법이 피보나치 수이다. 게다가 식물이 보여주는 황금비는 편안함과 아름답다는 느낌을 준다. 2. 예술작품에는 왜 황금비율을 사용할까? 시대를 초월해 오래도록 조각가나 화가가 황금 비례를 써서 작품을 만들어 온 이유는 황금비가 조각이나 그림을 가장 조화롭고 아름답게 표현해 주기 때문이다. 3. 인체는 왜 황금비율로 되어 있을까? 황금비로 가득한 사람의 몸이야 말로 균형잡힌 아름다움을 보여주는 가장 큰 예술 작품이기 때문이라고 생각한다.

4. 오래되고 아름다운 건축물에는 왜 황금비율을 사용했을까? 오랜 세월을 지난 현대에도 여전히 그 아름다움을 뽐내고 있는 황금비 건물들은 보는 사람의 마음을 편하게 해주는 안정감과 더불어 건축학적으로도 안정적 비율로 튼튼하기 때문이다. 5. 피보나치 수열과 황금비에 대한 연구가 현대 우리 생활에 어떤 영향을 줄 수 있을까? 예술 작품뿐만 아니라 가구, 자동차, 포스터 디자인 등 우리 주변에는 황금비가 적용된 아름다운 디자인이 많다. 쓸모 있으면서 아름다운 디자인 즉, 사람이 사용하는 모든 것들은 사람이 쓰기 편하도록 만들어져야 한다는 생각에서 나온 인체공학적 측면에서 황금비가 연구된다면 우리의 생활은 더욱더 풍요롭게 될 것이라고 생각한다.

Ⅴ. 결 론 이번 탐구를 통하여 피보나치 수열과 황금비에 대해 많은 것을 알 수 있었다. 수학과 우리 인간 문화 사회가 많은 연관을 갖고 살아가고 있다는 점도 알았다. 우리가 잘 알고 있는 식물이나 동물에서도 피보나치 수열을 찾아낼 수 있고 우리가 사용하고 있는 물건들에도 황금비율이 적용되어 있었다. 또한 우리 인간의 모습도 수학의 원리와 많은 관계가 있고 황금비를 적용함으로써 우리가 아름다운 예술작품을 볼 수 있다는 것을 알았다. 수학이 우리 생활 곳곳에 숨어 있음을 깨닫고 수학이 우리에게 아주 중요하면서도 재미있고 신기한 과목이라고 생각한다. 피보나치 수열을 탐구하면서 수학에 대한 생각도 바뀌었고 앞으로 더 열심히 수학공부를 해야겠다는 생각을 하게 되었다. 앞으로 기회가 있다면 피보나치 수열의 성질을 더 자세히 알아보고 황금 삼각형, 황금 사각형 등 황금비 도형에 대해 공부해 보고 싶다.