수학적 정의와 정리 조선해양공학과 201529164 이병준

1. 정의와 정리의 뜻 2. 정의의 예 3. 정리와 증명의 예 4. 정리와 정의 5. Q&A

1.정의와 정리의 뜻 정의란 수학적 용어나 개념의 의미를 명확하게 정한 것으로 용어의 뜻에 대한 약속이다. 약속은 참, 거짓의 문제가 아니다. 따라서 정의를 증명할 필요가 없다. 정리란 수학적으로 증명된 참인 명제이다. 이는 이미 규정된 수학적 용어나 개념 즉 정의들로 증명된다. 그 어떤 수학적 명제를 제시하더라도 그것을 증명하지 못한다면 그 명제는 정리라고 부를 수 없다. 이러한 정리의 이름은 정리가 무엇을 설명하는 것으로 만들어지기도 하고 그 정리를 발견하거나 증명한 사람의 이름을 따서 부르는 경우도 있다.

2.정의의 예 정의에 대하여 수학적으로 예를 든다면 정의된 연산‘∗’에서 임의의 원소‘𝑎’에 대하여 𝑎∗𝑒=𝑒∗𝑎=𝑎인 원소 ‘𝑒’를 연산‘∗’에 대한 항등원이라고 하자. 𝑎∗𝑥=𝑥∗𝑎=𝑒인 원소 ‘𝑥’를 연산‘∗’에 대한 ‘𝑎’역원이라고 하자. 이것은 약속이다. 실수의 연산 ‘+’에서 생각해 보면 ‘𝑎+0=0+𝑎=𝑎’이므로 ‘0’은 연산‘+’대한 항등원이다. ‘𝑎+ −𝑎 = −𝑎 +𝑎=0’이므로 ‘−𝑎’는 ‘𝑎’의 ‘+’에 대한 역원이다. 위의 것은 이미 ‘항등원’, ‘역원’이라는 약속 즉 정의를 내렸기 때문에 증명하지 않아도 된다.

2.정의의 예 도형의 정의에 대해 몇 가지 알아보자. 세 개의 선분으로 둘러싸인 다각형 → 삼각형 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형 → 정삼각형 두 변의 길이가 같은 삼각형 → 이등변삼각형 네 개의 선분으로 둘러싸인 다각형 → 사각형 네 각의 크기가 모두 같은 사각형 → 직사각형 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 → 마름모 네 내각의 크기와 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 → 정사각형

2.정의의 예 이처럼 정의는 수학적 용어나 개념을 필요함에 따라서 명확하게 약속하여 정한 것이다. ‘0’의 탄생 https://youtu.be/LctHM9l8ci4?list=RDmwuKQgN9yBM 이처럼 정의는 수학적 용어나 개념을 필요함에 따라서 명확하게 약속하여 정한 것이다.

3.정리와 증명의 예 정리에 대한 예로 피타고라스의 정리를 들어보겠다. 피타고라스 정리는 밑의 그림과 같은 직각 삼각형이 있다면 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 가 만족한다는 명제이다. 위와 같은 명제가 참인지 몇 가지 방법으로 증명 해보겠다. c a b

3.정리와 증명의 예 첫째. 넓이를 이용한 증명 오른쪽 그림에서 삼각형을 중심으로 정사각형이 세 개 있는데 파란색 정사각형과 직사각형은 넓이가 같고, 빨간색 정사각형과 직사각형은 넓이가 같다. 따라서 이러한 식이 성립한다. 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝑂 ∙ 𝐴𝐺 , 𝐵𝐶 2 = 𝑂𝐵 ∙ 𝐵𝐹 두식을 더하면 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝑂 ∙ 𝐴𝐺 + 𝑂𝐵 ∙ 𝐵𝐹 여기서 𝐴𝐺 = 𝐵𝐹 = 𝐴𝐵 이므로 𝐴𝐵 로 바꾼 후 묶으면 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 ( 𝐴𝑂 + 𝑂𝐵 ) 여기서 𝐴𝑂 + 𝑂𝐵 = 𝐴𝐵 이므로 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 가 성립된다.

3.정리와 증명의 예 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻 𝐴𝐶 , 𝐶𝐵 𝐴𝐵 = 𝐻𝐵 𝐶𝐵 𝐴𝐶×𝐴𝐶=𝐴𝐵×𝐴𝐻 𝐶𝐵×𝐶𝐵=𝐴𝐵×𝐻𝐵 둘째. 닮음을 이용한 증명 삼각형 ACH와 삼각형 ABC와 삼각형 CBH는 서로 닮음이다. 따라서 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐴𝐻 𝐴𝐶 , 𝐶𝐵 𝐴𝐵 = 𝐻𝐵 𝐶𝐵 이 성립한다. 이 두식을 정리하면 𝐴𝐶×𝐴𝐶=𝐴𝐵×𝐴𝐻 𝐶𝐵×𝐶𝐵=𝐴𝐵×𝐻𝐵 이 두식을 더하면 𝐴𝐶×𝐴𝐶+𝐶𝐵×𝐶𝐵=𝐴𝐵×𝐴𝐻+𝐴𝐵×𝐻𝐵=𝐴𝐵× 𝐴𝐻+𝐻𝐵 =𝐴𝐵×𝐴𝐵 이 되고, 따라서 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 가 성립된다.

3.정리와 증명의 예 이처럼 정리는 약속한 수학적 정의를 통하여 올바른 증명을 한 참인 명제이다. 셋째. 대수적 증명 오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 𝑎+𝑏 이고 따라서 넓이는 (𝑎+𝑏) 2 이 된다. 이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 𝑐 2 , 네 개의 직각삼각형의 넓이는 𝑎𝑏 2 ×4가 된다. 따라서, 전체넓이는 𝑐 2 +2𝑎𝑏가 된다. 그러므로 (𝑎+𝑏) 2 = 𝑐 2 +2𝑎𝑏 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 = 𝑐 2 +2𝑎𝑏 𝑎 2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 가 성립된다. 이처럼 정리는 약속한 수학적 정의를 통하여 올바른 증명을 한 참인 명제이다.

4. 정의와 정리 다음 중 정리인 것은? 정답 : ④ 번 ① 90 ° 는 직각이다. ① 90 ° 는 직각이다. ② 한 각의 크기가 90 ° 인 삼각형은 직각삼각형이다. ③ 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐인 자연수이다. ④ 사각형의 네 내각의 크기의 합은 360 ° 이다. 정답 : ④ 번 ①,②,③번은 어떠한 개념의 의미를 정한 것 즉 정의여서 증명이 필요 없지만, ④ 번은 증명을 통해 참임을 알 수 있음으로 정리이다.

4. 정의와 정리 다음 중 정의인 것은? 정답 : ③ 번 ① sin 𝑎 2 + cos 𝑎 2 =1이다. ② 맞꼭지각의 크기는 같다. ③ 0보다 작은수를 음수라고한다. ④ 어떠한 실수’𝑎’의 𝑎 2 은 항상 양수이다. 정답 : ③ 번 ①,②,④번은 증명을 통하여 참임을 알아야 성립하는 정리이지만, ③번은 어떠한 개념의 의미를 정한 정의이다.

출처 네이버백과(https://terms.naver.com) 위키백과(https://ko.wikipedia.org) 수학방(https://mathbang.net) 수학이야기(http://suhak.tistory.com)

Q&A

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